高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 必考補(bǔ)充專題 專題限時(shí)集訓(xùn)22 專題6 突破點(diǎn)22 排列組合、二項(xiàng)式定理 理

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專題限時(shí)集訓(xùn)(二十二)　排列組合、二項(xiàng)式定理 A組　高考題、模擬題重組練] 一、排列、組合 1．(2016全國(guó)甲卷)如圖221，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) 圖221 A．24　　 B．18　　　 C．12　　 D．9 B　從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再?gòu)腇到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條．如圖， 從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再?gòu)腁到F，或先從E到B，再?gòu)腂到F.因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條)．所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為63＝18.] 2．(2016四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 D　第一步，先排個(gè)位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A種選擇． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有CA＝72(個(gè))．] 3．(2016全國(guó)丙卷)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　) A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè) C　由題意知：當(dāng)m＝4時(shí)，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1，且必有a1＝0，a8＝1.不考慮限制條件“對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”，則中間6個(gè)數(shù)的情況共有C＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的情況有：①若a2＝a3＝1，則有C＝4(種)；②若a2＝1，a3＝0，則a4＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20－6＝14(種)．故共有14個(gè)．故選C.] 4．(2012全國(guó)卷)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　) A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 A　分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(種)選派方法； 第二步，選派兩名學(xué)生到甲地，另外兩名到乙地，共有C＝6(種)選派方法． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的選派方案共有26＝12(種)．] 5．(2016哈爾濱一模)某中學(xué)高三學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)在從中任選3人，要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，且在三班至多選1人，不同的選取法的種數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952083】 A．484 B．472 C．252 D．232 B　分兩類，不選三班的同學(xué)，利用間接法，沒有條件得選擇3人，再排除3個(gè)同學(xué)來自同一班，有C－3C＝208種； 選三班的一位同學(xué)，剩下的兩位同學(xué)從剩下的12人中任選2人，有CC＝264種． 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，得208＋264＝472，故選B.] 6．(2016吉安一模)下列各式的展開式中x8的系數(shù)恰能表示從重量分別為1,2,3,4，…，10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項(xiàng)是(　　) A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x10) B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋10x) C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋10x10) D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)…(1＋x＋x2＋…＋x10) A　從重量分別為1,2,3,4，…，10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法是選一個(gè)，8克，一種方法，選兩個(gè)，1＋7,2＋6,3＋5，共3種方法，選三個(gè)，1＋2＋5，只有一種方法，其他不含1的三個(gè)的和至少是2＋3＋4＞8.四個(gè)以上的和都大于8，因此共有方法數(shù)為5.A中，x8的系數(shù)是1＋3＋1＝5(x8，xx7，x2x6，x3x5，xx2x5)，B中，x8的系數(shù)大于12345678，C中，x8的系數(shù)大于8(8x8的系數(shù)就是8)，D中，x8的系數(shù)大于C＞8(有四個(gè)括號(hào)里取x2，其余取1時(shí)系數(shù)為C)．因此只有A是正確的，故選A.] 7．(2016沈陽一模)將3本相同的小說，2本相同的詩(shī)集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有(　　) A．24種 B．28種 C．32種 D．36種 B　法一：五本書分給四名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，那么這四名同學(xué)中有且僅有一名同學(xué)分到兩本書，第一步驟，先選出一名同學(xué)，即C；這名同學(xué)分到的兩本書有三種情況：兩本小說，兩本詩(shī)集或是一本小說和一本詩(shī)集，因?yàn)樾≌f、詩(shī)集都不區(qū)別，所以在第一種情況下有C種分法(剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本小說，其余兩名同學(xué)各分到一本詩(shī)集)，在第二種情況下有1種分法(剩下三名同學(xué)各分到一本小說)，在第三種情況下有C種分法(剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本詩(shī)集，其余兩名同學(xué)各分到一本小說)，這樣第二步驟共有情況數(shù)是C＋1＋C＝7，故本題的答案是7C＝28，選B. 法二：將3本相同的小說記為a，a，a；2本相同的詩(shī)集記為b，b，將問題分成3種情況，分別是①aa，a，b，b，此種情況有A＝12種；②bb，a，a，a，此種情況有C＝4種；③ab，a，a，b，此種情況有A＝12種，總共有28種，故選B.] 二、二項(xiàng)式定理 8．(2015全國(guó)卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10　　 B．20　　　 C．30　　 D．60 C　法一：(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5， 含y2的項(xiàng)為T3＝C(x2＋x)3y2. 其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4x＝Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C. 法二：(x2＋x＋y)5為5個(gè)x2＋x＋y之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30.故選C.] 9．(2013全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　(x＋y)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C， ∴a＝C. 同理，b＝C. ∵13a＝7b，∴13C＝7C. ∴13＝7. ∴m＝6.] 10．(2013全國(guó)卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 D　(1＋x)5中含有x與x2的項(xiàng)為T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，∴x2的系數(shù)為10＋5a＝5，∴a＝－1，故選D.] 11．(2016全國(guó)乙卷)(2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案) 10　(2x＋)5展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－. 令5－＝3，得r＝4. 故x3的系數(shù)為25－4C＝2C＝10.] 12．(2016山東高考)若5的展開式中x5的系數(shù)是－80，則實(shí)數(shù)a＝________. －2　Tr＋1＝C(ax2)5－rr＝Ca5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展開式中x5的系數(shù)為－80，則有Ca3＝－80，解得a＝－2.] 13．(2015全國(guó)卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝________. 3　設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝232，∴a＝3.] 14．(2014全國(guó)卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案) －20　x2y7＝x(xy7)，其系數(shù)為C， x2y7＝y(tǒng)(x2y6)，其系數(shù)為－C， ∴x2y7的系數(shù)為C－C＝8－28＝－20.] 15．(2016正定一模)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有(m＋x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，若a1＋a3＋a5＋a7＝32，則m＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952084】 0　設(shè)(1＋x)6＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b6x6，則a1＝b0＋mb1，a3＝b2＋mb3，a5＝b4＋mb5，a7＝b6， 所以a1＋a3＋a5＋a7＝(b0＋b2＋b4＋b6)＋m(b1＋b3＋b5)，又由二項(xiàng)式定理知 b0＋b2＋b4＋b6＝b1＋b3＋b5＝(1＋1)6＝32，所以32＋32m＝32，m＝0.] B組　“12＋4”模擬題提速練] 一、選擇題 1．(2016韶關(guān)一模)某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中A，B，C三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定：每位同學(xué)選修三門，則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是(　　) A．70　　 B．98　　　 C．108　　 D．120 B　可分為兩類：選A，B，C中的一門，其它7科中選兩門，有CC＝63；不選A，B，C中的一門，其它7科中選三門，有C＝35；所以共有98種，故選B.] 2．(2016臨汾二模)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8等于(　　) A．－5 B．5 C．90 D．180 D　因?yàn)?1＋x)10＝(－2＋1－x)10，所以a8等于C(－2)2＝454＝180.故選D.] 3．(2016福州模擬)甲、乙等5人在9月3號(hào)參加了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利70周年閱兵慶典后，在天安門廣場(chǎng)排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有(　　) A．12種 B．24種 C．48種 D．120種 B　甲乙相鄰，將甲乙捆綁在一起看作一個(gè)元素，共有AA種排法，甲乙相鄰且在兩端有CAA種排法，故甲乙相鄰且都不站在兩端的排法有AA－CAA＝24(種)．] 4．(2016漳州二模)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為(　　) A．－20 B．0 C．1 D．20 D　令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C21(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.] 5．(2016昆明二模)在4的二項(xiàng)展開式中，如果x3的系數(shù)為20，那么ab3＝(　　) A．20 B．15 C．10 D．5 D　Tr＋1＝C(ax6)4－rr＝Ca4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，則4ab3＝20，∴ab3＝5.] 6．(2016成都二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶光，4個(gè)紅包中兩個(gè)2元，兩個(gè)3元(紅包金額相同視為相同的紅包)，則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有(　　) A．36種 B．24種 C．18種 D．9種 C　由題意可得丙、丁、戊中有1人沒有搶到紅包，且搶到紅包的4人中有2人搶到2元紅包，另2人搶到3元紅包，則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有CC＝18種，故選C.] 7．(2016蘭州一模)七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙，丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排法有(　　) A．240種 B．192種 C．120種 D．96種 B　不妨令乙丙在甲左側(cè)，先排乙丙兩人，有A種站法，再取一人站左側(cè)有CA種站法，余下三人站右側(cè)，有A種站法，考慮到乙丙在右側(cè)的站法，故總的站法總數(shù)是2ACAA＝192，故選B.] 8．(2016威海一模)某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館，每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀，則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有(　　) A．AA種 B．A54種 C．CA種 D．C54種 D　有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館共有C種情況，其余四個(gè)年級(jí)每個(gè)年級(jí)各有5種選擇情況，故有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有C54種，故選D.] 9．(2016泉州模擬)在10的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．10 B．30 C．45 D．120 C　因?yàn)?0＝10 ＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2項(xiàng)只能在(1＋x)10的展開式中，所以含x2的項(xiàng)為Cx2，系數(shù)為C＝45，故選C.] 10．(2016肇慶二模)(x＋2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952085】 A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1 344x2y5 C　設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大， 則有 即 即解得 又∵r∈Z，∴r＝5，∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6＝Cx225y5＝672x2y5.故選C.] 11．(2016宜昌模擬)若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 A　令x＝1，則a0＋a1＋…＋a4＝(2＋)4， 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4， ∴(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 ＝(a0＋a1＋…＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4) ＝(2＋)4(－2＋)4 ＝1.] 12．(2016長(zhǎng)春一模)若n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　由題意，n的展開式的項(xiàng)為Tr＋1＝C(x6)n－rr＝Cx6n－6r－r＝Cx6n－r，令6n－r＝0，得n＝r，當(dāng)r＝4時(shí)，n取到最小值5.故選C.] 二、填空題 13．(2016烏魯木齊一模)若9的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)是84，則實(shí)數(shù)a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952086】 1　∵9的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Carx9－3r， 令9－3r＝0，即r＝3，常數(shù)項(xiàng)為T4＝Ca3＝84a3， 依題意，有84a3＝84，∴a＝1.] 14．(2016湖南東部六校聯(lián)考)如果n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是________． 21　n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為n＝2n＝128，所以n＝7，所以n＝7，其展開式的通項(xiàng)為 Tr＋1＝C(3x)7－rr＝C37－rx7－r(－x－)r＝(－1)rC37－rx7－r，由7－r＝－3，得r＝6，所以的系數(shù)是C(－1)63＝21.] 15．(2016長(zhǎng)春二模)小明試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒時(shí)只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有________種． 37　由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為C，為35種．共計(jì)37種取法．] 16．(2016廣東八市聯(lián)考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________． 472　由題意，不考慮特殊情況，共有C種取法，其中每一種卡片各取三張，有4C種取法，兩種紅色卡片，共有CC種取法，故所求的取法共有C－4C－CC＝560－16－72＝472.]