女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題.doc

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2008女子數(shù)學(xué)奧林匹克 第一天 2008年8月15日 上午 8：00 ~ 12：00 廣東中山 數(shù)學(xué)競(jìng)賽像其他競(jìng)賽活動(dòng)一樣，是青少年學(xué)生的一種智力競(jìng)賽. 在類(lèi)似的以基礎(chǔ)科學(xué)為競(jìng)賽內(nèi)容的智力競(jìng)賽活動(dòng)中，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的歷史最悠久，國(guó)際性強(qiáng)，影響也最大. ──王元 1．(a) 問(wèn)能否將集合表示為它的32個(gè)三元子集的并集，且每個(gè)三元子集的元素之和都相等； (b) 問(wèn)能否將集合表示為它的33個(gè)三元子集的并集，且每個(gè)三元子集的元素之和都相等． 2. 已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式有三個(gè)正根，且．求證： . 3. 求最小常數(shù)，使得對(duì)正方形ABCD內(nèi)部任一點(diǎn)P，都存在△PAB，△PBC，△PCD，△PDA中的某兩個(gè)三角形，其面積之比屬于區(qū)間． 4. 在凸四邊形ABCD的外部分別作正三角形ABQ，正三角形BCR，正三角形CDS，正三角形DAP，記四邊形ABCD的對(duì)角線之和為x，四邊形PQRS的對(duì)邊中點(diǎn)連線之和為y，求的最大值.  2008女子數(shù)學(xué)奧林匹克 第二天 2008年8月16日 上午 8：00 ~ 12：00 廣東中山 我國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)表明，凡是開(kāi)展好的地區(qū)和單位，都能大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．這項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，將健康的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制引進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，有利于選拔人才．由數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔的優(yōu)勝者，既有踏實(shí)廣泛的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又有刻苦鉆研、科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，其中的不少青年學(xué)生將來(lái)會(huì)成為出色的科學(xué)工作者． ──王 元 5. 已知凸四邊形ABCD滿足AB＝BC，AD＝DC．E是線段AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段AD上一點(diǎn)，滿足B，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓．作△DPE順向相似于△ADC，作△BQF順向相似于△ABC．求證：A，P，Q三點(diǎn)共線． （注：兩個(gè)三角形順向相似是指它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)同按順時(shí)針?lè)较蚧蛲茨鏁r(shí)針?lè)较蚺帕校? 6. 設(shè)正數(shù)列 滿足 及 ． 求正實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，不具有單調(diào)性． 7. 給定一個(gè)20082008的棋盤(pán)，棋盤(pán)上每個(gè)小方格的顏色均不相同．在棋盤(pán)的每一個(gè)小方格中填入C，G，M，O這4個(gè)字母中的一個(gè)，若棋盤(pán)中每一個(gè)22的小棋盤(pán)中都有C，G，M，O這4個(gè)字母，則稱(chēng)這個(gè)棋盤(pán)為“和諧棋盤(pán)”．問(wèn)有多少種不同的“和諧棋盤(pán)”？ 8. 對(duì)于正整數(shù)，令．求證：數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)奇數(shù)和無(wú)窮多個(gè)偶數(shù)．([x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù))