北京工業(yè)大學線性代數(shù)第四章第一節(jié)n維向量空間.ppt

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1,第四章n維向量空間,我們在第二章給出了直接從線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩判斷方程組有沒有解及有多少解的判別定理。為了研究方程組有無窮多解時解的解構(gòu)，我們需要探討和建立線性方程組的進一步理論，為此，引入了向量空間的概念。,2,第一節(jié)n維向量空間一．n維向量空間的概念二．向量與矩陣的關(guān)系三．向量的線性組合與線性表出,3,一．n維向量空間的概念,一個m?n矩陣的每一行都是由n個數(shù)組成,的有序數(shù)組,其每一列都是由m個數(shù)組成的有序,數(shù)組。n元線性方程組的一個解也是由n個數(shù),組成的有序數(shù)組。,所以研究線性方程組解的結(jié),構(gòu)離不開有序數(shù)組。,1.定義:,由數(shù)域P中n個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為,數(shù)域P上的一個n維向量，用小寫的希臘字母,…表示．,4,稱為行向量（行矩陣），也可以寫成一列,稱為列向量（列矩陣），稱ai(bi),(i=1，2，…,n)是第i個分量.顯然,n維向量可以寫成一行,5,向量的相等,設(shè),零向量,所有分量都是零的向量稱為零向量，記作0=(0,0,,0)．,負向量:,n維向量,的各分量的相反數(shù)所構(gòu)成的向量稱為,的負向量，記作,6,2．n維向量運算,向量的加法,數(shù)量乘法,向量的加法和數(shù)量乘法統(tǒng)稱為向量的線性運算．,為向量，為數(shù),顯然,,7,向量的線性運算的運算律,8,3.n維向量空間,定義：,R為實數(shù)域，則Rn為n維實向量空間．,R3為3維實向量空間或3維幾何空間。,Pn={數(shù)域P上的n維向量}，連同定義在它上面的向量加法和數(shù)量乘法及其滿足的8條運算法則一起，稱為數(shù)域P上的n維向量空間。,如,9,解:,由題設(shè)條件,有,,10,二．向量與矩陣的關(guān)系,若干個同維數(shù)的列向量（或行向量）所組成的集合叫做向量組．,例2,,,,,向量組稱為矩陣A的列向量組．,定義：,設(shè)矩陣,將A按列分塊,11,,,,,向量組稱為矩陣A的行向量組．,反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成矩陣.,12,三．向量的線性組合與線性表出(示),引例：,設(shè)在R3中,則,13,1.定義:,向量組,稱為組合系數(shù);,稱向量,,使得,則稱,為表出系數(shù)．,任給,對于,若存在,線性表出（示）,,14,☆任意一個n維向量,都可由n維基本向量組,2.幾個特例,線性表出,且的分量就是表出系數(shù)。,15,☆零向量可由任意一組向量線性表出,維,☆,組本身線性表出,,16,3維向量,能否由3維向量組,觀察,線性表出？,不能！,問題：對于給定的向量組和向量如何判別線性表出？,17,設(shè)數(shù)域P上的n元線性方程組,,,,,⑴,⑵,式⑵是線性方程組⑴的向量表示式．,分析:,3.線性表出的判別,令,則有,18,于是，線性方程組,有解,存在一組數(shù),使得下式成立,線,線性方程組有沒有解,常數(shù)項列,向量能否由系數(shù)矩陣的列向量組線性表出。,,,結(jié)論：,19,判斷線性表出的方法：,對于給定的向量及向量組,線,線,＊若方程組,無解，則,20,＊若方程組,有解，則,且方程組的一組解就是表出系數(shù)．,①若方程組有唯一解，則,線,②若方程組有無窮多解，則,線,線,21,判斷線性表出的方法：,對于給定的列向量及列向量組,令,線,⑴,由方程組有解的判別定理，我們很容易得出,則判斷,等于,22,⑵,則表示方法唯一．,①若,②若,線,則表示方法不唯一，,即無窮多種表示方法．,具體作法是：,將用初等行變換化成階梯形，,判斷是否有,23,例3,判斷,線性表出，并,求出表出方式。,解：,將矩陣,初等行變換：,線性表出且,24,例4,已知,為何值時，,線性表出?,解：,⑴,為何值時，,線性表出且表示法,⑵,將矩陣,初等行變換：,不唯一?并寫出一種表出方式。,25,為任意值時,,線性表出。,⑴當,⑵當,時,,線性表出,且表示法不唯一。,26,此時，方程組,令,得,從而,的一般解是,