高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 29 單元測(cè)試卷三 北師大版必修4

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29　單元測(cè)試卷三 時(shí)間：90分鐘　滿分：150分 班級(jí)________　　姓名________　　分?jǐn)?shù)________ 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．sin15cos75＋cos15sin75等于(　　) A．0　　　B.　　　C.　　　D．1 答案：D 解析：原式＝sin(15＋75)＝sin90＝1. 2．設(shè)向量a＝(1，cosθ)與b＝(－1,2cosθ)垂直，則cos2θ等于(　　) A. B. C．0 D．－1 答案：C 解析：因?yàn)閍⊥b，所以1(－1)＋cosθ(2cosθ)＝0，得2cos2θ－1＝0，即cos2θ＝0. 3．已知ω>0，函數(shù)f(x)＝(sinωx＋cosωx)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0,2] 答案：A 解析：因?yàn)閒(x)＝(sinωx＋cosωx)，所以f(x)＝sin. 4．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，則sin(2β＋7π)＝(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：B 解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2＝－. 5．函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是(　　) A．[2,3] B. C．[1,4] D．[2,4] 答案：A 解析：因?yàn)閒(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故選A. 6．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，則此三角形必是(　　) A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：A 解析：因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以C＝π－(A＋B)． ∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB. 由條件知：sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又∵A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，故選A. 7．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，則cos2α等于(　　) A. B． C．－ D. 答案：A 解析：(cosα＋sinα)2＝，sinαcosα＝－，從而sinα＞0，cosα＜0， cosα－sinα＝－＝－， cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα) ＝－?。? 8．若sinα＋cosα＝tanα，則α的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因?yàn)閟inα＋cosα＝sin(α＋)∈(1，)，所以tanα∈(1，)，又因?yàn)?<α<，所以<α<，故選 C. 9．已知f(x)＝sin2(x＋)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg)，則(　　) A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)－b＝0 C．a(chǎn)＋b＝1 D．a(chǎn)－b＝1 答案：C 解析：f(x)＝＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝1 又因?yàn)閘g5＋lg＝0，∴a＋b＝1. 10．若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,0]上是增函數(shù)，α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是(　　) A．f(cosα)＞f(cosβ) B．f(sinα)＞f(cosβ) C．f(sinα)＞f(sinβ) D．f(cosα)＞f(sinβ) 答案：D 解析：已知α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以α＋β＞，即β＞－α且β，－α∈.因?yàn)閥＝sinx在上為增函數(shù)，所以sinβ＞sin＝cosα，sinβ，cosα∈[0,1]，已知函數(shù)f(x)在[－1,0]上為增函數(shù)且為偶函數(shù)，則f(x)在[0,1]上為減函數(shù)，所以f(cosα)＞f(sinβ)． 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上． 11．已知sin＝，則sin2x＝________. 答案：－ 解析：∵sin＝，∴sinx＋cosx＝，兩邊平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－. 12．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且0＜α，β＜，則cosβ＝__________. 答案： 解析：因?yàn)?＜α，β＜，cosα＝，cos(α＋β)＝－，所以sinα＝＝， sin(α＋β)＝＝. 所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝. 13．已知θ為第二象限角，tan2θ＝－2，則＝________. 答案：3＋2 解析：∵tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝.∵＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－，＝＝＝＝＝3＋2. 14．已知函數(shù)f(x)＝cos2x－2acosx－2a的最小值為－，則實(shí)數(shù)a的值為________． 答案：－2＋ 解析：f(x)＝cos2x－2acosx－2a＝2cos2x－2acosx－2a－1.令t＝cosx，則－1≤t≤1，函數(shù)f(x)可化為y＝2t2－2at－2a－1＝22－－2a－1(－1≤t≤1)．當(dāng)>1，即a>2時(shí)，當(dāng)t＝1時(shí)，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a>2，舍去；當(dāng)<－1，即a<－2時(shí)，當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝2＋2a－2a－1＝1，不符合題意，舍去；當(dāng)－1≤≤1，即－2≤a≤2時(shí)，當(dāng)t＝時(shí)，ymin＝－－2a－1＝－，解得a＝－2，由于－2≤a≤2，故a＝－2＋. 15．給出下列命題： ①存在x∈，使sinx＋cosx＝； ②存在區(qū)間(a，b)，使y＝cosx為減函數(shù)而sinx＜0； ③y＝cos2x＋sin既有最大值和最小值，又是偶函數(shù)； ④y＝sin的最小正周期為π. 其中錯(cuò)誤的命題為__________．(把所有符合要求的命題序號(hào)都填上) 答案：①②④ 解析：對(duì)于①，sinx＋cosx＝sin，因?yàn)閤∈，所以x＋∈，sinx＋cosx＝sin∈[1，]，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)y＝cosx的單調(diào)減區(qū)間為(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，此時(shí)y＝sinx＞0，故②錯(cuò)誤；③正確；對(duì)于④，函數(shù)y＝sin的最小正周期為，故錯(cuò)誤． 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 16．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x. (1)求f的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間． 解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x， 所以f(x)＝1＋2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2， 所以f＝sin＋2＝＋2＝＋＋2＝. (2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)． 17．(12分)已知tanθ＝，求： (1)的值； (2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ的值． 解析：(1)＝＝＝＝－3－2 . (2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ ＝?。健。健。? 18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋cos2x. (1)若tanθ＝2，求f(θ)的值； (2)若函數(shù)y＝g(x)的圖像是由函數(shù)y＝f(x)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，且g(x)在區(qū)間(0，m)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值． 解：解法一：(1)因?yàn)閠anθ＝2， 所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ ＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1) ＝sinθcosθ＋cos2θ－ ＝－ ＝－ ＝. (2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin. 依題意，得g(x)＝sin， 即g(x)＝sin. 因?yàn)楫?dāng)x∈(0，m)時(shí)，2x－∈， 又g(x)在區(qū)間(0，m)上是單調(diào)函數(shù)， 所以2m－≤，即m≤， 故實(shí)數(shù)m的最大值為. 解法二：(1)f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ ＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1) ＝sinθcosθ＋cos2θ－ ＝－. 因?yàn)閠anθ＝2，所以sinθ＝2cosθ， 所以f(θ)＝－＝. (2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin. 依題意，得g(x)＝sin， 即g(x)＝sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增． 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減． 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間(0，m)上是單調(diào)函數(shù)，所以(0，m)?， 故實(shí)數(shù)m的最大值為. 19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝1－cos2x＋2sinxcosx＋t(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若x∈，是否存在實(shí)數(shù)t，使函數(shù)f(x)的值域恰為？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x＋t＝2sin＋t＋1， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)t符合題意，∵x∈， ∴－≤2x－≤，則sin∈， ∴f(x)＝2sin＋t＋1∈[t,3＋t]． 又f(x)∈，∴t＝， ∴存在實(shí)數(shù)t＝，使函數(shù)f(x)的值域恰為. 20．(13分)已知向量m＝(sinx,1－cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函數(shù)f(x)＝mn＋. (1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)； (2)若f(α)＝，且α∈，求cosα的值． 解：(1)f(x)＝mn＋＝sinx－sin2x＋cosx－cos2x＋＝sinx＋cosx＝2sin. 由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x＝kπ－(k∈Z)． (2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，所以sin＝， 因?yàn)棣痢剩?α＋<，則cos＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－＋＝. 21．(14分)已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos2x，x∈. (1)求f(x)的最大值和最小值； (2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)∵f(x)＝－cos2x ＝1＋sin2x－cos2x ＝1＋2sin. 又∵x∈，∴≤2x－≤， ∴2≤1＋2sin≤3， ∴f(x)max＝3，f(x)min＝2. (2)∵|f(x)－m|＜2?f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈， ∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2， ∴1＜m＜4，即m的取值范圍是(1,4)．