慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式

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慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式 截面圖形的幾何性質(zhì) 一.重點(diǎn)及難點(diǎn)： (一).截面靜矩和形心 1.靜矩的定義式 如圖1所示任意有限平面圖形，取其單元如面積，定義它對(duì)任意軸的一次矩為它對(duì)該軸的靜矩，即 y x 整個(gè)圖形對(duì)y、z軸的靜矩分別為 C y （I-1） 0 A x 2.形心與靜矩關(guān)系 圖I-1 設(shè)平面圖形形心C的坐標(biāo)為 則 0 ， （I-2） 推論1 如果y軸通過(guò)形心（即），則靜矩；同理，如果x軸通過(guò)形心（即），則靜矩；反之也成立。 推論2 如果x、y軸均為圖形的對(duì)稱軸，則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果y軸為圖形對(duì)稱軸，則圖形形心必在此軸上。 3.組合圖形的靜矩和形心 設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為的簡(jiǎn)單圖形組成，且一直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為，則圖形對(duì)y軸和x軸的靜矩分別為 （I-3） 截面圖形的形心坐標(biāo)為 ， （I-4） 4.靜矩的特征 (1) 界面圖形的靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸所定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)。 (2) 靜矩有的單位為。 (3) 靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可為零。圖形對(duì)任意形心軸的靜矩必定為零，反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩為零，則該軸必通過(guò)圖形的形心。 (4) 若已知圖形的形心坐標(biāo)。則可由式（I-1）求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。若已知圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩，則可由式（I-2）求圖形的形心坐標(biāo)。組合圖形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出圖形對(duì)某一坐標(biāo)系的靜矩，然后由式（I-4）求出其形心坐標(biāo)。 （二）.慣性矩 慣性積 慣性半徑 1. 慣性矩 定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩定義為 （I-5） 圖形對(duì)y軸和x軸的光性矩分別定義為 ， （I-6） 慣性矩的特征 （1） 界面圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的；軸慣性矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。 （2） 極慣性矩和軸慣性矩的單位為。 （3） 極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。 （4） 圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即 （I-7） （5） 組合圖形（圖I-2）對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩，分別等于各族紛紛圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，即 ， ， （I-8） y y x dA y 0 x 0 x 圖I-2 圖I-3 2. 慣性積 定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對(duì)y軸和x軸的慣性積定義為 （I-9） 慣性積的特征 （1） 界面圖形的慣性積是對(duì)相互垂直的某一對(duì)坐標(biāo)軸定義的。 （2） 慣性積的單位為。 （3） 慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對(duì)坐標(biāo)周中有一軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)稱軸的慣性積必等于零。但圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對(duì)坐標(biāo)軸重且不一定有圖形的對(duì)稱軸。 （4） 組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于各組分圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的慣性積之和，即 （I-10） 3. 慣性半徑 定義： 任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3）,則圖形對(duì)y軸和x軸的慣性半徑分別定義為 ， （I-11） 慣性半徑的特征 （1） 慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。 （2） 慣性半徑的單位為m。 （3） 慣性半徑的數(shù)值恒取證之。 （三）.慣性矩和慣性積的平行移軸公式 平行移軸公式 （I-12） （I-13） 平行移軸公式的特征 （1）意形狀界面光圖形的面積為A（圖（I-4）； 軸為圖形的形心軸；x，y軸為分別與形心軸相距為a和b的平行軸。 （2）兩對(duì)平行軸之間的距離a和b的正負(fù)，可任意選取坐標(biāo)軸x，y或形心為參考軸加以確定。 （3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小。 y dA b C a 0 x 圖I-4 (四)、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.主慣性軸主慣性矩 轉(zhuǎn)軸公式 轉(zhuǎn)軸公式的特征 (1) 角度的正負(fù)號(hào)，從原坐標(biāo)軸x,y轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正（圖5）。 (2) 原點(diǎn)O為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無(wú)關(guān)。 (3) 圖形對(duì)通過(guò)同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣性矩之和為常量，等于圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩，即 主慣性軸、主慣性矩 任意形狀截面圖形對(duì)以某一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)軸、的慣性積為零（），則坐標(biāo)軸、稱為圖形通過(guò)點(diǎn)O的主慣性軸(圖6)。截面圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩，稱為主慣性矩。 主慣性軸、主慣性矩的確定 (1) 對(duì)于某一點(diǎn)O，若能找到通過(guò)點(diǎn)O的圖形的對(duì)稱軸，則以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并包含對(duì)稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸，即為圖形通過(guò)點(diǎn)O的一對(duì)主慣性軸。對(duì)于具有對(duì)稱軸的圖形（或組合圖形），往往已知其通過(guò)自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對(duì)通過(guò)點(diǎn)o的主慣性軸的主慣性矩，一般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。 (2) 若通過(guò)某一點(diǎn)o沒(méi)有圖形的對(duì)稱軸，則可以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，任作一坐標(biāo)軸x，y為參考軸，并求出圖形對(duì)參考軸x，y的慣性矩和慣性積。于是，圖形通過(guò)點(diǎn)o的一對(duì)主慣性軸方位及主慣性矩分別為 （I-16） (I-17) 主慣性軸、主慣性矩的特征 （1）圖形通過(guò)某一點(diǎn)O至少具有一對(duì)主慣性軸，而主慣性局勢(shì)圖形對(duì)通過(guò)同一點(diǎn)O所有軸的慣性矩中最大和最小。 （2）主慣性軸的方位角，從參考軸x，y量起，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎? （3）若圖形對(duì)一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)的兩主慣性矩相等，則通過(guò)點(diǎn)o的所有軸均為主慣性軸，且所有主慣性矩都相同。 （4）以截面圖形形心為坐標(biāo)原點(diǎn)的主慣性軸，稱為形心主慣性軸。圖形對(duì)一對(duì)形心主慣性軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩。 y y 0 x 0 x A 圖I-5 圖I-6 二.典型例題分析 例I-a 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩。 解：計(jì)算此截面對(duì)于x軸的靜矩時(shí)，可以去平行于x軸的狹長(zhǎng)條(見(jiàn)圖)作為面積元素（因其上各點(diǎn)的y坐標(biāo)相等），即。由相似三角形關(guān)系，可知: ,因此有。將其代入公式（I-1）的第二式，即得 y dy h b(y) y 0 x b 例題I-a圖 解題指導(dǎo)：此題為積分法求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。 例I-2 試確定圖示Ⅰ-b截面形心C的位置 解：將截面分為?、П兩個(gè)矩形。為計(jì)算方便，取x軸和y軸分別與界面的底邊和左邊緣重合（見(jiàn)圖）。先計(jì)算每一個(gè)矩形的面積和形心坐標(biāo)（）如下： 矩形? ， 矩形П ， 將其代入公式（I-4），即得截面形心C的坐標(biāo)為 ? Ⅱ 10 解題指導(dǎo)： 此題是將不規(guī)則圖形劃分為兩個(gè)規(guī)則圖形利用已有的規(guī)則圖形的面積和形心，計(jì)算不規(guī)則圖形的形心。 y 10 120 x 80 圖Ⅰ-b 例I-3 試求圖I-c所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x軸的慣性矩 解：此截面可以看作有一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成。設(shè)矩形對(duì)于x軸的慣性矩為，每一個(gè)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為，則由公式（I-11）的第一式可知，所給截面的慣性矩： （1） 矩形對(duì)于x軸的慣性矩為： （2） 半圓形對(duì)于x軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。為此，先求出每個(gè)半圓形對(duì)于與x軸平行的形心軸（圖b）的慣性矩。已知半圓形對(duì)于其底邊的慣性矩為圓形對(duì)其直徑軸（圖b）的慣性據(jù)之半，即。而半圓形的面積為，其形心到底邊的距離為（圖b）。故由平行移軸公式（I-10a），可以求出每個(gè)半圓形對(duì)其自身形心軸的慣性矩為： （3） 由圖a可知，半圓形形心到x軸距離為，故在由平行移軸公式，求得每個(gè)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為： 將d=80mm、 a=100mm （圖a）代入式（4），即得 mm4 將求得的和代入式（1），便得 mm4 解題指導(dǎo)： 此題是將不規(guī)則圖形劃分為若干個(gè)規(guī)則圖形，利用已有的規(guī)則圖形的面積、形心及對(duì)自身形心軸的慣性矩，結(jié)合平行移軸公式計(jì)算組合截面圖形對(duì)組合截面形心的慣性矩。 圖I-c 40 a=100 x 圖I-c 40 d=80 xc 100 d 常用截面慣性矩計(jì)算公式