高中數(shù)學(xué) 4_1 坐標系 2 極坐標系學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.1 坐標系 2 極坐標系學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學(xué)業(yè)達標] 1．在極坐標系中，作出下列各點： A，B，C，D，E(4，0)，F(xiàn)(2.5，π)． 【解】　各點描點如下圖． 2．極坐標系中，點A的極坐標是(3，)，求點A關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標． 【解】　極坐標系中的點(ρ，θ)關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線對稱的點的極坐標為(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可寫出其中一個為(3，)． 3．已知點M的極坐標為，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求點M的極坐標． 【解】　∵(－ρ，θ)與(ρ，θ＋π)表示同一點， ∴(－2，)與(2，)為同一點的極坐標，故點M的極坐標為(2，)． 4．在極坐標中，若等邊△ABC的兩個頂點是A、B，那么頂點C的坐標是多少？ 【解】　如右圖，由題設(shè)可知A、B兩點關(guān)于極點O對稱，即O是AB的中點． 又AB＝4，△ABC為正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C對應(yīng)的極角θ＝＋＝或θ＝－＝－， 即C點極坐標為 或. 5．設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點處，當此彗星離地球為30(萬千米)時，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，試建立適當?shù)臉O坐標系，寫出彗星此時的極坐標． 【解】　如圖所示，建立極坐標系，使極點O位于拋物線的焦點處，極軸Ox過拋物線的對稱軸，由題設(shè)可得下列四種情形：(1)當θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(2)當θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(3)當θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(4)當θ＝時，ρ ＝30(萬千米)． 彗星此時的極坐標有四種情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)． 6．已知A、B兩點的極坐標分別是、，求A、B兩點間的距離和△AOB的面積． 【解】　求兩點間的距離可用如下公式： AB＝ ＝＝2. S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝|24sin(－)|＝24＝4. 7．已知定點P. (1)將極點移至O′處極軸方向不變，求P點的新坐標； (2)極點不變，將極軸順時針轉(zhuǎn)動角，求P點的新坐標． 【導(dǎo)學(xué)號：98990005】 【解】　(1)設(shè)P點新坐標為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知OO′＝2，OP＝4，∠POx＝， ∠O′Ox＝， ∴∠POO′＝. 在△POO′中， ρ2＝42＋(2)2－242cos ＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵＝， ∴sin∠OPO′＝2＝， ∴∠OPO′＝. ∴∠OP′P＝π－－＝， ∴∠PP′x＝. ∴∠PO′x′＝. ∴P點的新坐標為(2，)． (2)如圖，設(shè)P點新坐標為(ρ，θ)， 則ρ＝4，θ＝＋＝. ∴P點的新坐標為(4，)． 能力提升] 8．已知△ABC三個頂點的極坐標分別是A，B，C，試判斷△ABC的形狀，并求出它的面積． 【解】　∵C(4，)，∠AOB＝－＝， 且AO＝BO， 所以△AOB是等邊三角形， AB＝5， BC＝ ＝， AC＝ ＝， ∵AC＝BC， ∴△ABC為等腰三角形， AB邊上的高為4＋5＝， ∴S△ABC＝5＝.