中考數(shù)學(xué) 第一編 教材知識梳理篇 第五章 圖形的相似與解直角三角形 第一節(jié) 圖形的相似與位似試題

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第五章　圖形的相似與解直角三角形 第一節(jié)　圖形的相似與位似 ,河北8年中考命題規(guī)律) 年份 題號 考查點 考查內(nèi)容 分值 總分 2016 15 相似三角形判定 從一個三角形紙片剪下一個三角形判定與原三角形相似條件 2 2 2014 13 相似三角形 相似多邊形的判定 根據(jù)已知方式變換后得到新圖形，判定兩個圖形是否相似 3 3 2013 11 相似三角形的判定及性質(zhì) 以菱形為背景，利用菱形的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)求線段長度 3 3 2012 23② 位似圖形 涉及作位似圖形及相關(guān)計算 3 3 2011 9 相似三角形的判定及性質(zhì) 以三角形中的折疊為背景，利用相似三角形的判定及性質(zhì)求線段比值 3 20 位似圖形 (1)作與已知圖形位似的三角形；(2)求四邊形周長 8 11 2010 24③ 相似三角形判定及性質(zhì) 利用相似三角形的判定及性質(zhì)求線段比值 3 3 命題 規(guī)律 縱觀河北8年中考，本考點共考查了7次，題型有選擇題、解答題，分值2～11分，難度中偏下，基礎(chǔ)題為主，其中相似三角形的判定和性質(zhì)考查了3次，相似多邊形考查了1次(選擇題)，位似圖形考查了2次． 命題預(yù)測 預(yù)計2017年河北中考對本節(jié)內(nèi)容仍會做重點考查，故在復(fù)習(xí)中多加訓(xùn)練. 河北8年中考真題及模擬) 　圖形相似的判定及性質(zhì)(5次) 1．(2016河北15題2分)如圖，△ABC中，∠A＝78，AB＝4，AC＝6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(　C　) ,A)　,B)　,C)　　　,D) 2．(2011河北9題3分)如圖，在△ABC中，∠C＝90，BC＝6，D、E分別在AB、AC上，將△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的長為(　B　) A.　　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 3．(2014河北13題3分)在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點如下： 甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖①的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新三角形與原三角形相似. 乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴(kuò)張，得到新矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似． 對于兩人的觀點，下列說法正確的是(　A　) A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對 　圖形的位似(2次) 4．(2016河北23題9分)如圖(1)，E是線段BC的中點，分別以B，C為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側(cè)． (1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為__AE＝ED__； AE和ED的位置關(guān)系為__AE⊥ED__； (2)在圖(1)中，以點E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，H是BC所在直線上的一點，連接GH，HD，分別和到圖(2)和圖(3)． ①在圖(2)中，點F在BE上，△EGF與△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中點，求證：GH＝HD，GH⊥HD. ②在圖(3)中，點F在BE的延長線上，△EGF與△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，請直接寫出CH的長為多少時，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示) 解：(2)①由題意，得∠B＝∠C＝90，AB＝BE＝EC＝DC. ∵△EGF與△EAB的相似比為1∶2， ∴∠GFE＝∠B＝90，GF＝AB，EF＝EB， ∴∠GFE＝∠C， ∴EH＝HC＝EC， ∴GF＝HC，F(xiàn)H＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝EC＝CD， ∴△HGF≌△DHC. ∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC. ∵∠HDC＋∠DHC＝90， ∴∠GHF＋∠DHC＝90. ∴∠GHD＝90，∴GH⊥HD. ②∵當(dāng)GH＝HD，GH⊥HD時， ∴∠FHG＋∠DHC＝90， ∵∠FHG＋∠FGH＝90，∴∠FGH＝∠DHC， ∴ ∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH. ∵EF＝FG，∴EF＝CH. ∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1，BC＝2， ∴BE＝EC＝1， ∴EF＝k，∴CH的長為k. 5．(2011河北20題8分)如圖，在68網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點． (1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1∶2； (2)連接(1)中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長．(結(jié)果保留根號) 解：(1)略；(2)4＋6. 6．(2016滄州八中一模)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　A　) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 7．(2016河北石家莊二十八中一模)如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，BG＝4，則△EFC的周長為(　D　) A．11 B．10 C．9 D．8 8．(2016保定博野模擬)在直角坐標(biāo)系中，已知點A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，過C作直線交x軸于D，使以D、O、C為頂點的三角形與△AOB相似．這樣的直線最多可以作(　C　) A．2條 B．3條 C．4條 D．6條 9．(2016邯鄲涉縣一模)如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90，則GF的長為(　D　) A．4 B．2 C．5 D．3 10．(2016河北保定十七中一模)下列四組圖形中，一定相似的是(　D　) A．正方形與矩形 B．正方形與菱形 C．菱形與菱形 D．正五邊形與正五邊形 11．(2016河北唐山十二中二模)如圖，△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A，B的對應(yīng)點分別為點A′，B′，點A，B，A′，B′均在圖中的格點上．若線段AB上有一點P(m，n)，則點P在A′B′上的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為(　D　) A. B．(m，n) C. D. 12．(2016河北唐山五十四中二模)如圖，在?ABCD中，點E在AB上，CE，BD交于點F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，則DF＝____． 13．(2016河北唐山友誼中學(xué)一模)如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為1∶，點A的坐標(biāo)為(0，1)，則點E的坐標(biāo)是__(，)__． 14．(2016河北石家莊二十八中一模)如圖，點B在線段AC上，點D，C在AC同側(cè)，∠A＝∠C＝90，BD⊥BE，AD＝BC. (1)求證：AC＝AD＋CE； (2)若AD＝3，CE＝5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q.若點P與A，B兩點不重合，求的值． 解：(1)∵∠A＝∠C＝90，DB⊥BE，∴∠ADB＋∠ABD＝90，∠ABD＋∠EBC＝90.∴∠ADB＝∠EBC.又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)，∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE； (2)過點Q作QH⊥BC于點H，則△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，∴＝，＝.設(shè)AP＝x，QH＝y(tǒng)，則有＝，∴BH＝，PH＝＋5－x，∴＝，即(x－5)(3y－5x)＝0.又點P不與A，B重合，∴x≠5，即x－5≠0.∴3y－5x＝0，即3y＝5x.∴＝＝. ,中考考點清單) 　比例的相關(guān)概念及性質(zhì) 1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的__長度__之比． 2．比例中項：如果＝，即b2＝__ac__，我們就把b叫做a、c的比例中項． 3．比例的性質(zhì) 性質(zhì)1 ＝?__ad__＝bc(a、b、c、d≠0)． 性質(zhì)2 如果＝，那么＝. 性質(zhì)3 如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，則＝__(不唯一)__. 　　4.黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使＝____，那么點C叫做線段AC的__黃金分割點__，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做__黃金比__． 　相似三角形的判定及性質(zhì) 相似三角形的判定及性質(zhì)為河北近7年的必考點，考查題型為選擇題、解答題，僅2014年單純考查相似三角形與相似四邊形的判定，其余均為與幾何圖形結(jié)合，解答過程中利用三角形相似的判定及性質(zhì)求線段長度．主要設(shè)問方式為證明三角形相似，再利用相似求線段長度及判斷圖形相似等． 5．定義：對應(yīng)角__相等__，對應(yīng)邊__成比例__的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比． 6．性質(zhì)： (1)相似三角形的__對應(yīng)角__相等； (2)相似三角形的對應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例； (3)相似三角形的周長比等于__相似比__，面積比等于__相似比的平方__． 7．判定： (1)__有兩角__對應(yīng)相等，兩三角形相似； (2)兩邊對應(yīng)成比例且__夾角__相等，兩三角形相似； (3)三邊__對應(yīng)成比例__，兩三角形相似； (4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊__對應(yīng)成比例__，兩直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路： (1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定(1)． (2)條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定(1)]或再找夾邊成比例[用判定(2)]． (3)條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等． (4)條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例． (5)條件中若有等腰條件，可找頂角相等，可找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例． 【易錯警示】應(yīng)注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例關(guān)系式時，對應(yīng)字母的位置一定要寫正確，才能得到正確的答案． 如：＝，此式正確．那么想一想，哪種情況是錯誤的呢？請舉例說明． 　相似多邊形 8．定義：對應(yīng)角__相等__，對應(yīng)邊__成比例__的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比． 9．性質(zhì)： (1)相似多邊形的對應(yīng)邊__成比例__； (2)相似多邊形的對應(yīng)角__相等__； (3)相似多邊形周長的比__等于__相似比，相似多邊形面積的比等于__相似比的平方__． 　位似圖形 10．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做__位似圖形__，這個點叫做__位似中心__，相似比叫做位似比． 11．性質(zhì)： (1)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于__k或－k__； (2)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于__位似比或相似比__． 12．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是__位似中心__． 13．畫位似圖形的步驟： (1)確定__位似中心__； (2)確定原圖形的關(guān)鍵點； (3)確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)； (4)作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點； (5)按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點． ,中考重難點突破) 　比例的性質(zhì) 【例1】已知＝＝，且3a－2b＋c＝20，則2a－4b＋c的值為____． 【學(xué)生解答】－6 【點撥】設(shè)＝＝＝k(k≠0)，用含k的式子表示a、b、c，代入等式3a－2b＋c＝20求出k值，再求出a、b、c值代入可求． 1．(2015河北滄州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，則的值是(　A　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．－5 B．－ C. D．5 　相似三角形的判定與性質(zhì)(重難點) 【例2】(2015茂名中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3 cm的速度向點A運(yùn)動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2 cm的速度向點B運(yùn)動，運(yùn)動時間為t s，連接MN. (1)如圖①，若△BMN與△ABC相似，求t的值； (2)如圖②，連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【解析】(1)△BMN與△ABC相似，分兩種情況：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得對應(yīng)線段成比例，求得t的值；(2)過點M作MD⊥BC于點D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，證得△CAN∽△DCM，得對應(yīng)線段成比例，得關(guān)于t的方程，求出t的值． 【學(xué)生解答】解：(1)由題意知BA＝＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm，∴BN＝(8－2t)cm.當(dāng)△BMN∽△BAC時，有＝，∴＝，解得t＝；當(dāng)△BMN∽△BCA時，有＝，∴＝，解得t＝，∴當(dāng)△BMN與△ABC相似時，t的值為或； (2)如圖②，過點M作MD⊥CB于點D，由題意得BM＝3t cm，CN＝2t cm，DM＝BMsinB＝3t＝t(cm)，BD＝BMcosB＝3t＝t(cm)，∴CD＝cm.∵AN⊥CM，∠ACB＝90，∴∠CAN＋∠ACM＝90，∠MCD＋∠ACM＝90，∴∠CAN＝∠MCD.∵M(jìn)D⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90，∴△CAN∽△DCM.∴＝，∴＝，解得t＝. 2．(2016寧波中考)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為(　C　) A．2∶3　 　B．2∶5　 　C．4∶9　 　D.∶ 3．(2016自貢中考)如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點，求證：DE綊BC. 證明：∵D是AB的中點，E是AC的中點，∴＝，＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∠ADE＝∠B，∴BC＝2DE，BC∥DE，即DE綊BC. 　位似圖形 【例3】(2016承德二中模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC的面積的，那么點B′的坐標(biāo)是(　　) A．(－2，3) B．(2，－3) C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3) 【學(xué)生解答】D 【點撥】在第二象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形OA′B′C′. 4．(2016滄州八中二模)如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1∶2， ∠OCD＝90，CO＝CD.若B(1，0)，則點C的坐標(biāo)為(　B　) A．(1，2) B．(1，1) C．(，) D．(2，1) ,中考備考方略) 1．(2016東營中考)若＝，則的值為(　D　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．1 B. C. D. 2．(2016蘭州中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，若＝，則＝(　C　) A. B. C. D. (第2題圖) 　　　(第3題圖) 3．(2016荊州中考)如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件不正確的是(　D　) A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.＝ D.＝ 4．(2016杭州中考)如圖，已知直線a∥b∥c，直線m交直線a，b，c于點A，B，C，直線n交直線a，b，c于點D，E，F(xiàn)，若＝，則＝(　B　) A. B. C. D．1 5．(2016臨夏中考)如果兩個相似三角形的面積比是1∶4，那么它們的周長比是(　D　) A．1∶16 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶2 6．(2016重慶中考)△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則△ABC與△DEF的周長比為(　C　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16 7．(2016鹽城中考)如圖，點F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形(　C　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 (第7題圖) 　(第8題圖) 8．(2016安徽中考)如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為(　B　) A．4 B．4 C．6 D．4 9．(2016東營中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(－3，6)，B(－9，－3)，以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是(　D　) A．(－1，2) B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2) 10．(2016宿遷中考)若兩個相似三角形的面積比為1∶4，則這兩個相似三角形的周長比是__1∶2__． 11．(2016衡陽中考)若△ABC與△DEF相似且面積之比為25∶16，則△ABC與△DEF的周長之比為__5∶4__． 12．(2016臨夏中考)如圖，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF. 求證：(1)四邊形ABCD是平行四邊形； (2)OA2＝OEOF. 證明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB， ∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF， ∴AD∥BC， ∵DC∥AB，∴四邊形ABCD為平行四邊形； (2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED， ∴＝， ∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA， ∴＝，∴＝，∴OA2＝OEOF. 13．(2016咸寧中考)如圖，在△ABC中，中線BE，CD相交于點O，連接DE，下列結(jié)論：①＝；②＝；③＝；④＝. 其中正確的個數(shù)有(　B　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (第13題圖) 　　　(第14題圖) 14．(2016滄州九中模擬)如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E.若AB＝10，BC＝16，則線段EF的長為(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 15．(2016泰安中考)如圖，△ABC內(nèi)接⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B＝30，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點D，連接AE，則S△ADE∶S△CDB的值等于(　D　) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．2∶3 (第15題圖) 　　　(第16題圖) 16．(2016十堰中考)如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為(　D　) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶9 17．(2016舟山中考)如圖，已知△ABC和△DEC的面積相等，點E在BC邊上，DE∥AB交AC于點F，AB＝12，EF＝9，則DF的長是多少？ 解：∵△ABC與△DEC的面積相等， ∴△CDF與四邊形AFEB的面積相等， ∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA， ∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4， ∴△CEF和△CBA的面積比＝9∶16， 設(shè)△CEF的面積為9k，則四邊形AFEB的面積為7k， ∵△CDF與四邊形AFEB的面積相等， ∴S△CDF＝7k， ∵△CDF與△CEF是同高不同底的三角形， ∴面積比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k， ∴DF＝7. 18．(2016石家莊四十一中二模)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接⊙O，A是的中點，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長線交于點F、E，且＝. (1)求證：△ADC∽△EBA； (2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值． 解：(1)∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠CDA＝∠ABE. ∵＝，∴∠DCA＝∠BAE. ∴△ADC∽△EBA； (2)∵A是的中點，∴＝， ∴AB＝AC＝8， ∵△ADC∽△EBA， ∴∠CAD＝∠AEC，＝， 即＝，∴AE＝， ∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝. 19．(2016杭州中考)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且＝. (1)求證：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE， ∴∠ADF＝∠C，∵＝，∴△ADF∽△ACG； (2)∵△ADF∽△ACG，∴＝， 又∵＝，∴＝，∴＝1.