三角函數(shù)及解三角形知識(shí)點(diǎn)

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三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn) 2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱(chēng)為第幾象限角． 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為 3、與角終邊相同的角的集合為 4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再?gòu)妮S的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域． 5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度． 6、半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是． 7、弧度制與角度制的換算公式：，，． 8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，，． 9、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，，． 10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正． Pv x y A O M T 11、三角函數(shù)線(xiàn)：，，． 12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： ； ． 13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式： ，，． ，，． ，，． ，，． 口訣：函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)看象限． ，． ，． 口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限． 14、函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象． 函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) 的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象． 函數(shù)的性質(zhì)： ①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：． 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，． 15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 函 數(shù) 性 質(zhì) 圖象 定義域 值域 最值 當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，． 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，． 既無(wú)最大值也無(wú)最小值 周期性 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在 上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)． 在 上是增函數(shù)． 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)軸 對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)軸 對(duì)稱(chēng)中心 無(wú)對(duì)稱(chēng)軸 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 輔助角公式 ，其中． 降冪公式 （sin^2）x=1-cos2x/2 （cos^2）x=i=cos2x/2 萬(wàn)能公式 令tan(a/2)=t sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2) 公式一： 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2α及3π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 注意：在做題時(shí)，將a看成銳角來(lái)做會(huì)比較好做。 誘導(dǎo)公式記憶口訣 奇變偶不變，符號(hào)看象限。 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系: tanα cotα＝1 sinα cscα＝1 cosα secα＝1 商的關(guān)系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 兩角和差公式 兩角和與差的三角函數(shù)公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式） tan2A=2tanA/(1-tan2A) sin2a=2sinacosa cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式） sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2 cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2 tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα) 另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα) 萬(wàn)能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 萬(wàn)能公式推導(dǎo) 附推導(dǎo)： sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。 和差化積公式 三角函數(shù)的和差化積公式 sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]cos[(α－β)/2] sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]sin[(α－β)/2] cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]cos[(α－β)/2] cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]sin[(α－β)/2] 積化和差公式 三角函數(shù)的積化和差公式 sinα cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)] cosα sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)] cosα cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)] sinα sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)] 和差化積公式推導(dǎo) 附推導(dǎo)： 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式. 我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 0度 sina=0,cosa=1,tana=0 30度 sina=1/2,cosa=√3/2,tana=√3/3 45度 sina=√2/2,cosa=√2/2,tana=1 60度 sina=√3/2,cosa=1/2,tana=√3 90度 sina=1,cosa=0,tana不存在 120度 sina=√3/2,cosa=-1/2,tana=-√3 150度 sina=1/2,cosa=-√3/2,tana=-√3/3 180度 sina=0,cosa=-1,tana=0 270度 sina=-1,cosa=0,tana不存在 360度 sina=0,cosa=1,tana=0 1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，則有． 2、正弦定理的變形公式：①，，； ②，，； ③； ④． 3、三角形面積公式：． 4、余弦定理：在中，有，， ． 5、 余弦定理的推論：，，． 6、設(shè)、、是的角、、的對(duì)邊，則：①若，則； ②若，則；③若，則． - 7 -