《數(shù)系的擴充》教學設計說明

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1、 . 《數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念》 教學設計 -----高中人教A版選修2-2 王 海 艷 市第六十二中學 【教材分析】 本章《數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念》是中學課程里數(shù)的概念的最后一次擴展。引入復數(shù)后，不僅可以使學生對數(shù)的概念有一個初步完整的認識，也為進一步學習數(shù)學奠定基礎(chǔ)。教材編寫的線索是：先將復數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對，然后學習復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，最后介紹復數(shù)的幾何意義。本節(jié)是該章的基礎(chǔ)課、起始課，具有承上啟下的作用。 【學情分析】 在學習本節(jié)之前，

2、學生對數(shù)的概念已經(jīng)擴充到實數(shù)，也已清楚各種數(shù)集之間的包含關(guān)系等容，但知識是零碎、分散的，對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺乏整體認識與理性思考，知識體系還未形成。另一方面學生對方程解的問題會默認為在實數(shù)集中進行，缺乏嚴謹?shù)乃季S習慣。 【三維目標】 知識與技能：了解數(shù)系的擴充過程；理解復數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復數(shù)相等的條件 過程與方法：經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴充的過程，體會數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，讓學生學會對事件歸納與認識的方法。 情感、態(tài)度與價值觀： （１）培養(yǎng)學生分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想和方法； （２）培養(yǎng)學生矛盾轉(zhuǎn)化、分與合、實與虛等辯證唯物主

3、義觀點； （３）感受人類理性思維的作用。 【教學重點】復數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復數(shù)相等的條件 【教學難點】數(shù)集擴充的必要性和過程 【教學設計】 激發(fā)求知欲 引導分析 形成新知 情境設置 例題分析 反饋練習 方法小結(jié) 例題擴展 數(shù)學 應用 整體思路 設計思想 知識來源于實際生活。教學中應注重把教材容與生活實踐結(jié)合起來，加強數(shù)學教學的實踐性。本節(jié)課對知識結(jié)構(gòu)進行創(chuàng)造性地“教學加工”，教學方法上則采用“合作－探究”的模式，保證學生對知識的主動獲取，促進學生充分、和諧、自主、個性化發(fā)展。 媒體設計 本節(jié)課是概念課，要避免單一下定義再作練習模式，

4、應努力使課堂元素更豐富，因此借助于多媒體課件配合教學，添加與教學容匹配的圖片背景，激發(fā)學生的學習興趣；而例習題用媒體展示分析，則可以提高課堂教學效率。 設計特色 （１） 重視數(shù)學的人文價值。（２）知識建構(gòu)采用合作探究模式。 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境，提出問題 回顧數(shù)的發(fā)展史：數(shù)，是數(shù)學中的基本概念。到目前為止，我們學習了哪些數(shù)集？用符號表如何表示？它們之間有怎樣的包含關(guān)系？用圖示法可以如何表示（投影） （設計意圖：數(shù)集及之間關(guān)系的回顧，特別是“圖示法”的直觀表示，旨在幫助學生對“數(shù)系的擴充”有個初步感受） （投影）：自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實數(shù)系變化過程及“圖示法”表示數(shù)

5、集之間的包含關(guān)系。 問題：今天的課題是什么？從剛才這“圖示法”表示數(shù)集之間的包含關(guān)系的圖也可以看出數(shù)逐步發(fā)展壯大的過程。將實數(shù)繼續(xù)擴展，是不是就是今天要學的復數(shù)呢？所有的復數(shù)能不能構(gòu)成新的集合呢？ （設計意圖：設置懸念，激發(fā)學生的學習積極性。 ） 二、學生活動，意義建構(gòu) 互動探究點一　復數(shù)的概念 問題1　為解決方程x2—2=0，數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程x2＋1＝0在實數(shù)系中無根的問題呢？ 在有理數(shù)集中，方程無解，為此引入無理數(shù)，數(shù)集擴充到實數(shù)集。從使得方程有解的角度來看，每一次數(shù)的概念的擴充有什么特征？（新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來的。）如

6、何使方程有解呢？ （設計意圖：通過一個簡單方程解的情況的“陷阱”，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，同時通過如何使一系列方程解問題的“誘導”，使學生不斷受到數(shù)的概念的擴充的“基本特征”的沖擊，形成思維定勢，從而使引入一個新數(shù)使方程有解的方法水到渠成，自然給出“虛數(shù)單位”的第一個“規(guī)定”。） 問題2　如何理解新引入的數(shù)i? （１）（2）實數(shù)可以與 i 進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加法與乘法的運算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立。(3)由于i2＜0與實數(shù)集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以實數(shù)集中很多結(jié)論在新的數(shù)集中不再成立． （學生自學課本，以填空形式完成問題3，問題4） 問題3　

7、復數(shù)及復數(shù)集定義是什么？怎樣表示它們呢？(板書) 形如的數(shù)，（其中）我們把它們叫做復數(shù)。全體復數(shù)所組成的集合叫做復數(shù)集，記作C。復數(shù)通常用字母表示，即其中分別叫做復數(shù)的實部與虛部。這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式。 （設計意圖：通過對數(shù)與數(shù)之間的運算特征的研究與歸納，建立復數(shù)的基本概念） 問題4　什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)？（板書） （1）對于復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，當 b≠0 時叫做虛數(shù)； （2）當a=0 , b≠0 時，叫做純虛數(shù)． 試試　請說出下列復數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù)．（口答） ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.

8、 （設計意圖：鞏固復數(shù)的實部與虛部的概念及區(qū)分虛數(shù)、純虛數(shù)。） 問題5 實數(shù)是復數(shù)嗎？何時為實數(shù)？復數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系 根據(jù)復數(shù)中的取值不同，復數(shù)可以有以下的分類：（1） （２） 復數(shù)集C是實數(shù)集R的真子集 問題6 復數(shù)集，虛數(shù)集，實數(shù)集，純虛數(shù)集之間的關(guān)系？（投影） （設計意圖：鞏固復數(shù)集，虛數(shù)集，實數(shù)集，純虛數(shù)集概念） 典題訓練1當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝(m+1)＋(m－1)i為 (1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù) （設計意圖：旨在明確復數(shù)的分類這一容，特別要強調(diào)純虛數(shù)的條件） 探究點二　兩個復數(shù)相等（學生小組討論探究） 問題7　兩個復數(shù)能否

9、比較大??？ 問題8　兩個復數(shù)相等的充要條件是什么？ 復數(shù)可以看成是關(guān)于的一次二項式，類比兩個二項式相等的意義，我們規(guī)定：兩個復數(shù)與相等，當且僅當它們的實部與虛部分別相等，記作 （設計意圖：培養(yǎng)學生合作精神，轉(zhuǎn)化思想） 典題訓練2已知x，y均是實數(shù)，且滿足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x與y. （設計意圖：對復數(shù)相等問題的研究，可讓學生體會、總結(jié)復數(shù)問題的一般的處理方法――實數(shù)化）（實物投影，及時更正學生錯誤） 跟蹤訓練　已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值 （設計意圖：及時鞏固、檢查課堂效果） 課堂檢測（限時5分鐘） 1．已知復數(shù)z＝a2－(2－b)i

10、的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是(　　)A．，1 B．，5C．±，5 D．±，1 2．下列復數(shù)中，滿足方程x2＋2＝0的是(　　) A．±1 B．±IC．±i D．±2i 3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　) A．1 B．0C．－1 D．－1或1 4.已知復數(shù)a+bi與3+（4-k）i相等，且a+bi的實部和虛部是方程x2-4x+3=0的兩根，試求a,b,k的值。 5．實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù) （設計意圖：當堂檢驗學生掌握情況，限時訓練學生時間觀念。）

11、 課堂小結(jié)（學生總結(jié)） 今天我們與大家一起學習復數(shù)的有關(guān)容。復數(shù)的引入實現(xiàn)了中學階段數(shù)系的最后一次擴充。大家一定體會到了實際需求與數(shù)學部的矛盾在數(shù)系擴充過程中的作用，但在數(shù)學史上復數(shù)系的建立，卻是經(jīng)歷了一段曲折而漫長的過程。數(shù)系的不斷擴充體現(xiàn)了人類在數(shù)的認識上的深化，就像人類進入太空實現(xiàn)了對宇宙認識的飛躍一樣，復數(shù)的引入是對數(shù)認識的一次飛躍。我們今天都學到了什么？ （設計意圖：再一次鞏固知識點，回答了課前的疑問，達到前呼后應的效果。） 課后作業(yè) 教材P60 習題3.1 【教后反思】 一、可取之處 （１）以人為本，以學生為主體，充分考慮學生的認知規(guī)律。如直擊課題以及后面的從實際需

12、求與數(shù)學部矛盾兩個方面發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴充的基本特征，都是從學生的角度出發(fā)，幫助學生解決頭腦中的疑問，同時注重發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生參與方法的總結(jié)、知識的歸納，真正讓學生成為課堂的“主人”。 （２）重視問題的設置。無論是課題的提示，還是知識的生成、規(guī)律的總結(jié)，都能以一個個的問題為切入點，設置好適當?shù)奶荻?，讓學生在體驗成功中提升能力。 （３）注重數(shù)學的人文價值。本節(jié)課一開始并未直接給出虛數(shù)的定義，再用機械重復的運算去鞏固知識，而是通過對數(shù)系擴充過程的回顧，讓學生感受人類理性思維在數(shù)學發(fā)展中作用，認識到數(shù)學發(fā)展既有來自外部的實際需求也有來自數(shù)學部的邏輯規(guī)律，幫助學生更好地體會數(shù)學理論產(chǎn)生與發(fā)展的

13、過程，形成正確的數(shù)學觀。 二、待改進之處 （１）問題設置不夠生動。如何使問題更能激發(fā)學生的課堂積極性。 （２）培養(yǎng)學生的學習能力，特別是自主學習的能力，做得不夠。課前我已經(jīng)準備了一些數(shù)學發(fā)展史的材料，這些材料如果能讓學生自己去搜集，那么學生對這一部分知識會有更深刻的了解，但迫于平時自主學習的時間較少，扼殺了學生的能力。 § 【教學目標】1．了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程. 2．理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念. 3．掌握復數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復數(shù)相等的充要條件．

14、 【教學重點】掌握復數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復數(shù)相等的充要條件． 【教學過程】 一、課前準備 （預習教材P60~ P62，找出疑惑之處） 復習：實數(shù)系、數(shù)系的擴充脈絡是： →→→， 用集合符號表示為： 二、新課導學 互動探究點一　復數(shù)的概念 問題1為解決方程x2＝2，數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程x2＋1＝0在實數(shù)系中無根的問題呢？ 問題2如何理解新引入的數(shù)i? 問題3　復數(shù)及復數(shù)集定義是什么？怎樣表示它們呢？ 問題4　什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)？ 試一試：　請說出下列復數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù)．

15、①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 問題5復數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系 問題6 復數(shù)集，虛數(shù)集，實數(shù)集，純虛數(shù)集之間的關(guān)系？ 典題訓練1：　當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝(m+1)＋(m－1)i為 (1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)． 跟蹤訓練：　當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝＋(m2－2m)i為 (1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)． 互動探究點二：　兩個復數(shù)相等 問題7　兩個復數(shù)能否比較大小？ 問題8　兩個復數(shù)相等的充要條件是什么？ 典題訓練2：已知x，y均是實數(shù)，且滿足(2x－1)＋i＝－y－(

16、3－y)i，求x與y. 跟蹤訓練　已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值． 三、課堂小結(jié)： 1.虛數(shù)單位i的引入 2.復數(shù)有關(guān)概念： 復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)的實部、虛部 ； 虛數(shù)、純虛數(shù) ； 復數(shù)相等的充要條件 四、考一考，你過關(guān)了嗎 1．已知復數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別(　　) A．，1 B．，5 C．±，5 D．±，1 2．下列復數(shù)中，滿足方程x2＋2＝0的是(　　) A．±1 B．±i C．±i D．±2i 3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－1或1 4．已知復數(shù)與相等，且的實部、虛部分別是- 4x+3 =0 方程的兩根，試求：的值. 5　實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)； (3)純虛數(shù) 8 / 8