2012年中考數(shù)學(xué)卷精析版-山東濟(jì)南卷.doc

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2012年中考數(shù)學(xué)卷精析版——濟(jì)南卷 （本試卷滿分120分，考試時間120分鐘） 一、選擇題（共15小題，每小題3分，滿分45分） 1．（2012山東濟(jì)南3分）－12的絕對值是【 】 A．12　　　　　　　B．－12　　　　　　　C．　　　　　　　D． 【答案】A。 【考點(diǎn)】絕對值。 【分析】根據(jù)數(shù)軸上某個數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值的定義，在數(shù)軸上，點(diǎn)－12到原點(diǎn)的距離是錯誤！未找到引用源。，所以－12的絕對值是錯誤！未找到引用源。，故選A。 2．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，直線a∥b，直線c與a，b相交，∠1=65，則∠2=【 】 A．115　　　　B．65　　　　C．35　　　　D．25 【答案】B。 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)。 【分析】如圖，∵直線a∥b，∠1=65， ∴∠3=∠1=65（兩直線平行，同位角相等）。 ∴∠2=∠3=65（對頂角相等）。故選B。 3．（2012山東濟(jì)南3分）2012年倫敦奧運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f路線全長約為12800公里，數(shù)字12800用科學(xué)記數(shù)法表示為【 】 A．1.28103　　　　B．12.8103　　　　C．1.28104　　　　D．0.128105 【答案】C。 【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法。 【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值。在確定n的值時，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1。當(dāng)該數(shù)大于或等于1時，n為它的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)該數(shù)小于1時，－n為它第一個有效數(shù)字前0的個數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的1個0）。12800一共5位，從而12800=1.28104。故選C。 4．（2012山東濟(jì)南3分）下列事件中必然事件的是【 】 A．任意買一張電影票，座位號是偶數(shù)　　 B．正常情況下，將水加熱到100℃時水會沸騰 C．三角形的內(nèi)角和是360 　　　　　 D．打開電視機(jī)，正在播動畫片 6．（2012山東濟(jì)南3分）下面四個立體圖形中，主視圖是三角形的是【 】 A． 　B． 　C． 　D． 【答案】C。 【考點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖。 【分析】找到立體圖形從正面看所得到的圖形為三角形即可： A、主視圖為長方形，不符合題意； B、主視圖為中間有一條豎線的長方形，不符合題意； C、主視圖為三角形，符合題意； D、主視圖為長方形，不符合題意。 故選C。 7．（2012山東濟(jì)南3分）化簡5（2x－3）＋4（3－2x）結(jié)果為【 】 A．2x－3 　　　　　　B．2x＋9 　　　　　　C．8x－3 　　　　　　D．18x－3 【答案】A。 【考點(diǎn)】整式的加減法。 【分析】利用分配律相乘，然后去掉括號，進(jìn)行合并同類項即可求和答案： 原式=10x－15＋12－8x=2x－3。故選A。 8．（2012山東濟(jì)南3分）暑假即將來臨，小明和小亮每人要從甲、乙、丙三個社區(qū)中隨機(jī)選取一個社區(qū)參加綜合實踐活動，那么小明和小亮選到同一社區(qū)參加實踐活動的概率為【 】 A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D． 【答案】B。 【考點(diǎn)】列表法或樹狀圖法．概率。 【分析】畫樹狀圖得： ∵共有9種等可能的結(jié)果，小明和小亮選到同一社區(qū)參加實踐活動的有3種情況， ∴小明和小亮選到同一社區(qū)參加實踐活動的概率為：。故選B。 9．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，在84的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為【 】 [ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．3 【答案】A。 【考點(diǎn)】網(wǎng)格問題，銳角三角函數(shù)的定義。 【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解： 由圖形知：tan∠ACB=。故選A。 10．（2012山東濟(jì)南3分）下列命題是真命題的是【 】 A．對角線相等的四邊形是矩形　　　　　　　　B．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 C．四個角是直角的四邊形是正方形　　　　　　D．對角線相等的梯形是等腰梯形 【答案】D。 【考點(diǎn)】命題與定理，矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定。 【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定義即可作出判斷： A、對角線相等的平形四邊形才是矩形，故選項錯誤； B、一組鄰邊相等的平形四邊形才是菱形，故選項錯誤； C、四個角是直角的四邊形是矩形，故選項錯誤； D、正確。故選D。 11．（2012山東濟(jì)南3分）一次函數(shù)y=kx＋b的圖象如圖所示，則方程kx+b=0的解為【 】 A．x=2 　　　　B．y=2 　　　　C．x=-1 　　　　D．y=-1 【答案】C。 【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系。 【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)進(jìn)行解答即可： ∵一次函數(shù)y=kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)為（－1，0）， ∴當(dāng)y=kx＋b=0時，x=－1。故選C。 12．（2012山東濟(jì)南3分）已知⊙O1和⊙O2的半徑是一元二次方程x2－5x＋6=0的兩根，若圓心距O1O2=5，則⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系是【 】 A．外離 　　　　　　B．外切 　　　　　　C．相交 　　　　　　D．內(nèi)切 【答案】B。 【考點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系。 【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知圓心距=兩圓半徑之和，再根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系作出 判斷，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定：外切（兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和），內(nèi)切（兩圓圓心距離等于兩圓半徑之差），相離（兩圓圓心距離大于兩圓半徑之和），相交（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差），內(nèi)含（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之差）。因此， ∵⊙O1和⊙O2的半徑是一元二次方程x2－5x＋6=0的兩根，∴兩根之和=5=兩圓半徑之和。 又∵圓心距O1O2=5，∴兩圓外切。故選B。 13．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，∠MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【 】 A．　　　B．　　　C．5　　　D． 【答案】A。 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。 【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大， 此時，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。 DE=， ∴OD的最大值為：。故選A。 14．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，矩形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸，物體甲和物體乙分別由點(diǎn)A（2，0）同時出發(fā)，沿矩形BCDE的邊作環(huán)繞運(yùn)動，物體甲按逆時針方向以1個單位/秒勻速運(yùn)動，物體乙按順時針方向以2個單位/秒勻速運(yùn)動，則兩個物體運(yùn)動后的第2012次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)是【 】 A．（2，0）　B．（－1，1）　C．（－2，1）　D．（－1，－1） 15．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（－2，－1），（1，1）兩點(diǎn)，則下列關(guān)于此二次函數(shù)的說法正確的是【 】 A．y的最大值小于0 　　　　 B．當(dāng)x=0時，y的值大于1 C．當(dāng)x=－1時，y的值大于1　 D．當(dāng)x=－3時，y的值小于0 【答案】D。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 【分析】根據(jù)圖象的對稱軸的位置、增減性及開口方向直接作答：由圖象知， A、點(diǎn)（1，1）在圖象的對稱軸的左邊，所以y的最大值大于1，不小于0；故本選項錯誤； B、當(dāng)x=0時，y的值就是函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)，而圖象與y軸的交點(diǎn)在（1，1）點(diǎn)的左邊， 故y＜1，故本選項錯誤； C、對稱軸在（1，1）的右邊，在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，∵－1＜1，∴x=－1時，y 的值小于x=1時，y的值1，即當(dāng)x=－1時，y的值小于1；故本選項錯誤； D、當(dāng)x=－3時，函數(shù)圖象上的點(diǎn)在點(diǎn)（－2，－1）的左邊，所以y的值小于0；故本選項正確。 故選D。 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 16．（2012山東濟(jì)南3分）分解因式：a2－1= ▲ ． 【答案】（a＋1）（a－1）。 【考點(diǎn)】運(yùn)用公式法因式分解。 【分析】符合平方差公式的特征，直接應(yīng)用平方差公式即可：a2－1=（a＋1）（a－1）。 17．（2012山東濟(jì)南3分）計算：2sin30－= ▲ ． 【答案】－3。 【考點(diǎn)】實數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡。 【分析】針對特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡2個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果：2sin30。 18．（2012山東濟(jì)南3分）不等式組 的解集為 ▲ ． 【答案】－1≤x＜2。 【考點(diǎn)】解一元一次不等式組。 【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此， 由得，x＜2；由得，x≥－1，故此不等式組的解集為：－1≤x＜2。 19．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，將△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距離為2，則四邊形ABED的面積等于 ▲ ． 【答案】8。 【考點(diǎn)】平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)。 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，可得四邊形ABED是平行四邊形， 再根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求解： ∵將△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距離為2，∴AD∥BE，AD=BE=2， ∴四邊形ABED是平行四邊形。∴四邊形ABED的面積=BEAC=24=8。 20．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AB=6，BC=8，以其三邊為直徑向三角形外作三個半圓，矩形EFGH的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC，則矩形EFGH的周長是 ▲ ． 【答案】48。 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)。 【分析】取AC的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN∥EF，PQ∥EH， ∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90。 ∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG。 ∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG。 ∴AL=BL，BK=CK。∴OL=BC=8=4，OK=AB=6=3， ∵矩形EFGH的各邊分別與半圓相切，∴PL=AB=6=3，KN=BC=8=4。 在Rt△ABC中，，∴OM=OQ=AC=5。 ∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12， ∴矩形EFGH的周長是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48。 21．（2012山東濟(jì)南3分）如圖，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx．小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需 ▲ 秒． 【答案】36。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用 【分析】設(shè)在10秒時到達(dá)A點(diǎn)，在26秒時到達(dá)B， ∵10秒時和26秒時拱梁的高度相同， ∴A，B關(guān)于對稱軸對稱。 則從A到B需要16秒，從A到D需要8秒。 ∴從O到D需要10+8=18秒?！鄰腛到C需要218=36秒。 三、解答題（共7小題，共57分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 22．（2012山東濟(jì)南7分） （1）（2012山東濟(jì)南3分）解不等式3x－2≥4，并將解集在數(shù)軸上表示出來． 【答案】解：移項得，3x＞6， 系數(shù)化為1得，x＞2。 在數(shù)軸上表示為． 【考點(diǎn)】解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集。 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出來，不等式的解集在數(shù)軸上表示的方 法：＞，≥向右畫；＜，≤向左畫，在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示。 （2）（2012山東濟(jì)南4分）化簡：． 【答案】解：原式。 【考點(diǎn)】分式的乘除法。 【分析】將的分子和分母因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行解答。 23．（2012山東濟(jì)南7分）（1）如圖1，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AE=CF．求證：DE=BF． （2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40，BD是∠ABC的平分線，求∠BDC的度數(shù)． 【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C， 在△ADE和△CBF中，AD=CB ，∠A=∠C ，AE=CF， ∴△ADE≌△CBF（SAS）?！郉E=BF； （2）解：∵AB=AC，∠A=40，∴∠ABC=∠C=（180－40）=70， 又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠DBC=∠ABC=35。 ∴∠BDC=180－∠DBC－∠C=75。 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，角形的內(nèi)角和定理。 【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到一對邊和一對角的對應(yīng)相等， 在加上已知的一對邊的相等，由“SAS”，證得△ADE≌△CBF，最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得 證。 （2）根據(jù)AB=AC，利用等角對等邊和已知的∠A的度數(shù)求出∠ABC和∠C的度數(shù)，再根據(jù)已知 的BD是∠ABC的平分線，利用角平分線的定義求出∠DBC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BDC的度數(shù)。 24．（2012山東濟(jì)南8分）冬冬全家周末一起去濟(jì)南山區(qū)參加采摘節(jié)，他們采摘了油桃和櫻桃兩種水果，其中油桃比櫻桃多摘了5斤，若采摘油桃和櫻桃分別用了80元，且櫻桃每斤價格是油桃每斤價格的2倍，問油桃和櫻桃每斤各是多少元？ 【答案】解：設(shè)油桃每斤為x元，則櫻桃每斤是2x元， 根據(jù)題意得：， 解得：x=8， 經(jīng)檢驗得：x=8是原方程的根。則2x=16。 答：油桃每斤為8元，櫻桃每斤是16元。 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用。 【分析】根據(jù)櫻桃每斤價格是油桃每斤價格的2倍，得出設(shè)油桃每斤為x元，則櫻桃每斤是2x元，再利 用油桃比櫻桃多摘了5斤，采摘油桃和櫻桃分別用了80元，得出等式方程求出即可。 25．（2012山東濟(jì)南8分）濟(jì)南以“泉水”而聞名，為保護(hù)泉水，造福子孫后代，濟(jì)南市積極開展“節(jié)水保泉”活動，寧寧利用課余時間對某小區(qū)300戶居民的用水情況進(jìn)行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)5月份各戶居民的用水量比4月份有所下降，寧寧將5月份各戶居民的節(jié)水量統(tǒng)計整理如下統(tǒng)計圖表： 節(jié)水量（米3） 1 1.5 2.5 3 戶 數(shù) 50 80 100 700 （1）300戶居民5月份節(jié)水量的眾數(shù)，中位數(shù)分別是多少米3？ （2）扇形統(tǒng)計圖中2.5米3對應(yīng)扇形的圓心角為 度； （3）該小區(qū)300戶居民5月份平均每戶節(jié)約用水多少米3？ 【答案】解：（1）數(shù)據(jù)2.5出現(xiàn)了100次，次數(shù)最多，所以節(jié)水量的眾數(shù)是2.5米3； 位置處于中間的數(shù)是第150個和第151個，都是2.5，故中位數(shù)是2.5米3。 （2）120． （3）∵（501+801.5+2.5100+370）300=2.1（米3）， ∴該小區(qū)300戶居民5月份平均每戶節(jié)約用水2.1米3。 【考點(diǎn)】統(tǒng)計表，扇形統(tǒng)計圖，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)。 【分析】（1）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺? 列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)定義可求解。 （2）首先計算出節(jié)水量2.5米3對應(yīng)的居名民數(shù)所占百分比，再用360百分比即可：100%360=120。 （3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式：若n個數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，w3，…，wn，則，進(jìn)行計算即可。 26．（2012山東濟(jì)南9分）如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于點(diǎn)O． （1）求邊AB的長； （2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G． ①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由； ②旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時（BE＞CE），求CG的長． 【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴△AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。 （2）①△AEF是等邊三角形。理由如下： ∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，∴△ABC與△ACD均為等邊三角形。 ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60。 又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60，∴∠BAE=∠CAF。 在△ABE與△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60， ∴△ABE≌△ACF（ASA）?！郃E=AF。∴△AEF是等腰三角形。 又∵∠EAF=60，∴△AEF是等邊三角形。 ②BC=2，E為四等分點(diǎn)，且BE＞CE，∴CE=，BE=。 由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。 ∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180（三角形內(nèi)角和定理）， ∠AEG=∠FCG=60（等邊三角形內(nèi)角），∠EGA=∠CGF（對頂角）， ∴∠EAC=∠GFC。 在△CAE與△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60， ∴△CAE∽△CFG 。∴，即。解得：CG=。 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，確定△AOB為直角三角形，然后利用勾股定理求出邊AB的長度。 （2）①確定一對全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根據(jù)已知條件∠EAF=60，可以判定△AEF是等邊三角形。 ②確定一對相似三角形△CAE∽△CFG，由對應(yīng)邊的比例關(guān)系求出CG的長度。 27．（2012山東濟(jì)南9分）如圖，已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)D（6，1），點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動點(diǎn)，過C作CA⊥x軸，過D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC． （1）求k的值； （2）若△BCD的面積為12，求直線CD的解析式； （3）判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由． 【答案】解：（1）∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D（6，1），∴，解得k=6。 （2）設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h， ∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），DB⊥y軸，∴BD=6，∴S△BCD=6?h=12，解得h=4。 ∵點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動點(diǎn)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1－4= －3。 ∴，解得x= －2?！帱c(diǎn)C的坐標(biāo)為（－2，－3）。 設(shè)直線CD的解析式為y=kx＋b， 則，解得。 ∴直線CD的解析式為。 28．（2012山東濟(jì)南9分）如圖1，拋物線y=ax2＋bx＋3與x軸相交于點(diǎn)A（－3，0），B（－1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，⊙O1為△ABC的外接圓，交拋物線于另一點(diǎn)D． （1）求拋物線的解析式； （2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半徑； （3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點(diǎn)，若點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足△BMN∽△BPC，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)． 【答案】解：（1）∵拋物線y=ax2＋bx＋3與x軸相交于點(diǎn)A（－3，0），B（－1，0）， ∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為：y=x2＋4x＋3。 （2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x2＋4x＋3， ∵令x=0，得y=3，∴C（0，3）。 ∴OC=OA=3，則△AOC為等腰直角三角形。 ∴∠CAB=45，∴cos∠CAB=。 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=。 如圖1所示，連接O1B、O1C， 由圓周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90。 ∴△BO1C為等腰直角三角形， ∴⊙O1的半徑O1B=。 （3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，圓及拋物線的對稱性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （2）如答圖1所示，由△AOC為等腰直角三角形，確定∠CAB=45，從而求出其三角函數(shù)值；由 圓周角定理，確定△BO1C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長度。 （3）如答圖2所示，首先利用圓及拋物線的對稱性求出點(diǎn)D坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線段 BM的長度；點(diǎn)B、P、C的坐標(biāo)已知，求出線段BP、BC、PC的長度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例線段關(guān)系，求出線段BN和MN的長度；最后利用勾股定理，列出方程組，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。 ∵拋物線y=x2＋4x＋3=（x＋2）2－1， ∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（－2，－1），對稱軸為x= －2。 又∵A（－3，0），B（－1，0），可知點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸x=2對稱。 如圖2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：點(diǎn)D、點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對稱軸對稱。 ∴D（－4，3）。 又∵點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，B（－1，0），∴M（）。 ∴BM=。 在△BPC中，B（－1，0），P（－2，－1），C（0， 3）， 由勾股定理得：BP=，BC=，PC=。 ∵△BMN∽△BPC， ∴，即。 解得：BN=，MN。 設(shè)N（x，y），由勾股定理可得： ，解得，，。 ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）。