《雙曲線及其標準方程》教學設計

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《雙曲線及其標準方程》教學設計 一、 設計理念 1. 課標解讀： 《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗）中指出：（1）高中數(shù)學課程應設立“數(shù)學探究”等學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣。（2）高中數(shù)學課程應注重提高學生的數(shù)學思維能力，在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、符號表示、運算求解、反思與建構等思維過程，提高學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和做出判斷的能力（3）高中數(shù)學課程實施應重新審視基礎知識、基本技能和能力的內涵，刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調細枝末節(jié)的內容。（3）高中數(shù)學課程提倡實現(xiàn)信息技術與課程內容的有機整合，整合的基本原則是有利于學生認識數(shù)學的本質；提倡利用信息技術來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的課程內容，加強數(shù)學教學與信息技術的結合。（4）高中數(shù)學課程應建立合理、科學的評價體系；評價既要關注學生數(shù)學學習的結果，也要關注數(shù)學學習的過程；過程性評價應關注對學生理解數(shù)學概念、數(shù)學思想等過程的評價，關注對學生在學習過程中表現(xiàn)出來的與人合作的態(tài)度、表達與交流的意識的評價。 基于課表理念的指導，本節(jié)課教學方法選擇以問題探究、練習為主、以講授法輔。教學過程側重知識的自主建構和應用，重視信息技術在教學中的輔助作用。 2. 高考解讀： 解析幾何問題著重考查解析幾何的基本思想，利用代數(shù)的方法研究幾何問題是解析幾何的基本特點和性質。因此，在解題的過程中計算占了很大的比例，對運算能力有較高的要求，但計算要根據(jù)題目中曲線的特點和相互之間的關系進行，所以曲線的定義和性質是解題的基礎。解析幾何試題除考查概念與定義、基本元素與基本關系外，還突出考查函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想等思想方法。 3. 教材解讀： 本節(jié)課的教學內容是《數(shù)學選修2-1》第二章《圓錐曲線與方程》3.1“雙曲線及其標準方程”，教學課時為1課時。圓錐曲線是一個重要的幾何模型，有許多幾何性質，這些性質在日常生活、生產和科學技術中有著廣泛的應用，同時，圓錐曲線也是體現(xiàn)數(shù)形結合思想的重要素材，而雙曲線是三種圓錐曲線中最復雜的一種，作為最后一種圓錐曲線來學習充分考慮到了知識學習由易到難的教學要求。雙曲線可以與橢圓類比學習，主要內容是：①探求軌跡（雙曲線）；②學習雙曲線概念；③推導雙曲線標準方程；④學習標準方程的簡單求法，在學習過程中應注意雙曲線與橢圓的區(qū)別與聯(lián)系。 二、 教學目標： 1. 知識與技能： （1） 能理解并掌握雙曲線的定義，了解雙曲線的焦點、焦距； （2） 能掌握雙曲線的標準方程，能夠根據(jù)雙曲線的標準方程確定焦點的位置。 （3） 能根據(jù)已知條件求雙曲線的標準方程。 2. 過程與方法： （1） 經歷雙曲線軌跡的探究，培養(yǎng)觀察能力和探索發(fā)現(xiàn)能力。 （2） 在雙曲線定義和標準方程的學習過程中培養(yǎng)類比推理能力、歸納能力，體會求軌跡方程過程中數(shù)形結合等數(shù)學思想方法的運用。 3. 情感、態(tài)度與價值觀： （1） 經歷雙曲線及其標準方程的獲得過程，感受數(shù)學的對稱美和簡單美。 （2） 通過主動探索，感受探索的樂趣，體會數(shù)學的理性和嚴謹。 （3） 經歷雙曲線定義的獲得過程，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度 三、 教學重點和難點： 1. 教學重點： （1） 雙曲線的定義。 （2） 雙曲線的標準方程。 2. 教學難點 （1） 由雙曲線的標準方程確定焦點位置。 （2） 根據(jù)條件求雙曲線的標準方程。 四、 學習者分析 1. 知識結構：雙曲線是圓錐曲線中最后學習的曲線，再此之前學生已經學習了橢圓曲線，對學習曲線方程已經有了一定基礎和方法，運用類比的學習方法得到雙曲線的定義及標準方程不太困難。 2. 認知結構：高二學生已具備一定的類比轉化及分析問題的能力，但對于復雜問題的處理還不夠靈活，因此在課堂上要注意發(fā)揮學生的主體作用，體現(xiàn)教師的點撥引領效果。 3. 授課班級學生特點：本節(jié)課教學對象是南校區(qū)文科普通班學生，學生的知識技能基礎較弱，根據(jù)班級的整體水平以及對新課標的解讀，雙曲線標準方程的推導過程不在課堂完成，而是設計為A類學生的必做作業(yè)及其他學生的興趣作業(yè)。 五、 內容分析： 本節(jié)內容主要分為： 1. 復習引入： 復習橢圓的定義，提出問題“將橢圓定義中‘之和’改為‘之差’，軌跡是什么？”。通過拉鏈動畫演示探究雙曲線的軌跡，引入課題“雙曲線及其標準方程”。 2. 課程講解： （1） 雙曲線的定義：在這一環(huán)節(jié)采用啟發(fā)式教學法探究雙曲線的定義，學生要理解雙曲線定義中“差的絕對值”和“常數(shù)大于0小于兩定點距離”的條件。 （2） 雙曲線的標準方程：在這一環(huán)節(jié)進一步體會解析幾何中求曲線方程的一般方法，根據(jù)本班的具體情況，弱化方程的推導過程，直接給出方程，讓學生類比橢圓的方程進行理解學習，特別注意橢圓和雙曲線焦點位置判斷和a、b、c關系的不同。 3. 知識應用： 在這一環(huán)節(jié)通過例題向學生示范規(guī)范解題過程，通過練習檢測鞏固學生是否突破難點：即通過雙曲線的標準方程確定焦點位置和根據(jù)條件求雙曲線的標準方程。 4. 課堂小結： 在這一環(huán)節(jié)要求學生回顧本節(jié)課主要內容，考查學生對課堂目標的掌握情況，同時展示學習目標，幫助每個學生反思是否完成學習目標。 六、 教學方法和評價 本節(jié)課以探究性教學法和啟發(fā)式教學法為主、講授法為輔的教學方法，學生主要通過自主探究和小組協(xié)作的方法完成學習。 七、 教學資源： 1. 傳統(tǒng)的排式教室，投影儀和黑板。 2. 課本及配套課件。 八、 教學過程 教學環(huán)節(jié) 教師活動 學生活動 設計意圖 復習引入 【知識復習】 復習提問“橢圓的定義是什么？” 舉手回答橢圓的定義 復習橢圓的定義并引入新課題 【新課引入】 1.設問：“若將橢圓定義中的‘之和’改為‘之差’，結果如何？ 理解問題，產生探究興趣 由和變差，快速引入新課 2.軌跡探究： （1）解釋拉鏈探究軌跡原理：拉鏈在拉開和合攏過程中，兩邊長度相等，現(xiàn)將拉鏈的一邊的端點固定，另一邊選擇一點固定。 引發(fā)學生思考：拉鏈咬合處到固定的兩點的長度有什么關系？拉鏈在拉開和合攏過程中咬合處到兩個固定點的距離如何變化？ 說明現(xiàn)在拉鏈的咬合處放一支筆，那么在拉鏈拉開或合攏過程中筆尖留下的軌跡上的點滿足到定點距離之差為定值。 思考發(fā)現(xiàn)：到一個定點距離比另一個定點距離長多余的那一部分；距離在變大或者變小，但距離之差不變。理解拉鏈畫雙曲線的原理。 設計的需要學生思考的兩個問題是拉鏈畫雙曲線軌跡中兩個很關鍵的點， 通過這兩個思考問題，理解借助拉鏈畫出來的軌跡上的點滿足到定點的距離之差是常數(shù)，從而能夠順利的理解后面的雙曲線的定義。 （2）動畫演示雙曲線軌跡，說明點的軌跡是左右兩支曲線，取名雙曲線 觀看軌跡的形成過程及結果 使用動畫既能形象直觀的展示軌跡形成過程，幫助學生順利理解雙曲線上點的特點，同時節(jié)省了時間。 3.引入課題并板書“雙曲線及標準方程” 目標展示 課件展示學習目標 了解學習目標 學生了解學習目標，目標做指引，學習更高效 新課講解 【雙曲線的定義探究】 1.提問：你能否給雙曲線下個定義？ 雙曲線下定義 學生在下定義時會錯誤的給出“距離之差是常數(shù)”，設計讓學生先試誤，對知識記憶深刻。 2.分析：右支是到定點F1、F2距離之差為2a的點的集合，左支是距離之差為-2a的點的集合，兩支則為距離之差的絕對值為2a定值的點的集合。 理解雙曲線定義中常數(shù)是“差的絕對值”。 通過對錯誤的更正，學生對定義中“差的絕對值”理解更深刻。 3.雙曲線定義 （1）給出雙曲線的初步定義“平面內到兩個定點F1、F2距離之差的絕對值是常數(shù)的點的集合叫雙曲線”。 （2）提問：類比橢圓定義，橢圓中要求常數(shù)大于F1F2之間距離，雙曲線定義中的常數(shù)有沒有條件限制？ （3）提問：等于F1F2的軌跡是什么？ （4）思考：若常數(shù)為0，軌跡是什么？ （5）課件展示雙曲線的完整定義，同時給出焦點和焦距的定義。 思考并回答：常數(shù)要小于F1F2；并解釋原因：三角形中兩邊之差小于第三邊。 思考回答：兩條射線 思考回答線段F1F2的中垂線 理解掌握：雙曲線定義及焦點焦距概念 根據(jù)建構主義的學習觀，學生對知識理解后才能自主建構為自己的知識。設計的這幾個思考問題能幫助學生理解雙曲線定義中常數(shù)的條件。對于條件限制，由學生先猜想，再分析不滿足條件時點的軌跡，證明猜想，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維。 【雙曲線標準方程探究】 1. 回憶求曲線方程的一般步驟 2.雙曲線焦點在x軸的標準方程的探究 （1）建系：提問：雙曲線如何建系？分析F1、F2點的坐標（-c，0）（c，0） （2）設點：設M（x，y）為雙曲線上任意一點 （3）列式：首先給出定義式 ，由定義帶入點坐標列式。 （4） 化簡：分析和橢圓列式的異同點，點撥化簡思，給出化簡結果。 3. 雙曲線方程與標準方程的比較：提出問題：比較雙曲線與橢圓A.標準方程有何異同點；B.a，b，c的關系有何異同點？ 4. 雙曲線焦點在y軸的標準方程：給出方程，要求Ａ類學生和其他感興趣的同學課下證明。 5. 焦點在x軸和在y軸的兩類雙曲線方程比較：課件給出雙曲線的兩類方程，板書同時提問：如何通過雙曲線的方程判斷焦點的位置。 6. 鞏固練習 課件展示練習1：求雙曲線的焦點坐標 回答：一般步驟：建系、設點、列式、化簡 回答：“以F1F2所在直線為x軸，以F1F2中垂線為y軸建立直角坐標系”的建系過程。 和橢圓列式比較，發(fā)現(xiàn)異同點，回憶橢圓方程的化簡思路，感興趣的同學課后推導。 回答標準方程的：相同點：形式一樣 不同點：兩式運算一減一加，a2始終對應系數(shù)為正的一式 a,b,c關系： 相同點：都有一數(shù)平方等于另兩數(shù)平方和關系 不同點：雙曲線中c2=a2+b2，c值最大，a、b大小關系不確定；橢圓中a2=b2+c2，a值最大，b、c大小關系不確定 通過雙曲線的建系說明進一步體會對稱建系的原則 根據(jù)建構主義學習觀，采用先行組織者策略，將新知識與所學知識建立聯(lián)系，學生能夠更順利的學習新知識，同時建立清晰的知識網絡關系。 通過練習檢測是否突破難點：由雙曲線方程判斷焦點位置 習題練習 【例題講解】 例1．已知雙曲線的焦點為F1(-2,0)、F2(2,0),雙曲線過點(3,)，求雙曲線的標準方程。分析解題過程并板書示范規(guī)范解答過程。 思考并分析解題過程。觀看規(guī)范書寫。 通過規(guī)范書寫示范，幫助學生養(yǎng)成良好的規(guī)范解題習慣。 【習題練習】 1.練習2： 已知雙曲線的焦點為(0,-4),(0,4),雙曲線上任意一點P到焦點的距離之差的絕對值為6，求雙曲線的標準方程。 2.高考鏈接： 已知雙曲線與橢圓 的焦點相同，雙曲線任意一點P到焦點的距離之差的絕對值為6，求雙曲線的標準方程。 一學生上黑板完成，其他學生練習本上完成 練習高考題 1. 檢測學生是否掌握用定義求雙曲線方程的方法。 2. 通過練習加深學生對雙曲線定義的理解。 3. 黑板演示具有將問題暴露或者良好示范性的效果。 將課堂練習提升到高考高度 課堂小結 1. 本節(jié)課你收獲了什么？ 2. 學習目標照應 學生回顧本節(jié)所學知識 學生對照學習目標，反思達成程度 反思收獲能夠幫助學生梳理總結本節(jié)所學內容 對照學習目標，反思完成度，以便查漏補缺。 作業(yè)布置 1. 個人作業(yè)：課本P43習題2-3 A組第1,2,3題。 2. 合作作業(yè)：從定義、標準方程、焦點坐標及abc之間關系四個方面比較雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系 3. 興趣作業(yè)（A類必做）：推導雙曲線的兩個標準方程 學生課下完成作業(yè) 1. 通過個人作業(yè)鞏固本節(jié)所學內容。 2.合作作業(yè)能夠幫助學生深刻理解橢圓和雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系。 3.興趣作業(yè)能夠提高學生的運算能力。 承上啟下 播放《雙曲線》歌曲，指出雙曲線不僅美，而且有內涵，下節(jié)課通過雙曲線的性質來解讀。 欣賞歌曲 為下節(jié)課做鋪墊，讓學生對下節(jié)課雙曲線的性質抱有興趣和期待。 九、 板書設計