高中數(shù)學(xué) 學(xué)業(yè)分層測評5 蘇教版必修2

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學(xué)業(yè)分層測評(五) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1．下列說法正確的有__________(填序號)． ①兩條異面直線指的是不同在一個平面內(nèi)的兩條直線； ②兩條異面直線指的是分別在某兩個平面內(nèi)的兩條直線； ③兩條異面直線指的是既不平行又不相交的兩條直線； ④兩條異面直線指的是平面內(nèi)的一條直線和平面外的一條直線． 【解析】　①只說明兩直線不同在一個平面內(nèi)，沒有說明平面的任意性；②把兩條直線放到特定的兩個平面內(nèi)，也不具有任意性；③從反面肯定了兩直線的異面；④中的兩條直線可能在同一平面內(nèi)．故填③. 【答案】?、? 2．如圖1223，A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，則BD＝________. 圖1223 【解析】　連結(jié)AM并延長交BC于E，連結(jié)AN并延長交CD于F，則E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，連結(jié)EF.由題意知，＝＝， ∴EF＝6＝9，∴BD＝2EF＝18. 【答案】　18 3．如圖1224，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GH，MN是異面直線的圖形有________． ①　　　　?、凇　　　、邸　　　　、? 圖1224 【解析】?、僦蠫H∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交． 【答案】　②④ 4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連結(jié)四邊中點(diǎn)的四邊形的形狀是__________. 【導(dǎo)學(xué)號：60420018】 【解析】　易證四邊形EFGH為平行四邊形，又∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)， ∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90. ∴∠EFG＝90，故四邊形EFGH為矩形． 【答案】　矩形 5．如果l和n是異面直線，那么和l，n都垂直的直線有________條． 【解析】　l和n是異面直線，則和l，n都垂直相交的直線有一條m，與m平行的直線和l，n都垂直． 【答案】　無數(shù) 6．如圖1225，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所有與∠A1AB相等的角是________． 圖1225 【解析】　因四棱柱ABCDA1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB與∠D1DC相等．又由于側(cè)面A1ABB1，D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1C1C也相等． 【答案】　∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B 7．如圖1226，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是________． 圖1226 ①CC1與B1E是異面直線； ②C1C與AE共面； ③AE，B1C1是異面直線； ④AE與B1C1所成的角為60. 【解析】　CC1與B1E共面，CC1與AE異面，故①②錯；AE與BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④錯． 【答案】?、? 8．如圖1227，過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作________條． 圖1227 【解析】　連結(jié)AC1，則AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等；過點(diǎn)A分別作正方體的另外三條體對角線的平行線，則它們與棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故這樣的直線l可以作4條． 【答案】　4 二、解答題 9．如圖1228，E，F(xiàn)分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF是平行四邊形． 圖1228 【證明】　如圖，設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連結(jié)EQ，QC1.∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1， ∴EQB1C1(平行公理)，∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1EC1Q. 又∵Q，F(xiàn)是矩形DD1C1C的兩邊的中點(diǎn)，∴QDC1F，∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1QDF.又∵B1EC1Q，∴B1EDF，∴四邊形B1EDF是平行四邊形． 10．如圖1229所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，求異面直線DE與AB所成的角． 圖1229 【解】　因?yàn)镈，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線DE與AB所成的角，又因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45，故異面直線DE與AB所成的角為45. [能力提升] 1．一個正方體紙盒展開后如圖1230，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論： 圖1230 ①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD. 以上結(jié)論中正確的是________(填序號)． 【解析】　 把正方體平面展開圖還原為原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確． 【答案】?、佗? 2．如圖1231，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱C1C與BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線D1C所成的角的大小是__________． 圖1231 【解析】　如圖，連結(jié)BC1，A1B. ∵BC1∥EF，A1B∥CD1，則∠A1BC1即為EF與D1C所成的角． 又∵∠A1BC1為60， ∴直線EF與D1C所成的角為60. 【答案】　60 3．如圖1232所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD所成角的余弦值為________． 圖1232 【解析】　如圖，取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD， ∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補(bǔ)角)． 在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝. 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝. 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝， ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為. 【答案】　 4．如圖1233所示，△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且＝＝＝. 圖1233 (1)求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC； (2)求的值. 【導(dǎo)學(xué)號：60420019】 【解】　(1)證明：∵AA′∩BB′＝O，且＝＝， ∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′. (2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且邊AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′， 同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′， ∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝， ∴＝2＝.