高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 3.1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修

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1　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重點) 2．會利用這兩個公式求三角函數(shù)式的值，化簡三角函數(shù)式或證明三角恒等式．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 閱讀教材P113～P116練習(xí)2以上部分，完成下列問題． 1．關(guān)系式 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2 α＝__1__； (2)商數(shù)關(guān)系：＝tanα，＝cotα. 2．文字?jǐn)⑹? 同一個角 α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α的正切． 3．變形形式 (1)1＝sin2 α＋cos2 α； (2)sin2 α＝1－cos2α；cos2 α＝1－sin2α； (3)sin α＝ ；cos α＝ ； (4)sin α＝cos αtan α； (5)(sin αcos α)2＝12sinαcosα. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)由于平方關(guān)系對任意角都成立，則sin2α＋cos2β＝1也成立．(　　) (2)對任意角α，＝tan .(　　) (3)利用平方關(guān)系求sin α或cos α?xí)r，會得到正負(fù)兩個值．(　　) (4)當(dāng)α≠(k∈Z)時，tan αcot α＝1.(　　) 【解析】　(1)平方關(guān)系是同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，所以錯誤． (2)當(dāng)α＝π時，cos ＝0，分母為0無意義，所以錯誤． (3)求sin α或cos α?xí)r，應(yīng)結(jié)合角的象限，判斷是正或是負(fù)，因而錯． (4)正確． 【答案】　(1)　(2)　(3)　(4)√ [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值 　(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝2，求的值． 【精彩點撥】　第(1)題應(yīng)先利用平方關(guān)系求余弦，再由商數(shù)關(guān)系求正切； 第(2)題先把所求式化為只含一個函數(shù)的代數(shù)式，再求值． 【自主解答】　(1)∵sin α＝－，α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－＝－， tan α＝＝－＝. (2)法一：∵tan α＝2， ∴＝＝＝－2. 法二：∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α， ∴＝＝－2. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，揭示了同一角三角函數(shù)間的關(guān)系，其最基本的應(yīng)用是“知一求二”，求解時要注意根據(jù)角所在的象限，判斷是一解或兩解． [再練一題] 1．已知tan α＝2，試求： (1)sin α的值； (2)和sin αcos α的值． 【解】　因為tan α＝2，所以＝2，即sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1， 所以sin2α＋2＝sin2α＝1， 所以sin α＝，又tan α＝2， 所以α為第一或第三象限的角，當(dāng)α為第一象限角時， sin α＝.當(dāng)α為第三象限角時，sin α＝－. (2)＝＝， sin αcos α＝＝＝＝. 利用sin αcos α，sin αcos α之間的關(guān)系求值 　已知sin θ，cos θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的兩根． (1)求m的值； (2)求＋的值． 【精彩點撥】　本題主要考查韋達定理，同角三角函數(shù)的關(guān)系，由韋達定理得兩根之和與兩根之積的關(guān)系，通過恒等變形可得m的值． 【自主解答】　(1)∵sin θ，cos θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的兩根， ∴ 由①得1＋2sin θcos θ＝4－2，將②代入，得 1＋2m＝4－2，∴m＝－. 由③得m≤1－， ∴m＝－. (2)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝－1. 1．已知角α的某一個三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值時，一般先利用公式將其化簡，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解． 2．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin αcos α)2＝12sin αcos α，利用此關(guān)系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值時，要注意判斷它們的符號． [再練一題] 2．已知0<θ<π，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值，及tan θ的值. 【導(dǎo)學(xué)號：66470063】 【解】　∵sin θ＋cos θ＝，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝， 解得sin θcos θ＝－. ∵0<θ<π，且sin θcos θ<0， ∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ>0. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θ－cos θ＝.② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－， ∴tan θ＝＝－. [探究共研型] 利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡、證明 探究1　怎樣理解同角三角函數(shù)關(guān)系中“同角”的含義？ 【提示】　“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是“任意”一個角． 探究2　平方關(guān)系對任意α∈R均成立，對嗎？商數(shù)關(guān)系呢？ 【提示】　平方關(guān)系中對任意α∈R均成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ＋(k∈Z)． 探究3　證明三角恒等式常用哪些技巧？ 【提示】　切化弦，整體代換，“1”的代換． 探究4　證明三角恒等式應(yīng)遵循什么樣的原則？ 【提示】　由繁到簡． 　(1)化簡tan α ，其中α是第二象限角； (2)求證：＝. 【精彩點撥】　(1)先確定sin α，cos α的符號，結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系化簡． (2)逆用平方關(guān)系結(jié)合tan α＝化簡． 【自主解答】　(1)因為α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. 故tan α＝tan α ＝tan α ＝||＝＝－1. (2)證明：左邊＝ ＝ ＝＝＝右邊． 所以原式成立． 1．化簡三角函數(shù)式的一般要求： (1)函數(shù)種類最少； (2)項數(shù)最少； (3)函數(shù)次數(shù)最低． 2．證明三角恒等式常用的方法有： (1)從一邊開始，證得它等于另一邊； (2)證明左右兩邊都等于同一個式子； (3)變更論證，即通過化除為乘、左右相減等，轉(zhuǎn)化成證明與其等價的等式． [再練一題] 3．(1)化簡：； (2)求證：＝. 【解】　(1)原式 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. (2)證明：法一：左邊 ＝ ＝ ＝ ＝＝＝右邊． ∴原等式成立． 法二：∵(sin α＋cos α－1)(1＋sin α) ＝(sin α－1)(1＋sin α)＋cos α(1＋sin α) ＝sin2α－1－cos α(1＋sin α) ＝－cos2α＋cos α(1＋sin α) ＝cos α(sin α－cos α＋1) ∴＝. 1．已知sin α＝－，α是第三象限角，則tan α等于(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 【解析】　因為α是第三象限角，所以cos α<0，又sin α＝－， 所以cos α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝＝. 【答案】　C 2．化簡tan 的結(jié)果是(　　) A．sin B．－sin C．cos D．－cos 【解析】　tan ＝tan，又cos>0， 所以原式＝cos＝sin. 【答案】　A 3．已知sin α＝，則sin2α－cos2α的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：66470064】 【解析】　因為sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝1－2＝， sin2α－cos2α＝2－＝－. 【答案】?。? 4．已知tan α＝－，則的值是________． 【解析】?。剑剑剑剑剑? 【答案】?。? 5．已知sin α＝，cos α＝，α是第四象限角，試求tan α的值． 【解】　∵sin2α＋cos2α＝1， ∴2＋2＝1. 化簡，整理得， m(m－8)＝0，∴m1＝0，m2＝8. 當(dāng)m＝0時，sin α＝，cos α＝－， 不符合α是第四象限角，舍去． 當(dāng)m＝8時，sin α＝－，cos α＝， ∴tan α＝－. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________