初中幾何輔助線大全(潛心整理)

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初中幾何輔助線口訣 三角形 圖中有角平分線 可向兩邊作垂線 也可將圖對(duì)折看 對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線 等腰三角形來(lái)添 角平分線加垂線 三線合一試試看 線段垂直平分線 常向兩端把線連 要證線段倍與半 延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn) 三角形中兩中點(diǎn) 連接則成中位線 三角形中有中線 延長(zhǎng)中線等中線 四邊形 平行四邊形出現(xiàn) 對(duì)稱中心等分點(diǎn) 梯形里面作高線 平移一腰試試看 平行移動(dòng)對(duì)角線 補(bǔ)成三角形常見 證相似 比線段 添線平行成習(xí)慣 等積式子比例換 尋找線段很關(guān)鍵 直接證明有困難 等量代換少麻煩 斜邊上面作高線 比例中項(xiàng)一大片 圓 半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算 弦心距來(lái)中間站 圓上若有一切線 切點(diǎn)圓心半徑連 切線長(zhǎng)度的計(jì)算 勾股定理最方便 要想證明是切線 半徑垂線仔細(xì)辨 是直徑 成半圓 想成直角徑連弦 弧有中點(diǎn)圓心連 垂徑定理要記全 圓周角邊兩條弦 直徑和弦端點(diǎn)連 弦切角邊切線弦 同弧對(duì)角等找完 要想作個(gè)外接圓 各邊作出中垂線 還要作個(gè)內(nèi)接圓 內(nèi)角平分線夢(mèng)圓 如果遇到相交圓 不要忘作公共弦 內(nèi)外相切的兩圓 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線 若是添上連心線 切點(diǎn)肯定在上面 要作等角添個(gè)圓 證明題目少困難 輔助線 是虛線 畫圖注意勿改變 假如圖形較分散 對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn) 基本作圖很關(guān)鍵 平時(shí)掌握要熟練 解題還要多心眼 經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯 切勿盲目亂添線 方法靈活應(yīng)多變 分析綜合方法選 困難再多也會(huì)減 虛心勤學(xué)加苦練 成績(jī)上升成直線 作輔助線的方法 一 中點(diǎn) 中位線 延線 平行線 如遇條件中有中點(diǎn) 中線 中位線等 那么過(guò)中點(diǎn) 延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線 使 延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線 另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線 以達(dá) 到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的 二 垂線 分角線 翻轉(zhuǎn)全等連 如遇條件中 有垂線或角的平分線 可以把圖形按軸對(duì)稱的方法 并借助其他條件 而旋轉(zhuǎn) 180 度 得到全等形 這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生 其對(duì)稱軸往往是垂線或角 的平分線 三 邊邊若相等 旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn) 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等 有時(shí)邊角互相配合 然后把圖形旋轉(zhuǎn)一 定的角度 就可以得到全等形 這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生 其對(duì)稱中心 因題而異 有時(shí)沒(méi)有中心 故可分 有心 和 無(wú)心 旋轉(zhuǎn)兩種 四 造角 平 相似 和 差 積 商見 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等 欲證線段或角的和差積商 往往與相似 形有關(guān) 在制造兩個(gè)三角形相似時(shí) 一般地 有兩種方法 第一 造一個(gè)輔助角等于已知 角 第二 是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移 故作歌訣 造角 平 相似 和差積商 見 托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表 五 兩圓若相交 連心公共弦 如果條件中出現(xiàn)兩圓相交 那么輔助線往往是連心線或公共弦 六 兩圓相切 離 連心 公切線 如條件中出現(xiàn)兩圓相切 外切 內(nèi)切 或相離 內(nèi)含 外離 那么 輔助線往往是連 心線或內(nèi)外公切線 七 切線連直徑 直角與半圓 如果條件中出現(xiàn)圓的切線 那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角 相反 條 件中是圓的直徑 半徑 那么輔助線是過(guò)直徑 或半徑 端點(diǎn)的切線 即切線與直徑互為 輔助線 如果條件中有直角三角形 那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓 或半圓 相反 條件中有半圓 那么在直徑上找圓周角 直角為輔助線 即直角與半圓互為輔助線 八 弧 弦 弦心距 平行 等距 弦 如遇弧 則弧上的弦是輔助線 如遇弦 則弦心距為輔助線 如遇平行線 則平行線間的距離相等 距離為輔助線 反之 亦成立 如遇平行弦 則平行線間的距離相等 所夾的弦亦相等 距離和所夾的弦都可視為輔 助線 反之 亦成立 有時(shí) 圓周角 弦切角 圓心角 圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線 九 面積找底高 多邊變?nèi)?如遇求面積 在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方 乘積 仍可視為求面積 往往作底 或高為輔助線 而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵 如遇多邊形 想法割補(bǔ)成三角形 反之 亦成立 另外 我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理 其輔助線的做法 即 割補(bǔ) 有二百多 種 大多數(shù)為 面積找底高 多邊變?nèi)?具體技巧與輔助線添加 等腰三角形 1 作底邊上的高 構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形 這是用得最多的一種方法 2 作一腰上的高 3 過(guò)底邊的一個(gè)端點(diǎn)作底邊的垂線 與另一腰的延長(zhǎng)線相交 構(gòu)成直角三角形 梯形 1 垂直于平行邊 2 垂直于下底 延長(zhǎng)上底作一腰的平行線 3 平行于兩條斜邊 4 作兩條垂直于下底的垂線 5 延長(zhǎng)兩條斜邊做成一個(gè)三角形 菱形 1 連接兩對(duì)角 2 做高 平行四邊形 1 垂直于平行邊 2 作對(duì)角線 把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)三角形 3 做高 形內(nèi)形外都要注意 矩形 1 對(duì)角線 2 作垂線 很簡(jiǎn)單 無(wú)論什么題目 第一位應(yīng)該考慮到題目要求 比如 AB AC BD 這類的就是想辦 法作出另一條 AB 等長(zhǎng)的線段 再證全等說(shuō)明 AC BD 另一條 AB 就好了 還有一些關(guān)于平方 的考慮勾股 A 字形等 解幾何題時(shí)如何畫輔助線 見中點(diǎn)引中位線 見中線延長(zhǎng)一倍 在幾何題中 如果給出中點(diǎn)或中線 可以考慮過(guò)中點(diǎn)作中位線或把中線延長(zhǎng)一倍來(lái)解決相 關(guān)問(wèn)題 在比例線段證明中 常作平行線 作平行線時(shí)往往是保留結(jié)論中的一個(gè)比 然后通過(guò)一個(gè)中間比與結(jié)論中的另一個(gè)比聯(lián)系起 來(lái) 對(duì)于梯形問(wèn)題 常用的添加輔助線的方法有 1 過(guò)上底的兩端點(diǎn)向下底作垂線 2 過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一腰的平行線 3 過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對(duì)角線的平行線 4 過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線 5 過(guò)上底一端點(diǎn)和一腰中點(diǎn)的直線與下底的延長(zhǎng)線相交 6 作梯形的中位線 7 延長(zhǎng)兩腰使之相交 初 中 數(shù) 學(xué) 輔 助 線 的 添 加 淺 談 人 們 從 來(lái) 就 是 用 自 己 的 聰 明 才 智 創(chuàng) 造 條 件 解 決 問(wèn) 題 的 當(dāng) 問(wèn) 題 的 條 件 不 夠 時(shí) 添 加 輔 助 線 構(gòu) 成 新 圖 形 形 成 新 關(guān) 系 使 分 散 的 條 件 集 中 建 立 已 知 與 未 知 的 橋 梁 把 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 自 己 能 解 決 的 問(wèn) 題 這 是 解 決 問(wèn) 題 常 用 的 策 略 一 添輔助線有二種情況 1 按定義添輔助線 如 證 明 二 直 線 垂 直 可 延 長(zhǎng) 使 它 們 相 交 后 證 交 角 為 90 證 線 段 倍 半 關(guān) 系 可 倍 線 段 取 中 點(diǎn) 或 半 線 段 加 倍 證 角 的 倍 半 關(guān) 系 也 可 類 似 添 輔 助 線 2 按基本圖形添輔助線 每 個(gè) 幾 何 定 理 都 有 與 它 相 對(duì) 應(yīng) 的 幾 何 圖 形 我 們 把 它 叫 做 基 本 圖 形 添 輔 助 線 往 往 是 具 有 基 本 圖 形 的 性 質(zhì) 而 基 本 圖 形 不 完 整 時(shí) 補(bǔ) 完 整 基 本 圖 形 因 此 添 線 應(yīng) 該 叫 做 補(bǔ) 圖 這 樣 可 防 止 亂 添 線 添 輔 助 線 也 有 規(guī) 律 可 循 舉 例 如 下 1 平行線是個(gè)基本圖形 當(dāng) 幾 何 中 出 現(xiàn) 平 行 線 時(shí) 添 輔 助 線 的 關(guān) 鍵 是 添 與 二 條 平 行 線 都 相 交 的 第 三 條 直 線 2 等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形 當(dāng) 幾 何 問(wèn) 題 中 出 現(xiàn) 一 點(diǎn) 發(fā) 出 的 二 條 相 等 線 段 時(shí) 往 往 要 補(bǔ) 完 整 等 腰 三 角 形 出 現(xiàn) 角 平 分 線 與 平 行 線 組 合 時(shí) 可 延 長(zhǎng) 平 行 線 與 角 的 二 邊 相 交 得 等 腰 三 角 形 3 等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形 出 現(xiàn) 等 腰 三 角 形 底 邊 上 的 中 點(diǎn) 添 底 邊 上 的 中 線 出 現(xiàn) 角 平 分 線 與 垂 線 組 合 時(shí) 可 延 長(zhǎng) 垂 線 與 角 的 二 邊 相 交 得 等 腰 三 角 形 中 的 重 要 線 段 的基本圖形 4 直角三角形斜邊上中線基本圖形 出 現(xiàn) 直 角 三 角 形 斜 邊 上 的 中 點(diǎn) 往 往 添 斜 邊 上 的 中 線 出 現(xiàn) 線 段 倍 半 關(guān) 系 且 倍 線 段 是 直 角 三 角 形 的 斜 邊 則 要 添 直 角 三 角 形 斜 邊 上 的 中 線 得 直 角 三 角 形 斜 邊 上 中 線 基 本 圖 形 5 三角形中位線基本圖形 幾 何 問(wèn) 題 中 出 現(xiàn) 多 個(gè) 中 點(diǎn) 時(shí) 往 往 添 加 三 角 形 中 位 線 基 本 圖 形 進(jìn) 行 證 明 當(dāng) 有 中 點(diǎn) 沒(méi) 有 中 位 線 時(shí) 則 添 中 位 線 當(dāng) 有 中 位 線 三 角 形 不 完 整 時(shí) 則 需 補(bǔ) 完 整 三 角 形 當(dāng) 出 現(xiàn) 線 段 倍 半 關(guān) 系 且 與 倍 線 段 有 公 共 端 點(diǎn) 的 線 段 帶 一 個(gè) 中 點(diǎn) 則 可 過(guò) 這 中 點(diǎn) 添 倍 線 段 的 平 行 線 得 三 角 形 中 位 線 基 本 圖 形 當(dāng) 出 現(xiàn) 線 段 倍 半 關(guān) 系 且 與 半 線 段 的 端 點(diǎn) 是 某 線 段 的 中 點(diǎn) 則 可 過(guò) 帶 中 點(diǎn) 線 段 的 端 點(diǎn) 添 半 線 段 的 平 行 線 得 三 角 形 中 位 線 基 本 圖 形 6 全等三角形 全 等 三 角 形 有 軸 對(duì) 稱 形 中 心 對(duì) 稱 形 旋 轉(zhuǎn) 形 與 平 移 形 等 如 果 出 現(xiàn) 兩 條 相 等 線 段 或 兩 個(gè) 檔 相 等 角 關(guān) 于 某 一 直 線 成 軸 對(duì) 稱 就 可 以 添 加 軸 對(duì) 稱 形 全 等 三 角 形 或 添 對(duì) 稱 軸 或 將 三 角 形 沿 對(duì) 稱 軸 翻 轉(zhuǎn) 當(dāng) 幾 何 問(wèn) 題 中 出 現(xiàn) 一 組 或 兩 組 相 等 線 段 位 于 一 組 對(duì) 頂 角 兩 邊 且 成 一 直 線 時(shí) 可 添 加 中 心 對(duì) 稱 形 全 等 三 角 形 加 以 證 明 添 加 方 法 是 將 四 個(gè) 端 點(diǎn) 兩 兩 連 結(jié) 或 過(guò) 二 端 點(diǎn) 添 平 行 線 7 相似三角形 相 似 三 角 形 有 平 行 線 型 帶 平 行 線 的 相 似 三 角 形 相 交 線 型 旋 轉(zhuǎn) 型 當(dāng) 出 現(xiàn) 相 比 線 段 重 疊 在 一 直 線 上 時(shí) 中 點(diǎn) 可 看 成 比 為 1 可 添 加 平 行 線 得 平 行 線 型 相 似 三 角 形 若 平 行 線 過(guò) 端 點(diǎn) 添 則 可 以 分 點(diǎn) 或 另 一 端 點(diǎn) 的 線 段 為 平 行 方 向 這 類 題 目 中 往 往 有 多 種 淺 線 方 法 8 特殊角直角三角形 當(dāng) 出 現(xiàn) 30 45 60 135 150 度 特 殊 角 時(shí) 可 添 加 特 殊 角 直 角 三 角 形 利 用 45 角 直 角 三 角 形 三 邊 比 為 1 1 2 30 度 角 直 角 三 角 形 三 邊 比 為 1 2 3 進(jìn) 行 證 明 9 半圓上的圓周角 出 現(xiàn) 直 徑 與 半 圓 上 的 點(diǎn) 添 90 度 的 圓 周 角 出 現(xiàn) 90 度 的 圓 周 角 則 添 它 所 對(duì) 弦 直 徑 平 面 幾 何 中 總 共 只 有 二 十 多 個(gè) 基 本 圖 形 就 像 房 子 不 外 有 一 砧 瓦 水 泥 石 灰 木 等 組 成 一 樣 二 基本圖形的輔助線的畫法 1 三角形問(wèn)題添加輔助線方法 方法 1 有關(guān)三角形中線的題目 常將中線加倍 含有中點(diǎn)的題目 常常 利用三角形的中位線 通過(guò)這種方法 把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移 很容易地解 決了問(wèn)題 方法 2 含有平分線的題目 常以角平分線為對(duì)稱軸 利用角平分線的性 質(zhì)和題中的條件 構(gòu)造出全等三角形 從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題 方法 3 結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形 或利用關(guān) 于平分線段的一些定理 方法 4 結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目 常 采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法 所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分 證其中的一 部分等于第一條線段 而另一部分等于第二條線段 2 平行四邊形中常用輔助線的添法 平行四邊形 包括矩形 正方形 菱形 的兩組對(duì)邊 對(duì)角和對(duì)角線都具 有某些相同性質(zhì) 所以在添輔助線方法上也有共同之處 目的都是造就線段的 平行 垂直 構(gòu)成三角形的全等 相似 把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見的三角 形 正方形等問(wèn)題處理 其常用方法有下列幾種 舉例簡(jiǎn)解如下 1 連對(duì)角線或平移對(duì)角線 2 過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形 3 連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn) 或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線 構(gòu)造 線段平行或中位線 4 連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段 構(gòu)造三角形相似或等 積三角形 5 過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線 構(gòu)成線段平行或三角形全等 3 梯形中常用輔助線的添法 梯形是一種特殊的四邊形 它是平行四邊形 三角形知識(shí)的綜合 通過(guò)添 加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決 輔助 線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁 梯形中常用到的輔助線有 1 在梯形內(nèi)部平移一腰 2 梯形外平移一腰 3 梯形內(nèi)平移兩腰 4 延長(zhǎng)兩腰 5 過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高 6 平移對(duì)角線 7 連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn) 8 過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線 9 作中位線 當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中 添加的輔助線并不一定是固定不變的 單一的 通過(guò)輔助線這座橋梁 將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn) 題來(lái)解決 這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 4 圓中常用輔助線的添法 在平面幾何中 解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí) 常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線 架 起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁 從而使問(wèn)題化難為易 順其自然地得到解決 因此 靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法 對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的 能力是大有幫助的 1 見弦作弦心距 有關(guān)弦的問(wèn)題 常作其弦心距 有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑 通過(guò)垂徑平 分定理 來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系 2 見直徑作圓周角 在題目中若已知圓的直徑 一般是作直徑所對(duì)的圓周角 利用 直徑所對(duì)的 圓周角是直角 這一特征來(lái)證明問(wèn)題 3 見切線作半徑 命題的條件中含有圓的切線 往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑 利用 切線與半徑 垂直 這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題 4 兩圓相切作公切線 對(duì)兩圓相切的問(wèn)題 一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線 通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系 5 兩圓相交作公共弦 對(duì)兩圓相交的問(wèn)題 通常是作出公共弦 通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái) 又可 以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái) 作輔助線的方法 一 中點(diǎn) 中位線 延線 平行線 如遇條件中有中點(diǎn) 中線 中位線等 那么過(guò)中點(diǎn) 延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線 使 延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線 另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線 以達(dá) 到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的 二 垂線 分角線 翻轉(zhuǎn)全等連 如遇條件中 有垂線或角的平分線 可以把圖形按軸對(duì)稱的方法 并借助其他條件 而旋轉(zhuǎn) 180 度 得到全等形 這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生 其對(duì)稱軸往往是垂線或角 的平分線 三 邊邊若相等 旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn) 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等 有時(shí)邊角互相配合 然后把圖形旋轉(zhuǎn)一 定的角度 就可以得到全等形 這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生 其對(duì)稱中心 因題而異 有時(shí)沒(méi)有中心 故可分 有心 和 無(wú)心 旋轉(zhuǎn)兩種 四 造角 平 相似 和 差 積 商見 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等 欲證線段或角的和差積商 往往與相似 形有關(guān) 在制造兩個(gè)三角形相似時(shí) 一般地 有兩種方法 第一 造一個(gè)輔助角等于已知 角 第二 是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移 故作歌訣 造角 平 相似 和差積商 見 托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表 五 兩圓若相交 連心公共弦 如果條件中出現(xiàn)兩圓相交 那么輔助線往往是連心線或公共弦 六 兩圓相切 離 連心 公切線 如條件中出現(xiàn)兩圓相切 外切 內(nèi)切 或相離 內(nèi)含 外離 那么 輔助線往往是 連心線或內(nèi)外公切線 七 切線連直徑 直角與半圓 如果條件中出現(xiàn)圓的切線 那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角 相反 條 件中是圓的直徑 半徑 那么輔助線是過(guò)直徑 或半徑 端點(diǎn)的切線 即切線與直徑互為 輔助線 如果條件中有直角三角形 那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓 或半圓 相反 條件中有半圓 那么在直徑上找圓周角 直角為輔助線 即直角與半圓互為輔助線 八 弧 弦 弦心距 平行 等距 弦 如遇弧 則弧上的弦是輔助線 如遇弦 則弦心距為輔助線 如遇平行線 則平行線間的距離相等 距離為輔助線 反之 亦成立 如遇平行弦 則平行線間的距離相等 所夾的弦亦相等 距離和所夾的弦都可視為輔 助線 反之 亦成立 有時(shí) 圓周角 弦切角 圓心角 圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線 九 面積找底高 多邊變?nèi)?如遇求面積 在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方 乘積 仍可視為求面積 往往作底 或高為輔助線 而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵 如遇多邊形 想法割補(bǔ)成三角形 反之 亦成立 另外 我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理 其輔助線的做法 即 割補(bǔ) 有二百多 種 大多數(shù)為 面積找底高 多邊變?nèi)?三角形中作輔助線的常用方法舉例 一 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí) 若直接證不出來(lái) 可連接兩 點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中 再運(yùn) 用三角形三邊的不等關(guān)系證明 如 例 1 已知如圖 1 1 D E 為 ABC 內(nèi)兩點(diǎn) 求證 AB AC BD DE CE 證明 法一 將 DE 兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 1 在 BDM 中 MB MD BD 2 在 CEN 中 CN NE CE 3 由 1 2 3 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 法二 如圖 1 2 延長(zhǎng) BD 交 AC 于 F 延長(zhǎng) CE 交 BF 于 G 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF 三角形兩邊之和大于第三邊 1 GF FC GE CE 同上 2 DG GE DE 同上 3 由 1 2 3 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 二 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí) 可 連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊 構(gòu)造三角形 使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置 上 小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上 再利用外角定理 ABCDENM1 圖 ABCDEFG21 圖 例如 如圖 2 1 已知 D 為 ABC 內(nèi)的任一點(diǎn) 求證 BDC BAC 分析 因?yàn)?BDC 與 BAC 不在同一個(gè)三角形中 沒(méi)有直接的聯(lián)系 可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形 使 BDC 處于在外角的位置 BAC 處于在內(nèi)角的位置 證法一 延長(zhǎng) BD 交 AC 于點(diǎn) E 這時(shí) BDC 是 EDC 的外角 BDC DEC 同理 DEC BAC BDC BAC 證法二 連接 AD 并延長(zhǎng)交 BC 于 F BDF 是 ABD 的外角 BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即 BDC BAC 注意 利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí) 通常將大角放在某三角形的外角位置上 小 角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上 再利用不等式性質(zhì)證明 三 有角平分線時(shí) 通常在角的兩邊截取相等的線段 構(gòu)造全等三角形 如 例如 如圖 3 1 已知 AD 為 ABC 的中線 且 1 2 3 4 求證 BE CF EF 分析 要證 BE CF EF 可利用三角形三邊關(guān)系定理證明 須 把 BE CF EF 移到同一個(gè)三角形中 而由已知 1 2 3 4 可在角的兩邊截取相等的線段 利用三角 形全等對(duì)應(yīng)邊相等 把 EN FN EF 移到同一個(gè)三角形中 證明 在 DA 上截取 DN DB 連接 NE NF 則 DN DC 在 DBE 和 DNE 中 21公 共 邊已 知輔 助 線 的 作 法EDBN DBE DNE SAS BE NE 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 同理可得 CF NF 在 EFN 中 EN FN EF 三角形兩邊之和大于第三邊 BE CF EF ABCDEFG12 圖 A BCDEFN13 圖 24 注意 當(dāng)證題有角平分線時(shí) ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段 構(gòu)造全等三角形 然 后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等 四 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí) 常延長(zhǎng)加倍此線段 構(gòu)造全等三角形 例如 如圖 4 1 AD 為 ABC 的中線 且 1 2 3 4 求證 BE CF EF 證明 延長(zhǎng) ED 至 M 使 DM DE 連接 CM MF 在 BDE 和 CDM 中 1輔 助 線 的 作 法對(duì) 頂 角 相 等中 點(diǎn) 的 定 義DECB BDE CDM SAS 又 1 2 3 4 已知 1 2 3 4 180 平角的定義 3 2 90 即 EDF 90 FDM EDF 90 在 EDF 和 MDF 中 公 共 邊 已 證輔 助 線 的 作 法DFME EDF MDF SAS EF MF 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 在 CMF 中 CF CM MF 三角形兩邊之和大于第三邊 BE CF EF 注 上題也可加倍 FD 證法同上 注意 當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí) 可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段 構(gòu)造全等三角形 使題中分散的條件集中 五 有三角形中線時(shí) 常延長(zhǎng)加倍中線 構(gòu)造全等三角形 例如 如圖 5 1 AD 為 ABC 的中線 求證 AB AC 2AD 分析 要證 AB AC 2AD 由圖想到 ABCDE 14 圖 ABCDEFM1234 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 左邊比要證結(jié)論多 BD CD 故不能直接證出此題 而由 2AD 想到要構(gòu)造 2AD 即加倍中線 把所要證的線段 轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去 證明 延長(zhǎng) AD 至 E 使 DE AD 連接 BE 則 AE 2AD AD 為 ABC 的中線 已知 BD CD 中線定義 在 ACD 和 EBD 中 輔 助 線 的 作 法對(duì) 頂 角 相 等已 證EDABC ACD EBD SAS BE CA 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 在 ABE 中有 AB BE AE 三角形兩邊之和大于第三 邊 AB AC 2AD 常延長(zhǎng)中線加倍 構(gòu)造全等三角形 練習(xí) 已知 ABC AD 是 BC 邊上的中線 分別以 AB 邊 AC 邊為直角邊各向形外作等腰直 角三角形 如圖 5 2 求證 EF 2AD 六 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線 例如 已知如圖 6 1 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 為 AD 上任一點(diǎn) 求證 AB AC PB PC 分析 要證 AB AC PB PC 想到利用三角形三邊關(guān)系 定理證之 因?yàn)橛C的是線段之差 故用兩邊之差小于第 三邊 從而想到構(gòu)造第三邊 AB AC 故可在 AB 上截取 AN 等于 AC 得 AB AC BN 再連接 PN 則 PC PN 又在 PNB 中 PB PN BN 即 AB AC PB PC 證明 截長(zhǎng)法 在 AB 上截取 AN AC 連接 PN 在 APN 和 APC 中 15 圖 ABCDEF25 圖 A BCDNMP16 圖 2 21公 共 邊已 知輔 助 線 的 作 法APCN APN APC SAS PC PN 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 在 BPN 中 有 PB PN BN 三角形兩邊之差小于第三邊 BP PC AB AC 證明 補(bǔ)短法 延長(zhǎng) AC 至 M 使 AM AB 連接 PM 在 ABP 和 AMP 中 21公 共 邊已 知輔 助 線 的 作 法APB ABP AMP SAS PB PM 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 又 在 PCM 中有 CM PM PC 三角形兩邊之差小于第三邊 AB AC PB PC 七 延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形 例如 如圖 7 1 已知 AC BD AD AC 于 A BC BD 于 B 求證 AD BC 分析 欲證 AD BC 先證分別含有 AD BC 的三角形全等 有幾種方案 ADC 與 BCD AOD 與 BOC ABD 與 BAC 但根據(jù)現(xiàn)有條件 均無(wú)法證全等 差角的相等 因 此可設(shè)法作出新的角 且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角 證明 分別延長(zhǎng) DA CB 它們的延長(zhǎng)交于 E 點(diǎn) AD AC BC BD 已知 CAE DBE 90 垂直的定義 在 DBE 與 CAE 中 已 知 已 證公 共 角ACBDE DBE CAE AAS ABCDE17 圖O ED EC EB EA 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 ED EA EC EB 即 AD BC 當(dāng)條件不足時(shí) 可通過(guò)添加輔助線得出新的條件 為證題創(chuàng)造條件 八 連接四邊形的對(duì)角線 把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決 例如 如圖 8 1 AB CD AD BC 求證 AB CD 分析 圖為四邊形 我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí) 必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決 證明 連接 AC 或 BD AB CD AD BC 已知 1 2 3 4 兩直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等 在 ABC 與 CDA 中 4321已 證公 共 邊已 證CA ABC CDA ASA AB CD 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 九 有和角平分線垂直的線段時(shí) 通常把這條線段延長(zhǎng) 例如 如圖 9 1 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 1 2 CE BD 的延長(zhǎng)于 E 求證 BD 2CE 分析 要證 BD 2CE 想到要構(gòu)造線段 2CE 同時(shí) CE 與 ABC 的平分線垂直 想到要將其延長(zhǎng) 證明 分別延長(zhǎng) BA CE 交于點(diǎn) F BE CF 已知 BEF BEC 90 垂直的定義 在 BEF 與 BEC 中 21已 證公 共 邊已 知BECF19 圖 DCBAEF2 ABCD18 圖 234 BEF BEC ASA CE FE CF 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 21 BAC 90 BE CF 已知 BAC CAF 90 1 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD 與 ACF 中 已 知 已 證已 證ACBFD ABD ACF AAS BD CF 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 BD 2CE 十 連接已知點(diǎn) 構(gòu)造全等三角形 例如 已知 如圖 10 1 AC BD 相交于 O 點(diǎn) 且 AB DC AC BD 求證 A D 分析 要證 A D 可證它們所在的三角形 ABO 和 DCO 全等 而只有 AB DC 和對(duì)頂 角兩個(gè)條件 差一個(gè)條件 難以證其全等 只有另尋其它的三角形全等 由 AB DC AC BD 若連接 BC 則 ABC 和 DCB 全等 所以 證得 A D 證明 連接 BC 在 ABC 和 DCB 中 公 共 邊已 知已 知CBDA ABC DCB SSS A D 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 十一 取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形 例如 如圖 11 1 AB DC A D 求證 ABC DCB 分析 由 AB DC A D 想到如取 AD 的中點(diǎn) N 連接 NB NC 再由 SAS 公理有 ABN DCN 故 BN CN ABN DCN 下面只需證 NBC NCB 再取 BC 的中點(diǎn) M 連 接 MN 則由 SSS 公理有 NBM NCM 所以 NBC NCB 問(wèn)題得證 證明 取 AD BC 的中點(diǎn) N M 連接 NB NM NC 則 AN DN BM CM 在 ABN 和 DCN 中 已 知已 知輔 助 線 的 作 法DCAB DCBA10 圖 O1 圖 DCBAMN ABN DCN SAS ABN DCN NB NC 全等三角形對(duì)應(yīng)邊 角相等 在 NBM 與 NCM 中 公 共 邊 輔 助 線 的 作 法 已 證 NMCB NMB NCM SSS NBC NCB 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB 巧求三角形中線段的比值 例 1 如圖 1 在 ABC 中 BD DC 1 3 AE ED 2 3 求 AF FC 解 過(guò)點(diǎn) D 作 DG AC 交 BF 于點(diǎn) G 所以 DG FC BD BC 因?yàn)?BD DC 1 3 所以 BD BC 1 4 即 DG FC 1 4 FC 4DG 因?yàn)?DG AF DE AE 又因?yàn)?AE ED 2 3 所以 DG AF 3 2 即 所以 AF FC 4DG 1 6 例 2 如圖 2 BC CD AF FC 求 EF FD 解 過(guò)點(diǎn) C 作 CG DE 交 AB 于點(diǎn) G 則有 EF GC AF AC 因?yàn)?AF FC 所以 AF AC 1 2 即 EF GC 1 2 因?yàn)?CG DE BC BD 又因?yàn)?BC CD 所以 BC BD 1 2 CG DE 1 2 即 DE 2GC 因?yàn)?FD ED EF 所以 EF FD 小結(jié) 以上兩例中 輔助線都作在了 已知 條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交 點(diǎn)處 且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行 請(qǐng)?jiān)倏磧衫?讓我們感受其 中的奧妙 例 3 如圖 3 BD DC 1 3 AE EB 2 3 求 AF FD 解 過(guò)點(diǎn) B 作 BG AD 交 CE 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 所以 DF BG CD CB 因?yàn)?BD DC 1 3 所以 CD CB 3 4 即 DF BG 3 4 因?yàn)?AF BG AE EB 又因?yàn)?AE EB 2 3 所以 AF BG 2 3 即 所以 AF DF 例 4 如圖 4 BD DC 1 3 AF FD 求 EF FC 解 過(guò)點(diǎn) D 作 DG CE 交 AB 于點(diǎn) G 所以 EF DG AF AD 因?yàn)?AF FD 所以 AF AD 1 2 圖 4 即 EF DG 1 2 因?yàn)?DG CE BD BC 又因?yàn)?BD CD 1 3 所以 BD BC 1 4 即 DG CE 1 4 CE 4DG 因?yàn)?FC CE EF 所以 EF FC 1 7 練習(xí) 1 如圖 5 BD DC AE ED 1 5 求 AF FB 2 如圖 6 AD DB 1 3 AE EC 3 1 求 BF FC 答案 1 1 10 2 9 1 初中幾何輔助線 一 初中幾何常見輔助線口訣 人說(shuō)幾何很困難 難點(diǎn)就在輔助線 輔助線 如何添 把握定理和概念 還要刻苦加鉆研 找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn) 三角形 圖中有角平分線 可向兩邊作垂線 也可將圖對(duì)折看 對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線 等腰三角形來(lái)添 角平分線加垂線 三線合一試試看 線段垂直平分線 常向兩端把線連 線段和差及倍半 延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn) 線段和差不等式 移到同一三角去 三角形中兩中點(diǎn) 連接則成中位線 三角形中有中線 延長(zhǎng)中線等中線 四邊形 平行四邊形出現(xiàn) 對(duì)稱中心等分點(diǎn) 梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換 變?yōu)?和 平移腰 移對(duì)角 兩腰延長(zhǎng)作出高 如果出現(xiàn)腰中點(diǎn) 細(xì)心連上中位線 上述方法不奏效 過(guò)腰中點(diǎn)全等造 證相似 比線段 添線平行成習(xí)慣 等積式子比例換 尋找線段很關(guān)鍵 直接證明有困難 等量代換少麻煩 斜邊上面作高線 比例中項(xiàng)一大片 圓形 半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算 弦心距來(lái)中間站 圓上若有一切線 切點(diǎn)圓心半徑連 切線長(zhǎng)度的計(jì)算 勾股定理最方便 要想證明是切線 半徑垂線仔細(xì)辨 是直徑 成半圓 想成直角徑連弦 弧有中點(diǎn)圓心連 垂徑定理要記全 圓周角邊兩條弦 直徑和弦端點(diǎn)連 弦切角邊切線弦 同弧對(duì)角等找完 要想作個(gè)外接圓 各邊作出中垂線 還要作個(gè)內(nèi)接圓 內(nèi)角平分線夢(mèng)圓 如果遇到相交圓 不要忘作公共弦 內(nèi)外相切的兩圓 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線 若是添上連心線 切點(diǎn)肯定在上面 要作等角添個(gè)圓 證明題目少困難 注意點(diǎn) 輔助線 是虛線 畫圖注意勿改變 假如圖形較分散 對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn) 基本作圖很關(guān)鍵 平時(shí)掌握要熟練 解題還要多心眼 經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯 切勿盲目亂添線 方法靈活應(yīng)多變 分析綜合方法選 困難再多也會(huì)減 虛心勤學(xué)加苦練 成績(jī)上升成直線 二 由角平分線想到的輔助線 口訣 圖中有角平分線 可向兩邊作垂線 也可將圖對(duì)折看 對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線 等腰三角形來(lái)添 角平分線加垂線 三線合一試試看 角平分線具有兩條性質(zhì) a 對(duì)稱性 b 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等 對(duì)于有角平分線的輔助線的作法 一般有兩種 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線 利用角平分線 構(gòu)造對(duì)稱圖形 如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊 通常情況下 出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí) 一般考慮作垂線 其它情況 下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形 至于選取哪種方法 要結(jié)合題目圖形和已知條件 與角有關(guān)的輔助線 一 截取構(gòu)全等 幾何的證明在于猜想與嘗試 但這種嘗試與 猜想是在一定的規(guī)律基本之上的 希望同學(xué)們能 掌握相關(guān)的幾何規(guī)律 在解決幾何問(wèn)題中大膽地 去猜想 按一定的規(guī)律去嘗試 下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作 以介紹 如圖 1 1 AOC BOC 如取 OE OF 并連接 DE DF 則有 OED OFD 從而為我們證明線段 角相等創(chuàng)造了條件 例 1 如圖 1 2 AB CD BE 平分 BCD CE 平分 BCD 點(diǎn) E 在 AD 上 求證 BC AB CD 圖 1 1 O A B D E F C 圖 1 2 A D B C E F 分析 此題中就涉及到角平分線 可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形 即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形 同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題 在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明 延長(zhǎng)短 的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段 但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都 要證明線段的相等 延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等 截取要證明截 取后剩下的線段與某條線段相等 進(jìn)而達(dá)到所證明的目的 簡(jiǎn)證 在此題中可在長(zhǎng)線段 BC 上截取 BF AB 再證明 CF CD 從而達(dá)到證 明的目的 這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形 另外一個(gè)全等自已證明 此題的證明也可以延長(zhǎng) BE 與 CD 的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明 自已試一試 例 2 已知 如圖 1 3 AB 2AC BAD CAD DA DB 求證 DC AC 分析 此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形 構(gòu)造的方法還是截取線 段相等 其它問(wèn)題自已證明 例 3 已知 如圖 1 4 在 ABC 中 C 2 B AD 平分 BAC 求證 AB AC CD 分析 此題的條件中還有角的平分線 在證 明中還要用到構(gòu)造全等三角形 此題還是證明線 段的和差倍分問(wèn)題 用到的是截取法來(lái)證明的 在長(zhǎng)的線段上截取短的線段 來(lái)證明 試試看可 否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢 練習(xí) 1 已知在 ABC 中 AD 平分 BAC B 2 C 求證 AB BD AC 2 已知 在 ABC 中 CAB 2 B AE 平分 CAB 交 BC 于 E AB 2AC 求證 AE 2CE 圖 1 3 A B C D E 圖 1 4 A B CD E 3 已知 在 ABC 中 AB AC AD 為 BAC 的平分線 M 為 AD 上任一點(diǎn) 求證 BM CM AB AC 4 已知 D 是 ABC 的 BAC 的外角的平分線 AD 上的任一點(diǎn) 連接 DB DC 求證 BD CD AB AC 二 角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等 過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證 明問(wèn)題 例 1 如圖 2 1 已知 AB AD BAC FAC CD BC 求證 ADC B 180 分析 可由 C 向 BAD 的兩邊作垂線 近而證 ADC 與 B 之和為平角 例 2 如圖 2 2 在 ABC 中 A 90 AB AC ABD CBD 求證 BC AB AD 分析 過(guò) D 作 DE BC 于 E 則 AD DE CE 則構(gòu)造出 全等三角形 從而得證 此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題 從中利用了相當(dāng)于截取的方法 例 3 已知如圖 2 3 ABC 的角平分線 BM CN 相交于點(diǎn) P 求證 BAC 的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 分析 連接 AP 證 AP 平分 BAC 即可 也就是證 P 到 A B AC 的距離相等 練習(xí) 1 如圖 2 4 AOP BOP 15 PC OA PD O A 圖 2 1 A B C DE F 圖 2 2 A B C D E 圖 2 3 P A B C MND F 圖 2 4 B O A P D C 如果 PC 4 則 PD A 4 B 3 C 2 D 1 2 已知在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB CD 1 5 DB 2 5 求 AC 3 已知 如圖 2 5 BAC CAD AB AD CE AB AE AB AD 求證 D B 180 2 1 4 已知 如圖 2 6 在正方形 ABCD 中 E 為 CD 的中點(diǎn) F 為 BC 上的點(diǎn) FAE DAE 求證 AF AD CF 5 已知 如圖 2 7 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足為 D A E 平分 CAB 交 CD 于 F 過(guò) F 作 FH AB 交 BC 于 H 求證 CF BH 三 作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形 從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線 使之與角的兩邊相交 則截得一個(gè)等腰三角 形 垂足為底邊上的中點(diǎn) 該角平分線又成為底邊上的中線和高 以利用中位線的性質(zhì)與 等腰三角形的三線合一的性質(zhì) 如果題目中有垂直于角平分線的線段 則延長(zhǎng)該線段與角 的另一邊相交 例 1 已知 如圖 3 1 BAD DAC AB AC CD AD 于 D H 是 BC 中點(diǎn) 求證 DH AB AC 2 分析 延長(zhǎng) CD 交 AB 于點(diǎn) E 則可得全等三角形 問(wèn)題可證 圖 2 5 A B D C E 圖 2 6 E A B C D F 圖 2 7 F D C BA E H 圖 示 3 1 A B CD HE 圖 3 2 D A B E F C 例 2 已知 如圖 3 2 AB AC BAC 90 AD 為 ABC 的平分線 CE B E 求證 BD 2CE 分析 給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線 可延長(zhǎng)此垂 線與另外一邊相交 近而構(gòu)造出等腰三角形 例 3 已知 如圖 3 3 在 ABC 中 AD AE 分別 BAC 的內(nèi) 外角平分線 過(guò)頂點(diǎn) B 作 BFAD 交 AD 的延長(zhǎng)線于 F 連結(jié) FC 并延 長(zhǎng)交 AE 于 M 求證 AM ME 分析 由 AD AE 是 BAC 內(nèi)外角平分線 可得 EA AF 從而有 BF AE 所以想到利用比例線段證相等 例 4 已知 如圖 3 4 在 ABC 中 AD 平分 BAC AD AB CM AD 交 AD 延長(zhǎng)線于 M 求證 AM AB AC 2 1 分析 題設(shè)中給出了角平分線 AD 自然想到以 AD 為軸作對(duì)稱變換 作 A BD 關(guān)于 AD 的對(duì)稱 AED 然后只需證 DM EC 另2 1 外由求證的結(jié)果 AM AB AC 即 2AM AB AC 也2 1 可嘗試作 ACM 關(guān)于 CM 的對(duì)稱 FCM 然后只需證 D F CF 即可 練習(xí) 1 已知 在 ABC 中 AB 5 AC 3 D 是 BC 中點(diǎn) AE 是 BAC 的平分 線 且 CE AE 于 E 連接 DE 求 DE 2 已知 BE BF 分別是 ABC 的 ABC 的內(nèi)角與外角的平分線 AF BF 于 F AE BE 于 E 連接 EF 分別交 AB AC 于 M N 求證 MN BC2 1 圖 3 3 DB E F N A C M 圖 3 4 n E B A D C M F 四 以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線 有角平分線時(shí) 常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線 從而構(gòu)造等 腰三角形 或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相 交 從而也構(gòu)造等腰三角形 如圖 4 1 和圖 4 2 所示 圖 4 2圖 4 1 C A B CB A F I E D H G 例 4 如圖 AB AC 1 2 求證 AB AC BD CD 例 5 如圖 BC BA BD 平分 ABC 且 AD CD 求證 A C 180 例 6 如圖 AB CD AE DE 分別平分 BAD 各 ADE 求證 AD AB CD 1 2A C D B B D C A A B E CD 練習(xí) 1 已知 如圖 C 2 A AC 2BC 求證 ABC 是直角三角形 2 已知 如圖 AB 2AC 1 2 DA DB 求證 DC AC 3 已知 CE AD 是 ABC 的角平分線 B 60 求證 AC AE CD 4 已知 如圖在 ABC 中 A 90 AB AC BD 是 ABC 的平分線 求 證 BC AB AD C A B A B C D A E B D C A B D C 1 2 三 由線段和差想到的輔助線 口訣 線段和差及倍半 延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn) 線段和差不等式 移到同一三角去 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí) 一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法 1 截長(zhǎng) 在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條 然后證明剩下部分等 于另一條 2 補(bǔ)短 將一條短線段延長(zhǎng) 延長(zhǎng)部分等于另一條短線段 然后證明新線 段等于長(zhǎng)線段 對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式 通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于 第三邊 之差小于第三邊 故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明 一 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí) 如直接證不出來(lái) 可 連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明 如 例 1 已知如圖 1 1 D E 為 ABC 內(nèi)兩點(diǎn) 求證 AB AC BD DE CE 證明 法一 將 DE 兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 1 在 BDM 中 MB MD BD 2 在 CEN 中 CN NE CE 3 由 1 2 3 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 法二 圖 1 2 延長(zhǎng) BD 交 AC 于 F 廷長(zhǎng) CE 交 BF 于 G 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF 三角形兩邊之和大于第三邊 1 GF FC GE CE 同上 2 ABCDENM1 圖 ABCDEFG21 圖 A BCDEFG12 圖 DG GE DE 同上 3 由 1 2 3 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 二 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái) 時(shí) 可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊 構(gòu)造三角形 使求證的大角在某個(gè)三角形的外角 的位置上 小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上 再利用外角定理 例如 如圖 2 1 已知 D 為 ABC 內(nèi)的任一點(diǎn) 求證 BDC BAC 分析 因?yàn)?BDC 與 BAC 不在同個(gè)三角形中 沒(méi)有直接的聯(lián)系 可適 當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形 使 BDC 處于在外角的位置 BAC 處于在 內(nèi)角的位置 證法一 延長(zhǎng) BD 交 AC 于點(diǎn) E 這時(shí) BDC 是 EDC 的外角 BDC DEC 同理 DEC BAC BDC BAC 證法二 連接 AD 并廷長(zhǎng)交 BC 于 F 這時(shí) BDF 是 ABD 的 外角 BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即 BDC BAC 注意 利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí) 通常將大角放在某三角形的 外角位置上 小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上 再利用不等式性質(zhì)證明 三 有角平分線時(shí) 通常在角的兩邊截取相等的線段 構(gòu)造全等三角形 如 例如 如圖 3 1 已知 AD 為 ABC 的中線 且 1 2 3 4 求證 BE CF EF 分析 要證 BE CF EF 可利用三角形三邊關(guān)系定 理證明 須把 BE CF EF 移到同一個(gè)三角形中 而由 已知 1 2 3 4 可在角的兩邊截取相等的線段 利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等 把 EN FN EF 移到同個(gè)三角形中 證明 在 DN 上截取 DN DB 連接 NE NF 則 DN DC ABCDEFN13 圖 24 在 DBE 和 NDE 中 DN DB 輔助線作法 1 2 已知 ED ED 公共邊 DBE NDE SAS BE NE 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 同理可得 CF NF 在 EFN 中 EN FN EF 三角形兩邊之和大于第三邊 BE CF EF 注意 當(dāng)證題有角平分線時(shí) ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段 構(gòu)造 全等三角形 然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素 四 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線 例如 已知如圖 6 1 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 為 AD 上任一點(diǎn) 求證 AB AC PB PC 分析 要證 AB AC PB PC 想到利用三角形三邊關(guān)系 定理證之 因?yàn)?欲證的線段之差 故用兩邊之差小于第三邊 從而想到構(gòu)造第三邊 AB AC 故 可在 AB 上截取 AN 等于 AC 得 AB AC BN 再連接 PN 則 PC PN 又在 PNB 中 PB PNPB PC 證明 截長(zhǎng)法 在 AB 上截取 AN AC 連接 PN 在 APN 和 APC 中 AN AC 輔助線作法 1 2 已知 AP AP 公共邊 APN APC SAS PC PN 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 在 BPN 中 有 PB PN BN 三角形兩邊之差小于第三邊 BP PCPM PC 三角形兩邊之差小于第三邊 AB AC PB PC 例 1 如圖 AC 平分 BAD CE AB 且 B D 180 求證 AE AD BE 例 2 如圖 在四邊形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于 E AD AB 2AE 求證 ADC B 180 DA E C B A E B CD ABCDNMP16 圖 2 例 3 已知 如圖 等腰三角形 ABC 中 AB AC A 108 BD 平分 ABC 求證 BC AB DC 例 4 如圖 已知 Rt ABC 中 ACB 90 AD 是 CAB 的平分線 DM AB 于 M 且 AM MB 求證 CD DB 2 1 1 如圖 AB CD AE DE 分別平分 BAD 各 ADE 求證 AD AB CD 2 如圖 ABC 中 BAC 90 AB AC AE 是過(guò) A 的一條直線 且 B C 在 AE 的異側(cè) BD AE 于 D CE AE 于 E 求證 BD DE CE 四 由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣 三角形中兩中點(diǎn) 連接則成中位線 三角形中有中線 延長(zhǎng)中線等中線 在三角形中 如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn) 那么首先應(yīng)該聯(lián)想 到三角形的中線 中位線 加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì) 直角三角形斜邊中線 性質(zhì) 等腰三角形底邊中線性質(zhì) 然后通過(guò)探索 找到解決問(wèn)題的方法 D CB A M BDC A E D C BA 一 中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形 即如圖 1 AD 是 ABC 的中線 則 S ABD S ACD S ABC 因?yàn)?ABD 與 A CD 是等底同高的 例 1 如圖 2 ABC 中 AD 是中線 延長(zhǎng) AD 到 E 使 DE AD DF 是 DCE 的中線 已知 ABC 的面積為 2 求 CDF 的面積 解 因?yàn)?AD 是 ABC 的中線 所以 S ACD S ABC 2 1 又因 CD 是 ACE 的中線 故 S CDE S ACD 1 因 DF 是 CDE 的中線 所以 S CDF S CDE 1 CDF 的面積為 二 由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線 例 2 如圖 3 在四邊形 ABCD 中 AB CD E F 分別是 BC AD 的中點(diǎn) BA CD 的延長(zhǎng)線分別交 EF 的延長(zhǎng)線 G H 求證 BGE CHE 證明 連結(jié) BD 并取 BD 的中點(diǎn)為 M 連結(jié) ME MF ME 是 BCD 的中位線 ME CD MEF CHE MF 是 ABD 的中位線 MF AB MFE BGE AB CD ME MF MEF MFE 從而 BGE CHE 三 由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線 例 3 圖 4 已知 ABC 中 AB 5 AC 3 連 BC 上的中線 AD 2 求 BC 的 長(zhǎng) 解 延長(zhǎng) AD 到 E 使 DE AD 則 AE 2AD 2 2 4 在 ACD 和 EBD 中 AD ED ADC EDB CD BD ACD EBD AC BE 從而 BE AC 3 在 ABE 中 因 AE2 BE2 42 32 25 AB2 故 E 90 BD 故 BC 2BD 2 例 4 如圖 5 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的平分線 AD 又是 BC 邊上的中 線 求證 ABC 是等腰三角形 證明 延長(zhǎng) AD 到 E 使 DE AD 仿例 3 可證 BED CAD 故 EB AC E 2 又 1 2 1 E AB EB 從而 AB AC 即 ABC 是等腰三角