高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第24練 歸納推理與類比推理 文

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第24練　歸納推理與類比推理 [題型分析高考展望]　歸納推理與類比推理是新增內(nèi)容，在高考中，常以選擇題、填空題的形式考查．題目難度不大，只要掌握合情推理的基礎(chǔ)理論知識和基本方法即可解決． 體驗高考 1．(2015陜西)觀察下列等式： 1－＝， 1－＋－＝＋， 1－＋－＋－＝＋＋， …， 據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_________________________________________________． 答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 解析　等式左邊的特征：第1個等式有2項，第2個有4項，第3個有6項，且正負(fù)交錯，故第n個等式左邊有2n項且正負(fù)交錯，應(yīng)為1－＋－＋…＋－；等式右邊的特征：第1個有1項，第2個有2項，第3個有3項，故第n個有n項，且由前幾個的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個等式右邊應(yīng)為＋＋…＋. 2．(2016課標(biāo)全國甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________． 答案　1和3 解析　由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”． 3．(2015福建)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)稱為第k位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)． 已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運(yùn)算定義為00＝0,01＝1,10＝1,11＝0. 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于________． 答案　5 解析　(ⅰ)x4x5x6x7＝1101＝1； (ⅱ)x2x3x6x7＝1001＝0； (ⅲ)x1x3x5x7＝1011＝1. 由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一個錯誤，(ⅱ)中沒有錯誤， ∴x5錯誤，故k等于5. 高考必會題型 題型一　利用歸納推理求解相關(guān)問題 例1　(1)觀察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個等式可為______________________． (2)如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是(　　) 答案　(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1　(2)A 解析　(1)觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項為(－1)n＋1n2.等式右邊的值的符號也是正、負(fù)相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，….設(shè)此數(shù)列為{an}，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n個等式為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. (2)第一個圖，左下角為黑，然后順時針旋轉(zhuǎn)，變?yōu)榈诙€圖；接下來，相鄰的黑塊順時針旋轉(zhuǎn)；所以之后所有圖就應(yīng)該是相鄰的黑塊順時針旋轉(zhuǎn)，故選A. 點評　歸納推理的三個特點 (1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊對象，歸納所得到的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍； (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否準(zhǔn)確，還需要經(jīng)過邏輯推理和實踐檢驗，因此歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具； (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點，幫助發(fā)現(xiàn)問題和提出問題． 變式訓(xùn)練1　已知cos ＝，cos cos ＝， cos cos cos ＝， 根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是________________________． 答案　cos cos …cos ＝，n∈N* 題型二　利用類比推理求解相關(guān)問題 例2　半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長C(r)＝2πr，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr①，①式用語言可以敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)，對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請寫出類比①的等式：________________.上式用語言可以敘述為________________． 答案　(πR3)′＝4πR2　球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù) 解析　圓的面積類比為球的體積，圓的周長類比為球的表面積，那么語言可以敘述為：球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)，故填：(πR3)′＝4πR2；球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)． 點評　類比推理的一般步驟 (1)定類，即找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； (2)推測，即用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； (3)檢驗，即檢驗猜想的正確性，要將類比推理運(yùn)用于簡單推理之中，在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力． 變式訓(xùn)練2　在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　從平面圖形類比到空間圖形，從二維類比三維，可得到如下結(jié)論：正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑之比為，所以正四面體的內(nèi)切球的體積V1與外接球的體積V2之比等于＝()3＝，故選B. 高考題型精練 1．設(shè)0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝(n∈N*)，猜想an等于(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2sin 答案　B 解析　a2＝＝＝＝2cos ， 同理a3＝＝2cos ， a4＝2cos ，猜想an＝2cos ，故選B. 2．面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　根據(jù)三棱錐的體積公式V＝SH得： S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V， 即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V， ∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. 3．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}(bn＝)也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ 答案　D 解析　若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d， ∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列； 若{cn}是等比數(shù)列， 則 即{dn}為等比數(shù)列，故選D. 4．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m、n∈N*)，且對任意m，n∈N*都有： ①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2； ②f(m＋1,1)＝2f(m,1)； 給出以下三個結(jié)論：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16； (3)f(5,6)＝26.其中正確的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　A 解析　由題意f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋2＋2 ＝f(1,2)＋2＋2＋2＝f(1,1)＋2＋2＋2＋2＝9， f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝…＝f(5,1)＋10＝16＋10＝26. 所以三個都正確，故選A. 5．仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數(shù)是________． 答案　14 解析　進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 則前n組兩種圈的總數(shù)是 f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝， 易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14. 6．已知下列四個等式 211＝2， 2213＝34， 23135＝456， 241357＝5678， … 依此類推，猜想第n個等式為______________________． 答案　2n1357…(2n－1)＝(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n) 解析　觀察給出的四個等式可以發(fā)現(xiàn)第n個等式的左邊是2n乘上從1開始的n個奇數(shù)， 右邊是從(n＋1)開始的n個連續(xù)正整數(shù)的積， 根據(jù)這一規(guī)律即可歸納出第n個等式為 2n1357…(2n－1) ＝(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)． 7．如圖1有面積關(guān)系：＝，則圖2有體積關(guān)系：＝________. 答案　 解析　這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，由面積的性質(zhì)類比推理到體積性質(zhì)． 8．對于實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，觀察下列等式： []＋[]＋[]＝3， []＋[]＋[]＋[]＋[]＝10， []＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21. … 按照此規(guī)律，第n個等式的等號右邊的結(jié)果為________． 答案　2n2＋n 解析　按照此規(guī)律第n個等式為＋＋…＋＝n[(n＋1)2－1－n2＋1]＝n(2n＋1)＝2n2＋n，第n個等式的右邊為2n2＋n. 9．有以下三個等式： (12＋42)(92＋52)≥(19＋45)2； (62＋82)(22＋122)≥(62＋812)2； (202＋102)(1022＋72)≥(20102＋107)2. 請觀察這三個不等式，猜想出一個一般性的結(jié)論______________________． 答案　(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 解析　根據(jù)題意，觀察各式得其規(guī)律，用式子將規(guī)律表示出來，再利用規(guī)律進(jìn)行作差比較進(jìn)行證明即可． 10．在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則cos2α＋cos2β＝1.類比到空間中一個正確命題是：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則有________________． 答案　cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2 解析　由在長方形中，設(shè)一條對角線與其一頂點出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α＋cos2β＝1，我們根據(jù)長方體性質(zhì)可以類比推理出空間性質(zhì)， ∵長方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線AC1與過A點的三個面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為α，β，γ， ∴cos α＝，cos β＝，cos γ＝， ∴cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ＝＝2. 故答案為cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2. 11．觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_________________________________． 答案　F＋V－E＝2 解析　觀察F，V，E的變化得F＋V－E＝2. 12．設(shè)f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，且a≠1)． (1)5＝2＋3，請你推測g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示； (2)如果(1)中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣． 解　(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2) ＝＋ ＝， 又g(5)＝， 因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)． (2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 于是推測g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)． 證明：因為f(x)＝，g(x)＝， 所以g(x＋y)＝， g(y)＝，f(y)＝， 所以f(x)g(y)＋g(x)f(y) ＝＋ ＝ ＝g(x＋y)．