陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第四章 數(shù)系的擴充 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念教案 北師大版選修

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1、數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念 一、教學目標： 1、知識與技能：了解引進復數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i； 2、過程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算的規(guī)律； 3、 情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復數(shù)的有關(guān)概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部) 理解并掌握復數(shù)相等的有關(guān)概念。 二、教學重點，難點：復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件。 三、教學方法：閱讀理解，探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、問題情境 1、情境：數(shù)的概念的發(fā)展：從正整數(shù)擴充到整數(shù)，從整數(shù)擴充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴充到實數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動力來自兩個方面． ①解決實際問

2、題的需要．由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)；為了刻畫具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了負數(shù)；由于測量等需要產(chǎn)生了分數(shù)；為了解決度量正方形對角線長的問題產(chǎn)生了無理數(shù)(即無限不循環(huán)小數(shù))． ②解方程的需要．為了使方程有解，就引進了負數(shù)，數(shù)系擴充到了整數(shù)集；為了使方程有解，就要引進分數(shù)，數(shù)系擴充到了有理數(shù)集；為了使方程有解，就要引進無理數(shù)，數(shù)系擴充到了實數(shù)集． 引進無理數(shù)以后，我們已經(jīng)能使方程永遠有解．但是，這并沒有徹底解決問題，當時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解．為了使方程有解，就必須把實數(shù)概念進一步擴大，這就必須引進新的數(shù)．（可以以分解因式：為例） 2、問題：實數(shù)集應(yīng)怎樣擴充呢？ （二）、新課探析 1、為了

3、使方程有解，使實數(shù)的開方運算總可以實施，實數(shù)集的擴充就從引入平方等于的“新數(shù)”開始．為此，我們引入一個新數(shù)，叫做虛數(shù)單位（）．并作如下規(guī)定：①；②實數(shù)可以與進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立．在這種規(guī)定下，可以與實數(shù)相乘，再同實數(shù)相加得．由于滿足乘法交換律和加法交換律，上述結(jié)果可以寫成 ()的形式． 2、復數(shù)概念及復數(shù)集 形如()的數(shù)叫做復數(shù)。全體復數(shù)構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母來表示， 即．顯然有N*NZQRC． 3、復數(shù)的有關(guān)概念：1) 復數(shù)的表示：通常用字母表示，即()，其中分別叫做復數(shù)的實部與虛部；2）虛數(shù)和純虛數(shù)：①復數(shù)()，當時，就是實數(shù)．②復

4、數(shù)()，當時，叫做虛數(shù)。 特別的，當，時，叫做純虛數(shù)． 4、復數(shù)集的分類 分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一．根據(jù)上述原則，復數(shù)集的分類如下： 5、兩復數(shù)相等 如果兩個復數(shù)與（）的實部與虛部分別相等，我們就說這兩個復數(shù)相等．即，（復數(shù)相等的充要條件）， 特別地：（復數(shù)為的充要條件）． 復數(shù)相等的充要條件，提供了將復數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決的途徑． 6、兩個復數(shù)不能比較大小：兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，不能比較它們的大小。 7、共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)虛部不等于0的兩個

5、共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。 (三)、知識運用，能力提高 1、例題：例1．寫出下列復數(shù)的實部與虛部，并指出哪些是實數(shù)， 哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)． 解： 的實部分別是； 虛部分別是．是實數(shù)；是虛數(shù)，其中是純虛數(shù)． 例2、實數(shù)取什么值時，復數(shù)是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？ 分析：由可知，都是實數(shù)，根據(jù)復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以分別確定的值。 解：（1）當，即時，復數(shù)是實數(shù)；（2）當，即時，復數(shù)是虛數(shù)；（3）當，且，即時復數(shù)是純虛數(shù)。 （變式引申）：已知，復數(shù)，當為何值時： （1）；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)． 解：（1）當且，即時，是實數(shù)； （

6、2）當且，即且時，是虛數(shù)； （3）當且，即或時，為純虛數(shù)． 思考：是復數(shù)為純虛數(shù)的充分條件嗎？ 答：不是，因為當且時，才是純虛數(shù)，所以是復數(shù)為純虛數(shù)的必要而非充分條件． 例3、已知，求實數(shù)的值． 解：根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件，可得：，解得：． （變式引申）：已知，求復數(shù)． 解：設(shè)，則， ， 由復數(shù)相等的條件 ． 2．練習：（1）已知復數(shù)，且，則 ． 解：，則．故虛部 或．但時，，不合題意，故舍去，故． 四．回顧小結(jié)： 1、能夠識別復數(shù)，并能說出復數(shù)在什么條件下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)； 2、復數(shù)相等的充要條件。 （三）小結(jié)：復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系及兩復數(shù)相等的充要條件。 （四）、鞏固練習： 1．指出下列復數(shù)哪些是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，是虛數(shù)的找出其實部與虛部。 2．判斷① 兩復數(shù)，若虛部都是3，則實部大的那個復數(shù)較大。②　復平面內(nèi)，所有純虛數(shù)都落在虛軸上，所有虛軸上的點都是純虛數(shù)。 3若，則的值是 。 4．．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，當取何實數(shù)時，是： （1）實數(shù) （2） 虛數(shù) （3）純虛數(shù) （4）零 （五）、課外練習： （六）、課后作業(yè)： 五、教后反思：