2013山東青島數(shù)學中考題.doc

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山東省青島市2013年中考數(shù)學試卷 一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分） 1．（3分）（2013?青島）﹣6的相反數(shù)是（　?。? 　 A． ﹣6 B． 6 C． ﹣ D． 考點： 相反數(shù) 分析： 根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可． 解答： 解：﹣6的相反數(shù)是6， 故選：B． 點評： 本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號；一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0． 　 2．（3分）（2013?青島）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 中心對稱圖形 分析： 根據(jù)中心對稱圖形的定義，結(jié)合選項所給圖形進行判斷即可． 解答： 解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； D、是中心對稱圖形，故本選項正確； 故選D． 點評： 本題考查了中心對稱圖形的知識，在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形． 　 3．（3分）（2013?青島）如圖所示的幾何體的俯視圖是（　　） 　 A． B． C． D． 考點： 簡單組合體的三視圖 分析： 俯視圖是從上往下看得到的視圖，結(jié)合選項進行判斷即可． 解答： 解：所給圖形的俯視圖是B選項所給的圖形． 故選A． 點評： 本題考查了簡單組合體的三視圖，解答本題的關(guān)鍵是掌握俯視圖是從上往下看得到的視圖． 　 4．（3分）（2013?青島）“十二五”以來，我國積極推進國家創(chuàng)新體系建設(shè)．國家統(tǒng)計局《2012年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》指出：截止2012年底，國內(nèi)有效專利達8750000件，將8750000件用科學記數(shù)法表示為（　?。┘? 　 A． 8.75104 B． 8.75105 C． 8.75106 D． 8.75107 考點： 科學記數(shù)法—表示較大的數(shù) 分析： 科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于8750000有7位，所以可以確定n=7﹣1=6． 解答： 解：8 750 000=8.75106． 故選C． 點評： 此題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準確確定a與n值是關(guān)鍵． 　 5．（3分）（2013?青島）一個不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的5個白球和若干個紅球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小亮為了估計其中的紅球數(shù)，采用如下方法：現(xiàn)將口袋中的球搖勻，再從口袋里隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估計口袋中的紅球大約有（　?。﹤€． 　 A． 45 B． 48 C． 50 D． 55 考點： 用樣本估計總體 分析： 小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球；摸到白球與摸到紅球的次數(shù)之比為1：9，由此可估計口袋中白球和紅球個數(shù)之比為1：9；即可計算出紅球數(shù)． 解答： 解：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球， ∴白球與紅球的數(shù)量之比為1：9， ∵白球有5個， ∴紅球有95=45（個）， 故選：A． 點評： 本題考查的是通過樣本去估計總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可． 　 6．（3分）（2013?青島）已知矩形的面積為36cm2，相鄰的兩條邊長分別為xcm和ycm，則y與x之間的函數(shù)圖象大致是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 反比例函數(shù)的應(yīng)用；反比例函數(shù)的圖象 分析： 根據(jù)題意有：xy=36；故y與x之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)，且根據(jù)x、y實際意義x、y應(yīng)＞0，其圖象在第一象限，即可得出答案． 解答： 解：∵矩形的面積為36cm2，相鄰的兩條邊長分別為xcm和ycm， ∴xy=36， ∴函數(shù)解析式為：y=（x＞0，y＞0）． 故選A． 點評： 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用性題目，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用實際意義確定其所在的象限． 　 7．（3分）（2013?青島）直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是（　?。? 　 A． r＜6 B． r=6 C． r＞6 D． r≥6 考點： 直線與圓的位置關(guān)系 專題： 探究型． 分析： 直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進行判斷即可． 解答： 解：∵直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離d=6， ∴r＞6． 故選C． 點評： 本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．直線l和⊙O相交?d＜r 　 8．（3分）（2013?青島）如圖，△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′點A、B、A′、B′均在圖中在格點上．若線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應(yīng)點P′的坐標為（　?。? 　 A． （，n） B． （m，n） C． （m，） D． （） 考點： 位似變換；坐標與圖形性質(zhì) 專題： 壓軸題． 分析： 根據(jù)A，B兩點坐標以及對應(yīng)點A′，B′點的坐標得出坐標變化規(guī)律，進而得出P′的坐標． 解答： 解：∵△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′點A、B、A′、B′均在圖中在格點上， 即A點坐標為：（4，6），B點坐標為：（6，2），A′點坐標為：（2，3），B′點坐標為：（3，1）， ∴線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應(yīng)點P′的坐標為：（）． 故選D． 點評： 此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出對應(yīng)點坐標的變化是解題關(guān)鍵． 　 二、填空題（本題滿分18分共有6道題，每小題3分） 9．（3分）（2013?青島）計算：2﹣1+=　?。? 考點： 二次根式的乘除法；負整數(shù)指數(shù)冪 分析： 首先計算負指數(shù)次冪以及二次根式的除法，然后進行加法運算即可求解． 解答： 解：原式=+2 =． 故答案是：． 點評： 本題主要考查了二次根式除法以及負指數(shù)次冪的運算，理解運算法則是關(guān)鍵． 　 10．（3分）（2013?青島）某校對甲、乙兩名跳高運動員的近期調(diào)高成績進行統(tǒng)計分析，結(jié)果如下：=1.69m，=1.69m，S2甲=0.0006，S2乙=0.00315，則這兩名運動員中　甲　的成績更穩(wěn)定． 考點： 方差 分析： 根據(jù)方差的意義：反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立． 解答： 解：∵S2甲=0.0006，S2乙=0.00315， ∴S2甲＜S2乙， ∴這兩名運動員中甲的成績更穩(wěn)定． 故答案為：甲． 點評： 本題考查方差的定義與意義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立． 　 11．（3分）（2013?青島）某企業(yè)2010年底繳稅40萬元，2012年底繳稅48.4萬元．設(shè)這兩年該企業(yè)交稅的年平均增長率為x，根據(jù)題意，可得方程　40（1+x）2=48.4?。? 考點： 由實際問題抽象出一元二次方程 專題： 增長率問題． 分析： 根據(jù)增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），如果設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長率為x，首先表示出2011年的繳稅額，然后表示出2012年的繳稅額，即可列出方程． 解答： 解：設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長率為x， 依題意得40（1+x）2=48.4． 故答案為：40（1+x）2=48.4． 點評： 此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程中增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量． 　 12．（3分）（2013?青島）如圖，一個正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象相交于點P，則這個正比例函數(shù)的表達式是　y=﹣2x?。? 考點： 兩條直線相交或平行問題 分析： 首先將點P的縱坐標代入一次函數(shù)的解析式求得其橫坐標，然后代入正比例函數(shù)的解析式即可求解． 解答： 解：∵正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象相交于點P，P點的縱坐標為2， ∴2=﹣x+1 解得：x=﹣1 ∴點P的坐標為（﹣1，2）， ∴設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx， ∴2=﹣k 解得：k=﹣2 ∴正比例函數(shù)的解析式為：y=﹣2x， 故答案為：y=﹣2x 點評： 本題考查了兩條直線相交或平行問題，解題的關(guān)鍵是首先求得點P的坐標． 　 13．（3分）（2013?青島）如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC=2，∠ABC=30，則圖中陰影部分的面積是　﹣?。? 考點： 扇形面積的計算；圓周角定理 專題： 壓軸題． 分析： 如圖，連接OC．圖中陰影部分的面積=扇形OBC的面積﹣△BOC的面積． 解答： 解：如圖，連接OC． ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30 ∴∠BOC=180﹣30﹣30=120． 又∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∴在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30，則AB=2AC=4，BC==2． ∵OC是△ABC斜邊上的中線， ∴S△BOC=S△ABC=AC?BC=22=． ∴S陰影=S扇形OBC﹣S△BOC=﹣=﹣． 故答案是：﹣． 點評： 本題考查了扇形面積的計算、圓周角定理．求圖中陰影部分的面積時，采用了“分割法”，即把不規(guī)則陰影圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，然后來計算其面積． 　 14．（3分）（2013?青島）要把一個正方體分割成8個小正方體，至少需要切3刀，因為這8個小正方體都只有三個面是現(xiàn)成的．其他三個面必須用三刀切3次才能切出來．那么，要把一個正方體分割成27個小正方體，至少需用刀切　6　次；分割成64個小正方體，至少需要用刀切　9　次． 考點： 規(guī)律型：圖形的變化類 專題： 壓軸題；規(guī)律型． 分析： 根據(jù)立方根的定義，把長、寬、高分別進行等分切割即可得解． 解答： 解：分割成8個小正方體，需用長、寬、高都二等分的3刀， 分割成27個小正方體，需用長、寬、高都三等分的32=6刀， 分割成64個小正方體，需用長、寬、高都四等分的33=9刀． 故答案為：6；9． 點評： 本題是對圖形變化規(guī)律的考查，解答本題需要有空間想象能力． 　 三、作圖題（本題滿分4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫做法，但要保留作圖痕跡。 15．（4分）（2013?青島）已知：如圖，直線AB與直線BC相交于點B，點D是直線BC上一點． 求作：點E，使直線DE∥AB，且點E到B，D兩點的距離相等．（在題目的原圖中完成作圖） 結(jié)論：BE=DE． 考點： 作圖—復(fù)雜作圖．3718684 專題： 壓軸題． 分析： 首先以D為頂點，DC為邊作一個角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分線，即可找到點E． 解答： 解：如圖所示： 點E即為所求，BE=DE 點評： 此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的方法和線段垂直平分線的作法． 　 四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題） 16．（8分）（2013?青島）（1）解方程組：； （2）化簡：（1+）?． 考點： 分式的混合運算；解二元一次方程組 專題： 計算題． 分析： （1）方程組兩方程相加消去y求出x的值，進而求出y的值，即可得到方程組的解； （2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，約分即可得到結(jié)果． 解答： 解：（1）， ①+②得：3x=3， 解得：x=1， 將x=1代入②得：1﹣y=0，即y=1， 則方程組的解為； （2）原式=? =． 點評： 此題考查了分式的混合運算，以及解二元一次方程組，分式的加減運算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式． 　 17．（6分）（2013?青島）請根據(jù)所給信息，幫助小穎同學完成她的調(diào)查報告 2013年4月光明中學八年級學生每天干家務(wù)活平均時間的調(diào)查報告 調(diào)查目的 了解八年級學生每天干家務(wù)活的平均時間 調(diào)查內(nèi)容 光明中學八年級學生干家務(wù)活的平均時間 調(diào)查方式 抽樣調(diào)查 調(diào)查步驟 1．數(shù)據(jù)的收集 （1）在光明中學八年級每班隨機調(diào)查5名學生 （2）統(tǒng)計這些學生2013年4月每天干家務(wù)活的平均時間（單位：min）結(jié)果如下（其中A表示10min，B表示20min，C表示30min） B A A B B B B A C B B A B B C A B A A C A B B C B A B B A C 2．數(shù)據(jù)的處理： 以頻數(shù)分布直方圖的形式呈現(xiàn)上述統(tǒng)計結(jié)果 請補全頻數(shù)分布直方圖 3．數(shù)據(jù)的分析： 列式計算所隨機調(diào)查學生每天干家務(wù)活平均時間的平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)） 調(diào)查結(jié)論 光明中學八年級共有240名學生，其中大約有　120　名學生每天干家務(wù)活的平均時間是20min 考點： 頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；加權(quán)平均數(shù)．3718684 分析： 先從圖表中得出平均每天干家務(wù)活在30min的有5名學生，從而補全統(tǒng)計圖，再根據(jù)A表示10min，B表示20min，C表示30min和學生數(shù)即可求出隨機調(diào)查的學生每天干家務(wù)活的平均時間，最后根據(jù)每天干家務(wù)活的平均時間是20min所占的百分比乘以240，即可得出大約每天干家務(wù)活的平均時間是20min的學生數(shù)． 解答： 解：從圖表中可以看出C的學生數(shù)是5人， 如圖： 每天干家務(wù)活平均時間是：（1010+1520+530）30≈18（min）； 根據(jù)題意得：240=120（人）， 光明中學八年級共有240名學生，其中大約有120名學生每天干家務(wù)活的平均時間是20min； 故答案為：120． 點評： 本題考查了頻率分布直方圖、加權(quán)平均數(shù)以及用樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中獲取必要的信息，認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題． 　 18．（6分）（2013?青島）小明和小剛做摸紙牌游戲．如圖，兩組相同的紙牌，每組兩張，牌面數(shù)字分別是2和3，將兩組牌背面朝上洗勻后從每組牌中各摸出一張，稱為一次游戲．當兩張牌的牌面數(shù)字之積為奇數(shù)，小明的2分，否則小剛得1分．這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由． 考點： 游戲公平性；列表法與樹狀圖法 專題： 圖表型． 分析： 畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式分別求出小明和小剛的得分，然后進行判斷即可． 解答： 解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下： 一共有4種情況，積是偶數(shù)的有3種情況，積是奇數(shù)的有1種情況， 所以，P（小明勝）=2=， P（小剛勝）=1=， ∵≠， ∴這個游戲?qū)﹄p方不公平． 點評： 本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個人取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 19．（6分）（2013?青島）某校學生捐款支援地震災(zāi)區(qū)，第一次捐款總額為6600元，第二次捐款總額為7260元，第二次捐款人數(shù)比第一次多30人，而且兩次人均捐款額恰好相等．求第一次的捐款人數(shù)． 考點： 分式方程的應(yīng)用 分析： 先設(shè)第一次的捐款人數(shù)是x人，根據(jù)兩次人均捐款額恰好相等列出方程，求出x的值，再進行檢驗即可求出答案． 解答： 解：設(shè)第一次的捐款人數(shù)是x人，根據(jù)題意得： =， 解得：x=300， 經(jīng)檢驗x=300是原方程的解， 答：第一次的捐款人數(shù)是300人． 點評： 此題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出之間的等量關(guān)系，列出方程，解分式方程時要注意檢驗． 　 20．（8分）（2013?青島）如圖，馬路的兩邊CF，DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側(cè)的A，B兩點分別表示車站和超市．CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A=67，∠B=37． （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B．求他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走多少米． （參考數(shù)據(jù)：sin67≈，cos67≈，tan67≈，sin37≈，cos37≈，tan37≈） 考點： 解直角三角形的應(yīng)用 分析： （1）設(shè)CD與AB之間的距離為x，則在Rt△BCF和Rt△ADE中分別用x表示BF，AE，又AB=AE+EF+FB，代入即可求得x的值； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，分別求出BC、AD的長度，求出AD+DC+CB﹣AB的值即可求解． 解答： 解：（1）CD與AB之間的距離為x， 則在Rt△BCF和Rt△ADE中， ∵=tan37，=tan67， ∴BF==x，AE==x， 又∵AB=62，CD=20， ∴x+x+20=62， 解得：x=24， 答：CD與AB之間的距離為24米； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中， ∵BC===40， AD===26， ∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米）， 答：他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走24米． 點評： 本題考查了解直角三角形，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是在直角三角形中運用解直角三角形的知識求出各邊的長度． 　 21．（8分）（2013?青島）已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD、BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點． （1）求證：△ABM≌△DCM； （2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （3）當AD：AB=　2：1　時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明） 考點： 矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；正方形的判定 分析： （1）求出AB=DC，∠A=∠D=90，AM=DM，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可； （2）根據(jù)三角形中位線定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四邊形，求出BM=CM，推出ME=MF，根據(jù)菱形的判定推出即可； （3）求出∠EMF=90，根據(jù)正方形的判定推出即可． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90， ∵M為AD中點， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）； （2）答：四邊形MENF是菱形． 證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點， ∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM， ∴NE=FM，NE∥FM， ∴四邊形MENF是平行四邊形， ∵△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F分別是BM、CM的中點， ∴ME=MF， ∴平行四邊形MENF是菱形； （3）解：當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形． 理由是：∵M為AD中點， ∴AD=2AM， ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB， ∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45， 同理∠DMC=45， ∴∠EMF=180﹣45﹣45=90， ∵四邊形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形， 故答案為：2：1． 點評： 本題考查了正三角形的中位線，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形、平行四邊形、正方形的判定的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力． 　 22．（10分）（2013?青島）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件． （1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大； （3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案： 方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元； 方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元 請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由． 考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用 分析： （1）根據(jù)利潤=（單價﹣進價）銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式即可； （2）根據(jù)（1）式列出的函數(shù)關(guān)系式，運用配方法求最大值； （3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較． 解答： 解：（1）由題意得，銷售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500， 則w=（x﹣20）（﹣10x+500） =﹣10x2+700x﹣10000； （2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函數(shù)圖象開口向下，w有最大值， 當x=35時，wmax=2250， 故當單價為35元時，該文具每天的利潤最大； （3）甲方案利潤高．理由如下： 甲方案中：20＜x≤30， 故當x=30時，w有最大值， 此時w甲=2000； 乙方案中：， 故x的取值范圍為：45≤x≤49， ∵函數(shù)w=﹣10（x﹣35）2+2250，對稱軸為x=35， ∴當x=45時，w有最大值， 此時w乙=1250， ∵w甲＞w乙， ∴甲方案利潤更高． 點評： 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=時取得． 　 23．（10分）（2013?青島）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式． 這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化． 【研究速算】 提出問題：4743，5654，7971，…是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？ 幾何建模： 用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以4743為例： （1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個4743的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面． （2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：4743的矩形面積或（40+7+3）40的矩形與右上角37的矩形面積之和，即4743=（40+10）40+37=54100+37=2021． 用文字表述4743的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果． 歸納提煉： 兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）　十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果?。? 【研究方程】 提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x﹣35=0（x＞0）？ 幾何建模： （1）變形：x（x+2）=35． （2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4 （3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）2或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積． 即（x+x+2）2=4x（x+2）+22 ∵x（x+2）=35 ∴（x+x+2）2=435+22 ∴（2x+2）2=144 ∵x＞0 ∴x=5 歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解． 要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長） 【研究不等關(guān)系】 提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？ 幾何建模： （1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割 （2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2） （3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5 歸納提煉： 當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系． 根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長） 考點： 一元二次方程的應(yīng)用；整式的混合運算；一元一次不等式組的應(yīng)用 專題： 數(shù)形結(jié)合． 分析： 【研究速算】十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果； 【研究方程】畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造答圖1，則圖中的大正方形面積有兩種不同的表達方式，由此建立方程求解即可； 【研究不等關(guān)系】畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割．圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關(guān)系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b． 解答： 解：【研究速算】 歸納提煉： 十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果． 【研究方程】 歸納提煉： 畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造答圖1，則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式：（x+x+b）2或四個長為x+b，寬為x的矩形面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積． 即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2 ∵x（x+b）=c， ∴（x+x+b）2=4c+b2 ∴（2x+b）2=4c+b2 ∵x＞0， ∴x=． 【研究不等關(guān)系】 歸納提煉： （1）畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割． （2）變形：a+b=（2+m）+（2+n） （3）分析：圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關(guān)系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b． 點評： 本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，利用數(shù)形結(jié)合思想建立了代數(shù)（速算、方程與不等式等）與幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學的魅力，是一道好題．試題立意新穎，構(gòu)思巧妙，對于學生的學習大有裨益；不足之處在于題干篇幅過長，學生讀題并理解題意需要花費不少的時間，影響答題的信心． 　 24．（12分）（2013?青島）已知：如圖，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45，點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為3cm/s；點Q從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜1） 解答下列問題： （1）當t為何值時，四邊形AQDM是平行四邊形？ （2）設(shè)四邊形ANPM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式： （3）是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，說明理由． （4）連接AC，是否存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，說明理由． 考點： 相似形綜合題 專題： 壓軸題． 分析： （1）根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得出AP=DP，代入求出即可； （2）求出AP和MN的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可； （3）假設(shè)存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．根據(jù)（2）中求出的關(guān)系式，列方程求出t的值； （4）假設(shè)存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分，證△APW∽△CNW，得出=，代入求出即可． 解答： 解：（1）∵當AP=PD時，四邊形AQDM是平行四邊形， 即3t=3﹣3t， t=， ∴當t=s時，四邊形AQDM是平行四邊形． （2）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴△AMP∽△DQP， ∴=， ∴=， ∴AM=t， ∵MN⊥BC， ∴∠MNB=90， ∵∠B=45， ∴∠BMN=45=∠B， ∴BN=MN， ∵BM=1+t， 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t）， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∵MN⊥BC， ∴MN⊥AD， ∴y=APMN =?3t?（1+t） 即y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為y=t2+t（0＜t＜1）． （3）假設(shè)存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半． 此時t2+t=3， 整理得：t2+t﹣1=0， 解得t1=，t2=（舍去） ∴當t=s時，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半． （4）存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分， 理由是：假設(shè)存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴△APW∽△CNW， ∴=， 即=或=， ∴t=或， ∵兩數(shù)都在0＜t＜1范圍內(nèi)，即都符合題意， ∴當t=s或s時，NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分．