高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點問題 文

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第30練　與拋物線有關(guān)的熱點問題 [題型分析高考展望]　拋物線是三種圓錐曲線之一，應(yīng)用廣泛，是高考的重點考查對象，拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問題都是高考熱點．考查形式有選擇題、填空題也有解答題，小題難度一般為低中檔層次，解答題難度為中檔偏上． 體驗高考 1．(2015四川)設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4) 答案　D 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)， 當(dāng)直線l的斜率不存在時，符合條件的直線l必有兩條；當(dāng)直線l的斜率k存在時， 如圖x1≠x2，則有＝2，即y0k＝2， 由CM⊥AB得，k＝－1，y0k＝5－x0,2＝5－x0，x0＝3，即M必在直線x＝3上，將x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，∴－2＜y0＜2，∵點M在圓上， ∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y(tǒng)＋4＜12＋4＝16， 又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4.故選D. 2．(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由圖形可知，△BCF與△ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知△BCF與△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x＝－1. ∵點A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝. 3．(2016四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　如圖， 由題意可知F，設(shè)P點坐標(biāo)為， 顯然，當(dāng)y0<0時，kOM<0；y0>0時，kOM>0， 要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0. 則＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝， kOM＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝2p2時等號成立． 故選C. 4．(2016課標(biāo)全國乙)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0,2)， D，點A(x0,2)在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0，① 點A(x0,2)在圓x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，② 點D在圓x2＋y2＝r2上， ∴2＋5＝r2，③ 聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點到準(zhǔn)線的距離為p＝4，故選B. 5．(2015上海)拋物線y2＝2px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p＝________. 答案　2 解析　根據(jù)拋物線的性質(zhì)，我們知道當(dāng)且僅當(dāng)動點Q運動到原點的時候，才與拋物線焦點的距離最小， 所以有|PQ|min＝＝1?p＝2. 高考必會題型 題型一　拋物線的定義及其應(yīng)用 例1　已知P為拋物線y2＝6x上一點，點P到直線l：3x－4y＋26＝0的距離為d1. (1)求d1的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)； (2)若點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d2，求d1＋d2的最小值． 解　(1)設(shè)P(，y0)，則d1＝ ＝|(y0－4)2＋36|， 當(dāng)y0＝4時，(d1)min＝， 此時x0＝＝， ∴當(dāng)P點坐標(biāo)為(，4)時，(d1)min＝. (2)設(shè)拋物線的焦點為F， 則F(，0)，且d2＝|PF|， ∴d1＋d2＝d1＋|PF|， 它的最小值為點F到直線l的距離＝， ∴(d1＋d2)min＝. 點評　與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑． 變式訓(xùn)練1　(1)(2016浙江)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則點M到y(tǒng)軸的距離是________． (2)已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到Q(2,1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為(　　) A．(，1) B．(，－1) C．(1,2) D．(1，－2) 答案　(1)9　(2)B 解析　(1)拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)．準(zhǔn)線為x＝－1，由M到焦點的距離為10，可知M到準(zhǔn)線x＝－1的距離也為10，故M的橫坐標(biāo)滿足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以點M到y(tǒng)軸的距離為9. (2)拋物線y2＝4x焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1， 作PQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為M， 根據(jù)拋物線定義，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PM|， 根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊， 直角三角形斜邊大于直角邊知：|PQ|＋|PM|的最小值是點Q到拋物線準(zhǔn)線x＝－1的距離． 所以點P縱坐標(biāo)為－1，則橫坐標(biāo)為，即(，－1)． 題型二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 例2　(2015福建)已知點F為拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|＝3. (1)求拋物線E的方程； (2)已知點G(－1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切． 方法一　(1)解　由拋物線的定義得|AF|＝2＋. 因為|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2， 所以拋物線E的方程為y2＝4x. (2)證明　因為點A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上， 所以m＝2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)． 由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y＝2(x－1)． 由 得2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝，從而B. 又G(－1,0)， 所以kGA＝＝，kGB＝＝－. 所以kGA＋kGB＝0，從而∠AGF＝∠BGF，這表明點F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 方法二　(1)解　同方法一． (2)證明　設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r. 因為點A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上， 所以m＝2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)． 由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為 y＝2(x－1)． 由 得2x2－5x＋2＝0. 解得x＝2或x＝， 從而B. 又G(－1,0)， 故直線GA的方程為2x－3y＋2＝0. 從而r＝＝. 又直線GB的方程為2x＋3y＋2＝0. 所以點F到直線GB的距離 d＝＝＝r. 這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 點評　(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點的位置及p的值，再進一步確定拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程． (2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 變式訓(xùn)練2　已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O，其圖象關(guān)于y軸對稱且經(jīng)過點M(2,1)． (1)求拋物線C的方程； (2)若一個等邊三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另兩個頂點在拋物線上，求該等邊三角形的面積； (3)過點M作拋物線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1＋k2＝－2時，試證明直線AB的斜率為定值，并求出該定值． 解　(1)設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)， 由點M(2,1)在拋物線C上，得4＝2p， 則p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設(shè)該等邊三角形OPQ的頂點P，Q在拋物線上， 且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)， 則x＝4yP，x＝4yQ， 由|OP|＝|OQ|，得x＋y＝x＋y， 即(yP－yQ)(yP＋yQ＋4)＝0. 又yP>0，yQ>0，則yP＝y(tǒng)Q，|xP|＝|xQ|， 即線段PQ關(guān)于y軸對稱． ∴∠POy＝30，yP＝xP， 代入x＝4yP，得xP＝4， ∴該等邊三角形邊長為8，S△POQ＝48. (3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x＝4y1，x＝4y2， ∴k1＋k2＝＋ ＝＋ ＝(x1＋2＋x2＋2)＝－2. ∴x1＋x2＝－12， ∴kAB＝＝ ＝(x1＋x2)＝－3. 題型三　直線和拋物線的位置關(guān)系 例3　已知拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q. (1)求拋物線C的焦點坐標(biāo)； (2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3，求此時m的值； (3)是否存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由． 解　(1)∵拋物線C：x2＝y(tǒng)，∴它的焦點F(0，)． (2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋，∴2＋＝3，得m＝. (3)存在，聯(lián)立方程 消去y得mx2－2x－2＝0， 依題意，有Δ＝(－2)2－4m(－2)>0?m>－. 設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*) ∵P是線段AB的中點，∴P(，)， 即P(，yP)，∴Q(，)． 得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)， 若存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則＝0， 即(x1－)(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0， 結(jié)合(*)化簡得－－＋4＝0， 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－， 而2∈(－，＋∞)，－?(－，＋∞)． ∴存在實數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形． 點評　(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系； (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． (3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法． 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解． 變式訓(xùn)練3　(2015課標(biāo)全國Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y＝與直線l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N兩點， (1)當(dāng)k＝0時，分別求C在點M和N處的切線方程； (2)y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM＝∠OPN？說明理由． 解　(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(－2，a)， 或M(－2，a)，N(2，a)． 又y′＝，故y＝在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為y－a＝(x－2)， 即x－y－a＝0. y＝在x＝－2處的導(dǎo)數(shù)值為－，C在點(－2，a)處的切線方程為y－a＝－(x＋2)， 即x＋y＋a＝0. 故所求切線方程為x－y－a＝0和x＋y＋a＝0. (2)存在符合題意的點，證明如下： 設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2. 將y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 從而k1＋k2＝＋ ＝＝. 當(dāng)b＝－a時，有k1＋k2＝0， 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補， 故∠OPM＝∠OPN，所以點P(0，－a)符合題意． 高考題型精練 1．如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準(zhǔn)線l′于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 答案　C 解析　如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D， 設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a， 由定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30. 在直角三角形ACE中， ∵|AF|＝3， ∴|AE|＝3，|AC|＝3＋3a， ∴2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6， 從而得a＝1，∵BD∥FG， ∴＝，求得p＝， 因此拋物線方程為y2＝3x， 故選C. 2．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 答案　B 解析　設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則點M(2，2)． ∵焦點，點M到該拋物線焦點的距離為3， ∴2＋4p＝9，解得p＝2(負值舍去)， 故M(2，2)． ∴|OM|＝＝2. 3．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－.因為|AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1. 4．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M(－2,2)，過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若∠AMB＝90，則k等于(　　) A. B. C. D．2 答案　D 解析　拋物線C：y2＝8x的焦點為F(2,0)， 由題意可知直線AB的斜率一定存在， 所以設(shè)直線方程為y＝k(x－2)，代入拋物線方程可得 k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝4＋，x1x2＝4， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－16， 因為∠AMB＝90，所以＝(x1＋2，y1－2)(x2＋2，y2－2)＝－＋4＝0， 解得k＝2，故選D. 5．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為直線x＝－，而點A(－2,3)在準(zhǔn)線上，所以－＝－2，即p＝4，從而C：y2＝8x，焦點為F(2,0)．設(shè)切線方程為y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，① 由于Δ＝1－4(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝. 因為切點在第一象限，所以k＝. 將k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8， 所以點B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為＝. 6．已知A(x1，y1)是拋物線y2＝8x的一個動點，B(x2，y2)是圓(x－2)2＋y2＝16上的一個動點，定點N(2,0)，若AB∥x軸，且x10)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點． (1)證明：A1B1∥A2B2； (2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點．記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值． (1)證明　設(shè)直線l1，l2的方程分別為y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，由得A1， 由得A2. 同理可得B1，B2. 所以＝ ＝2p1. ＝(－，－)＝2p2(－，－) 故＝，所以A1B1∥A2B2. (2)解　由(1)知A1B1∥A2B2， 同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1∽△A2B2C2. 因此＝2. 又由(1)中的＝知＝， 故＝. 12．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋為定值； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 證明　(1)由已知得拋物線焦點坐標(biāo)為(，0)． 由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 則y1，y2是方程(*)的兩個實數(shù)根，所以y1y2＝－p2. 因為y＝2px1，y＝2px2， 所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因為x1x2＝， x1＋x2＝|AB|－p， 代入上式， 得＋＝ ＝(定值)． (3)設(shè)AB的中點為M(x0，y0)， 分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D， 過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N， 則|MN|＝(|AC|＋|BD|) ＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．