高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專(zhuān)題14_1 幾何證明選講試題 理（含解析）

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專(zhuān)題14.1 幾何證明選講 【三年高考】 1. 【2016高考天津】如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_________. 【答案】 2.【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120.以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓. (I)證明：直線(xiàn)AB與O相切； (II)點(diǎn)C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明：AB∥CD. 3．【2016高考新課標(biāo)2】如圖，在正方形中，分別在邊上（不與端點(diǎn)重合），且，過(guò)點(diǎn)作，垂足為． (Ⅰ) 證明：四點(diǎn)共圓； (Ⅱ)若，為的中點(diǎn)，求四邊形的面積． 【解析】（I）因?yàn)?所以則有所以由此可得由此所以四點(diǎn)共圓.（II）由四點(diǎn)共圓，知，連結(jié)，由為斜邊的中點(diǎn)，知,故因此四邊形的面積是面積的2倍，即 4．【2016高考新課標(biāo)3】如圖，中的中點(diǎn)為，弦分別交于兩點(diǎn)． （I）若，求的大??； （II）若的垂直平分線(xiàn)與的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，證明． 【解析】（Ⅰ）連結(jié)，則.因?yàn)?，所以，又，所?又，所以， 因此. （Ⅱ）因?yàn)?，所以，由此知四點(diǎn)共圓，其圓心既在的垂直平分線(xiàn)上，又在的垂直平分線(xiàn)上，故就是過(guò)四點(diǎn)的圓的圓心，所以在的垂直平分線(xiàn)上，又也在的垂直平分線(xiàn)上，因此． 5.【2015高考新課標(biāo)2，】如圖，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，圓與的底邊交于、兩點(diǎn)與底邊上的高交于點(diǎn)，與、分別相切于、兩點(diǎn)． （Ⅰ）證明：； （Ⅱ） 若等于的半徑，且，求四邊形的面積． 【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分線(xiàn)．又因?yàn)榉謩e與、相切于、兩點(diǎn)，所以，故．從而． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分線(xiàn)，又是的弦，所以在上．連接，，則．由等于的半徑得，所以．所以和都是等邊三角形．因?yàn)?，所以，? 因?yàn)?，，所以．于是，．所以四邊形的面積． 6．【2015高考陜西，】如圖，切于點(diǎn)，直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，，垂足為． （I）證明：； （II）若，，求的直徑． 7.【2015高考新課標(biāo)1】如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線(xiàn)，BC交O于E. （Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是O的切線(xiàn)； （Ⅱ）若，求∠ACB的大小. 【解析】（Ⅰ）連結(jié)AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 連結(jié)OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90，∴∠DEC+∠OEB=90，∴∠OED=90，∴DE是圓O的切線(xiàn). （Ⅱ）設(shè)CE=1，AE=,由已知得AB=，， 由射影定理可得，， ∴，解得=，∴∠ACB=60. 8.【2015高考湖南】如圖，在圓中，相交于點(diǎn)的兩弦，的中點(diǎn)分別是，，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，證明： （1）； （2） 【解析】（1）如圖所示， ∵，分別是弦，的中點(diǎn)，∴，， 即， ，，又四邊形的內(nèi)角和等于，故； （2）由（I）知，，，，四點(diǎn)共圓，故由割線(xiàn)定理即得 9. 【2014高考遼寧第22題】如圖，EP交圓于E、C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F. （Ⅰ）求證：AB為圓的直徑； （Ⅱ）若AC=BD，求證：AB=ED. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)镻D=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD為切線(xiàn)，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90，于是∠BDA=90，故AB是直徑. (Ⅱ)連接BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90，在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD， 從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA與∠DAB=∠CBA.又因?yàn)椤螪CB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB. 由于ED是直徑，由（Ⅰ）得ED=AB. 10. 【2014高考全國(guó)2第22題】如圖，P是O外一點(diǎn)，PA是切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，割線(xiàn)PBC與O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交O于點(diǎn)E. 證明：（Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）ADDE=2 11. 【2014高考全國(guó)1第22題】如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，且. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）設(shè)不是的直徑，的中點(diǎn)為，且，證明：為等邊三角形. 【解析】（I）由題設(shè)知四點(diǎn)共圓，所以．由已知得，故． （II）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則由知，故在直線(xiàn)上．又不是的直徑，的中點(diǎn)為，故，即．所以，故．又 ，故．由（1）知，，所以為等邊三角形. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對(duì)幾何證明的考查，主要考查有關(guān)三角形相似、全等、面積、線(xiàn)段長(zhǎng)度及角相等的求解及證明，以平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理，平行線(xiàn)截割定理，相似三角形的判定與性質(zhì)定理，直角三角形射影定理，圓心角、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定定理，圓的割線(xiàn)定理，切割線(xiàn)定理，弦切角定理，相交弦定理等為主要考查內(nèi)容，題目難度一般為中、低檔，備考中應(yīng)嚴(yán)格控制訓(xùn)練題的難度． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出, 高考對(duì)這部分要求不是太高，要求會(huì)以圓為幾何背景，利用直角三角形射影定理，圓周角定理、圓的切線(xiàn)的判定定理及性質(zhì)定理，相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線(xiàn)定理證明三角形相似，全等，求線(xiàn)段長(zhǎng)等，預(yù)測(cè)2017年高考還會(huì)以圓為幾何背景，考查相交線(xiàn)定理，切割線(xiàn)定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力.“幾何證明選講”是選修系列4的一個(gè)專(zhuān)題,該專(zhuān)題在高考中只考查“相似三角形”和“圓”這兩部分平面幾何內(nèi)容,且與另三個(gè)選修4的專(zhuān)題一起命題,供考生選擇作答.其核心內(nèi)容為:線(xiàn)段成比例與相似三角形,圓的切線(xiàn)及其性質(zhì),與圓有關(guān)的相似三角形等.對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō),“幾何證明選講”是初中所學(xué)知識(shí)的深化,因而倍感親切.試題題型為解答題,且難度不大.題型以比例問(wèn)題為主，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、相似形、角平分線(xiàn)定理、直角三角形中的射影定理、圓中的割線(xiàn)定理、切割線(xiàn)定理和相交弦定理等,都涉及線(xiàn)段成比例,因此比例問(wèn)題是本專(zhuān)題中所占比重最大的題型.解決這類(lèi)問(wèn)題,主要方法就是設(shè)法利用上述定理,并靈活變形.復(fù)習(xí)建議：圓內(nèi)接四邊形的重要結(jié)論：內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形.應(yīng)用這些性質(zhì)可以大大簡(jiǎn)化證明有關(guān)幾何題的推證過(guò)程.與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段的證明要訣：相交弦、切割線(xiàn)定理是法寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線(xiàn)，輔助線(xiàn)來(lái)搭橋，第三比作介紹，代數(shù)方法不可少，分析綜合要記牢，十有八九能見(jiàn)效. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 幾何證明選講的內(nèi)容涉及的考點(diǎn)可歸納為:①相似三角形的定義與性質(zhì);②平行線(xiàn)截割定理;③直角三角形射影定理;④圓周角與圓心角定理;⑤圓的切線(xiàn)的判定定理及性質(zhì)定理;⑥弦切角的性質(zhì);⑦相交弦定理;⑧圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和判定定理;⑨切割線(xiàn)定理. 【考點(diǎn)1】相似三角形的判定與性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1．平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理 如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等． 推論1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊． 推論2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一腰． 2．平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理 三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例． 推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例． 3．相似三角形的判定與性質(zhì) (1)判定定理： 內(nèi)容 判定定理1 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 判定定理2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似 判定定理3 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 (2)性質(zhì)定理： 內(nèi)容 性質(zhì)定理1 相似三角形對(duì)應(yīng)高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)和它們周長(zhǎng)的比都等于相似比 性質(zhì)定理2 相似三角形的面積比等于相似比的平方 結(jié)論 相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方 射影定理 直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng) 【規(guī)律方法技巧】 1．判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路 (1)先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等； (2)若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例； (3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則考慮平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”． 2．借助圖形判斷三角形相似的方法 (1)有平行線(xiàn)的可圍繞平行線(xiàn)找相似； (2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例； (3)有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對(duì)應(yīng)邊． 3.比例線(xiàn)段常用平行線(xiàn)產(chǎn)生，利用平行線(xiàn)轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當(dāng)題中沒(méi)有平行線(xiàn)條件而有必要轉(zhuǎn)移比例時(shí)，也常添加輔助平行線(xiàn)，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移比例的目的. 4.判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形特征靈活選擇判定定理，特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．在一個(gè)題目中，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到．相似三角形的性質(zhì)可用來(lái)證明線(xiàn)段成比例、角相等；也可間接證明線(xiàn)段相等． 5.．在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”．證題時(shí)，要注意作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法． 6.相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)： 若，則①；②；③；④；⑤；⑥. 7.輔助線(xiàn)作法：幾何證明題的一個(gè)重要問(wèn)題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線(xiàn)的主要方法就是作平行線(xiàn)，見(jiàn)中點(diǎn)取中點(diǎn)連線(xiàn)利用中位線(xiàn)定理，見(jiàn)比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過(guò)作平行線(xiàn)或連結(jié)異面直線(xiàn)上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線(xiàn)方法． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】如圖所示，已知圓O外有一點(diǎn)P，作圓O的切線(xiàn)PM，M為切點(diǎn)，過(guò)PM的中點(diǎn)N作割線(xiàn)NAB，交圓O于A，B兩點(diǎn)，連接PA并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)C，連接PB交圓O于點(diǎn)D，若MC=BC. （1）求證：△APM△ABP； （2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形. 2.【2016年山西省右玉一中高考沖刺壓軸卷三】如圖，已知⊙和⊙相交于兩點(diǎn)，為⊙的直徑，直線(xiàn)交⊙于點(diǎn)，點(diǎn)為弧中點(diǎn)，連結(jié)分別交⊙、于點(diǎn)，連結(jié). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求證：. 【解析】（Ⅰ）連結(jié)，∵為⊙的直徑，∴，∵為⊙的直徑，∴，∵，∴，∵為弧中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，由（Ⅰ）知，∴. 【考點(diǎn)2】圓的有關(guān)問(wèn)題 【備考知識(shí)梳理】 1．圓周角定理 (1)圓周角：頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓相交的角． (2)圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半． (3)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)： 定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)． 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角． (2)判定： 判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 另外：若兩點(diǎn)在一條線(xiàn)段同側(cè)且對(duì)該線(xiàn)段張角相等，則此兩點(diǎn)與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)共圓，特別的，對(duì)定線(xiàn)段張角為直角的點(diǎn)共圓． 3.圓的切線(xiàn) (1)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 直線(xiàn)與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 直線(xiàn)到圓心的距離d與圓的半徑r的關(guān)系 相交 兩個(gè) d＜r 相切 一個(gè) d＝r 相離 無(wú) d＞r (2) 圓的切線(xiàn)性質(zhì)及判定定理 性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑． 推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心． 判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)． (3)切線(xiàn)長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)長(zhǎng)相等． 3．弦切角 (1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角． (2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半． ②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． 4．與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段 定理名稱(chēng) 基本圖形 條件 結(jié)論 應(yīng)用 相交弦定理 弦AB、CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P (1)PAPB＝PCPD； (2)△ACP∽ △DBP (1)在PA、PB、PC、PD四線(xiàn)段中知三求一； (2)求弦長(zhǎng)及角 切割線(xiàn)定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線(xiàn) (1)PA2＝PBPC； (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一； (2)求解AB、AC 割線(xiàn)定理 PAB、PCD是⊙O的割線(xiàn)　 (1)PAPB＝PCPD； (2)△PAC∽△PDB (1)求線(xiàn)段PA、PB、PC、PD及AB、CD； (2)應(yīng)用相似求AC、BD (1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等． (2)割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等． (3)切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)． (4)切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角． 【規(guī)律方法技巧】 1. 與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段： (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線(xiàn)定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線(xiàn)段成比例與相似三角形、圓的切線(xiàn)及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線(xiàn)定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段的計(jì)算與證明．解決問(wèn)題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線(xiàn)等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用． (3)相交弦定理、切割線(xiàn)定理、割線(xiàn)定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理統(tǒng)稱(chēng)為圓冪定理：圓的兩條弦或其延長(zhǎng)線(xiàn)若相交，各弦被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等.當(dāng)兩交點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)為相交弦定理，當(dāng)兩交點(diǎn)在圓外時(shí)為割線(xiàn)定理，兩交點(diǎn)重合時(shí)為切線(xiàn)，一條上兩點(diǎn)重合時(shí)為切割線(xiàn)定理，兩條都重合時(shí)為切線(xiàn)長(zhǎng)定理，應(yīng)用此定理一定要分清兩條線(xiàn)段是指哪兩條． 2. 弦切角定理及推論的應(yīng)用 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線(xiàn)段或角的大?。? (2)涉及圓的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線(xiàn)(或半徑)或向弦(弧)兩端畫(huà)圓周角或作弦切角． 3. 證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線(xiàn)段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線(xiàn)段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線(xiàn)段異側(cè)，則證明它們與線(xiàn)段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 4.涉及圓的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫(huà)圓周角或作弦切角． 5.一般地，涉及圓內(nèi)兩條相交弦時(shí)首先要考慮相交弦定理，涉及兩條割線(xiàn)時(shí)要想到割線(xiàn)定理，涉及切線(xiàn)和割線(xiàn)時(shí)要注意應(yīng)用切割線(xiàn)定理，要注意相交弦定理中線(xiàn)段之間的關(guān)系與切割線(xiàn)定理線(xiàn)段關(guān)系之間的區(qū)別． 6.在平面幾何的有關(guān)計(jì)算中往往要使用比例線(xiàn)段，產(chǎn)生比例線(xiàn)段的一個(gè)主要根據(jù)是兩三角形相似．在涉及兩圓的公共弦時(shí)，通常是作出兩圓的公共弦．如果有過(guò)公共點(diǎn)的切線(xiàn)就可以使用弦切角定理．在兩個(gè)圓內(nèi)實(shí)現(xiàn)角的等量代換，這是解決兩個(gè)圓相交且在交點(diǎn)處有圓的切線(xiàn)問(wèn)題的基本思考方向． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.【2016屆湖北七市教研協(xié)作體高三4月聯(lián)考】已知中，，是外接圓劣弧上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），延長(zhǎng)至，延長(zhǎng)至. （1）求證：； （2）若，中邊上的高為，求外接圓的面積. 【解析】（1）如圖，由得，∵與都是同弧所對(duì)的圓周角， ∴且，故. （2）設(shè)為外接圓圓心，連接交于，則，連接，由題意易得，，且，∴，設(shè)圓半徑為，則， 解得，故外接圓面積為. 2.【2016屆陜西省高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)檢二】如圖，已知圓與相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)交圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩圓的割線(xiàn)，分別交圓、圓于點(diǎn)、，與相交于點(diǎn). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若是圓的切線(xiàn)，且，求的長(zhǎng). 【解析】（Ⅰ）連接．∵是圓的切線(xiàn)，∴.又∵，∴，∴. （Ⅱ）證明：設(shè)，∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，聯(lián)立上述方程得到，∴.∵是圓的切線(xiàn)，∴.∴. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．輔助線(xiàn)作法： 幾何證明題的一個(gè)重要問(wèn)題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線(xiàn)的主要方法就是作平行線(xiàn)，見(jiàn)中點(diǎn)取中點(diǎn)連線(xiàn)利用中位線(xiàn)定理，見(jiàn)比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過(guò)作平行線(xiàn)或連結(jié)異面直線(xiàn)上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線(xiàn)方法． 2．比例的性質(zhì)的應(yīng)用 相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)： 若，則①；②；③；④；⑤；⑥. 3．同一法：先作出一個(gè)滿(mǎn)足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立． 4.證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線(xiàn)段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線(xiàn)段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線(xiàn)段異側(cè)，則證明它們與線(xiàn)段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 5.與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段 (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線(xiàn)定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線(xiàn)段成比例與相似三角形、圓的切線(xiàn)及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線(xiàn)定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段的計(jì)算與證明．解決問(wèn)題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線(xiàn)等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用． 二年模擬 1. 【2016年山西榆林高三二次?？肌咳鐖D所示，在中，是的平分線(xiàn)，的外接圓交于點(diǎn)，. （1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng). 【解析】（1）連接，因?yàn)樗倪呅问菆A內(nèi)接四邊形，所以，所以，即有，又，所以，又是的平分線(xiàn)，所以，從而; （2）由條件 得，設(shè)，根據(jù)割線(xiàn)定理得：，即，所以有，解得：，所以. 2. 【2016年湖北八校高三四次聯(lián)考】如圖，在銳角三角形中，，以為直徑的圓與邊另外的交點(diǎn)分別為，且于． （Ⅰ）求證：是的切線(xiàn)； （Ⅱ）若，，求的長(zhǎng)． 3. 【2016年安徽安慶二?！咳鐖D,以的邊為直徑作圓,圓與邊的交點(diǎn)恰為邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)． （I）求證：是圓的切線(xiàn)； （II）若,求的值． 4.【2016年江西高三九校聯(lián)考】如圖所示，為的直徑，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)． （1）求證：； （2）求證：． 【解析】（Ⅰ）連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線(xiàn)．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)且為的中點(diǎn)，所以，故. （Ⅱ）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又．又因?yàn)椋?,,． 5. 【2016年安徽淮北一中高三?？肌咳鐖D，是圓上的兩點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，連結(jié)分別交圓于點(diǎn)，且，連結(jié)并延長(zhǎng)至，使． （1）求證：； （2）若，且，求． 【解析】（1）連結(jié)，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以，由已知，所以，且，所以，所以? （2）因?yàn)?，所以，則，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以? 6. 【2016年江西南昌高三一模】如圖， 圓M與圓N交于A， B兩點(diǎn)， 以A為切點(diǎn)作兩圓的切線(xiàn)分別交圓M和圓N于C、D兩點(diǎn)，延長(zhǎng)DB交圓M于點(diǎn)E， 延長(zhǎng)CB交圓N于點(diǎn)F．已知BC=5， DB=10. (I)求AB的長(zhǎng)； （II）求. 【解析】（Ⅰ）根據(jù)弦切角定理，知，，∴△∽△ ，則，故. （Ⅱ）根據(jù)切割線(xiàn)定理，知，，兩式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得． 7. 【2016年河南八市高三三?！恳阎瑑?nèi)接于圓，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得交圓于點(diǎn). （1）求證：； （2）若，求證：. 【解析】(1）如圖，連結(jié)．．又 （2） 8.【2016屆河北省石家莊市高三二?！咳鐖D，內(nèi)接于⊙，，弦交線(xiàn)段于，為的中點(diǎn)，在點(diǎn)處作圓的切線(xiàn)與線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，連接. （I）求證：； （II）若，⊙的半徑為，求切線(xiàn)的長(zhǎng). 9. 【2016屆陜西省高三高考全真模擬四】如下圖,是圓的兩條互相垂直的直徑,是圓上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)交的延長(zhǎng) 線(xiàn)于.連結(jié)交于點(diǎn). （1）求證：； （2）若圓的半徑為,求的長(zhǎng). 【解析】（1）證明：連接,由弦切角定理知，又,即.由切割線(xiàn)定理得,所以. （2）由知，.在中，由得，.在中，由得，于是. 10.【2016屆山西右玉一中高三下學(xué)期模擬】已知如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，切 點(diǎn)為，. （1）若，求的長(zhǎng)； （2）在上取一點(diǎn)，若，求的大小. 【解析】（1）∵是圓的切線(xiàn)，∴，由，∴.又，∴∽，∴.又，，∴，∴. （2）由（1）知，，∵，∴，∴. 11. 【2015屆陜西西安西北工大附中高三下學(xué)期5月模擬】如圖，和相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線(xiàn)分別交兩圓于兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)． 證明：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【解析】（1）由與相切于，得，同理， 所以從而，即 （2）由與相切于，得，又，得 從而，即，綜合（1）的結(jié)論， 12.【2015屆陜西省西工大附中高三下學(xué)期模擬考試一】如圖,⊙的直徑的延長(zhǎng)線(xiàn)與弦的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn),為⊙上一點(diǎn),AE＝AC ,交于點(diǎn),且, （Ⅰ）求的長(zhǎng)度． （Ⅱ）若圓F與圓內(nèi)切，直線(xiàn)PT與圓F切于點(diǎn)T，求線(xiàn)段PT的長(zhǎng)度 【解析】（Ⅰ）連結(jié),由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系結(jié)合題中條件弧長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)可得,又,,從而,故∽,∴, 由割線(xiàn)定理知,故． （Ⅱ）若圓F與圓內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為，因?yàn)榧?，所以是圓的直徑，且過(guò)點(diǎn)圓的切線(xiàn)為，則，即 . 13.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】如圖，在△ABC中，，以為直徑的⊙O交于，過(guò)點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)交于，交⊙O于點(diǎn)． （Ⅰ）證明：是的中點(diǎn)； （Ⅱ）證明：. 14.【2015屆遼寧省師大附中高三模擬考試】如圖，圓周角的平分線(xiàn)與圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與弦的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證：; （2）若四點(diǎn)共圓，且弧與弧相等，求 15.【2015屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期自主命題二】如圖，在中，是的角平分線(xiàn)，的外接圓交于點(diǎn)，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)． 【解析】（Ⅰ）連接，因?yàn)槭菆A內(nèi)接四邊形，所以又∽，即有，又因?yàn)椋傻靡驗(yàn)槭堑钠椒志€(xiàn)，所以，從而 （Ⅱ）由條件知，設(shè)，則，根據(jù)割線(xiàn)定理得，即即，解得或（舍去），則． 拓展試題以及解析 1. 如圖，內(nèi)接于⊙，弦AE交BC于點(diǎn)D，已知，，OD=1,. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求中BC邊上的高． 【解析】（Ⅰ）由于，所以D為AE中點(diǎn)，那么，為直角三角形， ∵，∴∽，則，又(對(duì)頂角)，∴. （Ⅱ）作AFBC于點(diǎn)F，連接OA，由(1)得，在直角與直角中，AF=ADsin=OEsin2=，即BC邊上的高為． 【入選理由】本題主要考查平面幾何的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查考生的邏輯推理能力.高考對(duì)平面幾何的考查主要是通過(guò)三角形全等或三角形相似進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，并綜合運(yùn)用圓的切割線(xiàn)定理、相交弦定理等 進(jìn)行證明計(jì)算．以圓為背景 是基本不變的，因而靈活應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)，找準(zhǔn)有關(guān)的對(duì)應(yīng)三角形、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.本題構(gòu)思巧妙，難度不大，故選此題. 2．如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，割線(xiàn)、割線(xiàn)分別交圓于與、 與．已知的垂直平分線(xiàn)與圓相切． （1）求證：； （2）若，，求的長(zhǎng)． 【解析】（1）證明：連結(jié)，∵與圓相切，∴．又為的垂直平分線(xiàn)，∴，∴，∴． （2）由（1）知且為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，且，∴．∵為圓的切線(xiàn)，∴，∴，∴，∴． 【入選理由】本題考查圓的切割線(xiàn)定理，弦切角定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力. 切割線(xiàn)定理、三角形相似、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查知識(shí)點(diǎn)，本題難度不大，故選此題. 3.如圖，直線(xiàn)AB過(guò)圓心O，交圓O于A、B，直線(xiàn)AF交圓O于F（不與B重合），直線(xiàn)與圓O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC． 求證：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【證明】（Ⅰ）連接，是直徑，，．切圓于，．． （Ⅱ）連接，切圓于，．又∽． ． 【入選理由】本題考查圓的弦切角定理、三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力.本題由弦切角定理入手，得出三角形相似，從而可證，本題難度不大，故選此題. 4.如圖，是⊙的直徑，是圓上兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度． 【入選理由】本題考查平面幾何的證明，具體涉及圓的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，割線(xiàn)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考察學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識(shí)基礎(chǔ)，綜合性強(qiáng)，是高考出題方向，故選此題. 5.如圖，圓內(nèi)接四邊形滿(mǎn)足∥，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且. 若， . （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求的長(zhǎng). 【解析】（Ⅰ）由知是圓的切線(xiàn). ∴由弦切線(xiàn)角定理得， 又， ∴， ∴； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又， ∴∽， ∴， 又，，∴，∵，∴. 【入選理由】本題考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考察學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識(shí)基礎(chǔ)，難度不大，故選此題. 6.如圖，點(diǎn)P是△ABC的外接圓O在C點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)． （Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，證明：BC⊥PC； （Ⅱ）若D是圓O上一點(diǎn)，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=，PC＝4，求CD的長(zhǎng)． 【入選理由】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)、弦切角定理、切割線(xiàn)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題第一問(wèn)由弦切角入手，得三角形相似，從而得結(jié)論，第二問(wèn)由切割線(xiàn)定理入手，結(jié)合弦切角定理及同弧所對(duì)的圓周角相等，得三角形相似，像這種題型考查知識(shí)基礎(chǔ)，綜合性強(qiáng)，是高考出題方向，故選此題. 7.如圖所示，在四邊形中，交于點(diǎn)，. （Ⅰ）求證：、、、四點(diǎn)共圓; （Ⅱ）過(guò)作四邊形外接圓的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，,求證：平分. 【證明】（Ⅰ）∵,∴,,∵,, ∴,,∴=,=,=, =,∴=+++ =+++==,∴、、、四點(diǎn)共圓； （Ⅱ）由弦切角定理可知：∠=∠，∵,∴∽,∴=， ∵，∴=,∴=,∴=, ∴=,∴=∠,∴平分. 【入選理由】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、弦切角定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識(shí)基礎(chǔ)難度不大，是高考出題方向，故選此題. 8.如圖，四邊形外接于圓，是圓周角的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）若是圓的直徑，，，求長(zhǎng) 【解析】（1）∵是圓周角的角平分線(xiàn)，∴．又∵是圓的切線(xiàn)，∴，∴．又∵，∴，∴． 【入選理由】本題考查圓周角定理、弦切角定理、三角形相似的判斷與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力.本題是一個(gè)常規(guī)題，考查知識(shí)基礎(chǔ)，難度不大，故選此題.