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第38練 數(shù)形結(jié)合思想
[思想方法解讀] 數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；②借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．
數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍．
數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合．如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的．
體驗(yàn)高考
1．(2015北京)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
答案 C
解析 令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖.
由 得
∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1
－1時(shí)，
f(x)＝
作出f(x)的大致圖象如圖所示，
由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)＝5，
即a＋1＝5，∴a＝4.
同理，當(dāng)a≤－1時(shí)，－a－1＝5，∴a＝－6.
高考必會(huì)題型
題型一 數(shù)形結(jié)合在方程根的個(gè)數(shù)中的應(yīng)用
例1 方程sin πx＝的解的個(gè)數(shù)是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y1＝sin πx和y2＝的圖象，如下圖：
觀察圖象可知y1＝sin πx和y2＝的圖象在第一象限有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知，在第三象限也有3個(gè)交點(diǎn)，在加上原點(diǎn)，共7個(gè)交點(diǎn)，所以方程sin πx＝有7個(gè)解．
點(diǎn)評(píng) 利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性，否則會(huì)得到錯(cuò)解．
(2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．
變式訓(xùn)練1 若函數(shù)f(x)＝有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－4,0) B．(－∞，0]
C．(－4,0] D．(－∞，0)
答案 B
解析 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．
依題意，顯然當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝－kx2也有一個(gè)零點(diǎn)，即方程－kx2＝0只能有一個(gè)解．
令h(x)＝，g(x)＝kx2，
則兩函數(shù)圖象在x≤0時(shí)只能有一個(gè)交點(diǎn)．
若k>0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即點(diǎn)A與原點(diǎn)O(如圖所示)．
顯然k>0不符合題意．
若k<0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，
即原點(diǎn)O(如圖所示)．
若k＝0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)O.
綜上，所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，0]．故選B.
題型二 利用數(shù)形結(jié)合解決不等式函數(shù)問(wèn)題
例2 已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝，
此時(shí)f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，
且00，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)＝x－a，g(x)＝2－x在x>0時(shí)的圖象，如圖．
當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以選D.
題型三 利用數(shù)形結(jié)合求最值
例3 已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C. D.
答案 C
解析 如圖，
設(shè)O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c.
由題意知C⊥C，
∴O、A、C、B四點(diǎn)共圓．
∴當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)，|O|＝.
點(diǎn)評(píng) 利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟
第一步：分析數(shù)理特征，確定目標(biāo)問(wèn)題的幾何意義．一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義．
第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．
第三步：解決幾何問(wèn)題．
第四步：回歸代數(shù)問(wèn)題．
第五步：回顧反思．
應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問(wèn)題需要熟悉常見(jiàn)的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離．
變式訓(xùn)練3 已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90，則m的最大值為( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答案 B
解析 根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，如圖所示，
則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m.
因?yàn)椤螦PB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，
即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離．
因?yàn)閨OC|＝＝5，
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值為6.
高考題型精練
1．若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是( )
A．[－，] B．(－，)
C．[－，] D．(－，)
答案 C
解析 設(shè)直線方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，
圓心到直線的距離小于等于半徑，
即d＝≤1，
得4k2≤k2＋1，k2≤.所以－≤k≤.
2．已知f(x)＝|xex|，又g(x)＝f2(x)＋tf(x)(t∈R)，若滿足g(x)＝－1的x有四個(gè)，則t的取值范圍為( )
A．(，＋∞) B．(－∞，－)
C．(－，－2) D．(2，)
答案 B
解析 依題意g(x)＝f2(x)＋tf(x)＝－1，
即t＝＝－[f(x)＋]≤－2，
可排除A，C，D.也可以畫(huà)出函數(shù)－[f(x)＋]圖象如下圖所示，要有四個(gè)交點(diǎn)，則選B.
3．已知函數(shù)f(x)滿足下列關(guān)系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lgx解的個(gè)數(shù)是( )
A．5 B．7 C．9 D．10
答案 C
解析 由題意可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)閇0,1]的函數(shù)．又f(x)＝lgx，則x∈(0,10]，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，
則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)．由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)．
4．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝()x－1，若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是( )
A．(，2) B．(，2)
C．[，2) D．(，2]
答案 B
解析 作出f(x)在區(qū)間(－2,6]上的圖象，
可知loga(2＋2)<3，loga(6＋2)>3?2(由于a4.
8．已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (0,1)∪(1,4)
解析 根據(jù)絕對(duì)值的意義，
y＝＝
在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，
如圖中實(shí)線所示．
根據(jù)圖象可知，當(dāng)0
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知識(shí)方法篇
專(zhuān)題10
數(shù)學(xué)思想
第38練
數(shù)形結(jié)合思想
高考
數(shù)學(xué)
考前
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思想
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