2012年中考數(shù)學(xué)試題解析(山東青島卷).doc

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2012年中考數(shù)學(xué)試題解析（山東青島卷） （本試卷滿分120分，考試時間120分鐘） 一、選擇題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分） 3．（2012山東青島3分）如圖，正方體表面上畫有一圈黑色線條，則它的左視圖是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考點】簡單組合體的三視圖。 【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中：左視圖是正方形，中間還有一條豎線。故選B。 4．（2012山東青島3分）已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為4和6，O1O2＝2，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是【 】 A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離 【答案】A。 【考點】兩圓的位置關(guān)系。 【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定：外切（兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和），內(nèi)切（兩圓圓心距離等于兩圓半徑之差），相離（兩圓圓心距離大于兩圓半徑之和），相交（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差），內(nèi)含（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之差）。 ∵⊙O1與⊙O2的半徑分別是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6－4=2。 ∴⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是內(nèi)切。故選A。 5．（2012山東青島3分）某次知識競賽中，10名學(xué)生的成績統(tǒng)計如下： 分?jǐn)?shù)(分) 60 70 80 90 100 人數(shù)(人) 1 1 5 2 1 則下列說明正確的是【 】 A．學(xué)生成績的極差是4 B．學(xué)生成績的眾數(shù)是5 C．學(xué)生成績的中位數(shù)是80分 D．學(xué)生成績的平均分是80分 【答案】C。 【考點】極差，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)。 【分析】分別計算該組數(shù)據(jù)的極差，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)后，選擇正確的答案即可： A．極差是100－60=40，故此選項錯誤； B．∵80出現(xiàn)了5次，最多，∴眾數(shù)為80，故此選項錯誤； C．中位數(shù)為：（80+80）2=80；故此選項正確； D. =（60+70+805+902+100）10=81；故此選項錯誤。 故選C。 6．（2012山東青島3分）如圖，將四邊形ABCD先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，那么點A 的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)是【 】 A．(6，1) B．(0，1) C．(0，－3) D．(6，－3) 【答案】B。 【考點】坐標(biāo)與圖形的平移變化。 【分析】∵四邊形ABCD先向左平移3個單位，再向上平移2個單位， ∴點A也先向左平移3個單位，再向上平移2個單位， ∴由A（3，－1）可知，A′坐標(biāo)為（0，1）。故選B。 7．（2012山東青島3分）用圖中兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲：分別旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一 個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是【 】 A． B． C． D． 【答案】D。 【考點】列表法或樹狀圖法，概率。 【分析】由于第二個轉(zhuǎn)盤不等分，所以首先將第二個轉(zhuǎn)盤中的藍色部分等分成兩部分，然后畫樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與可配成紫色的情況，再利用概率公式即可求得答案： 如圖，將第二個轉(zhuǎn)盤中的藍色部分等分成兩部分，畫樹狀圖得： ∵共有6種等可能的結(jié)果，可配成紫色的有3種情況， ∴可配成紫色的概率是：。故選D。 8．（2012山東青島3分）點A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函數(shù)的圖象上，且 x1＜x2＜0＜x3，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是【 】 A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】A。 【考點】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 【分析】作出反比例函數(shù)的圖象（如圖），即可作出判斷： ∵－3＜0， ∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，y隨x的增大而增大，且當(dāng)x＜0時，y＞0；當(dāng)x＞0時，y＜0。 ∴當(dāng)x1＜x2＜0＜x3時，y3＜y1＜y2。故選A。 二、填空題（本題滿分18分，共6小題，每小題3分） 9．（2012山東青島3分）＝ ▲ ． 【答案】7。 【考點】實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，二次根式化簡和運算。 【分析】針對零指數(shù)冪，二次根式化簡和運算等考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果：。 10．（2012山東青島3分）為改善學(xué)生的營養(yǎng)狀況，中央財政從2011年秋季學(xué)期起，為試點地區(qū)在校生 提供營養(yǎng)膳食補助，一年所需資金約為160億元，用科學(xué)記數(shù)法表示為 ▲ 元． 【答案】1.61010。 【考點】科學(xué)記數(shù)法。 【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值。在確定n的值時，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1。當(dāng)該數(shù)大于或等于1時，n為它的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)該數(shù)小于1時，－n為它第一個有效數(shù)字前0的個數(shù)（含小數(shù)點前的1個0）。160億=16000000000一共11位，從而160億=16000000000=1.61010。 11．（2012山東青島3分）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60，則∠ABC＝ ▲ ． 【答案】150。 【考點】圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。 【分析】如圖，在優(yōu)弧 ADC 上取點D，連接AD，CD， ∵∠AOC=60，∴∠ADC=∠AOC=30。 ∵∠ABC+∠ADC=180，∴∠ABC=180－∠ADC=180－30=150。 12．（2012山東青島3分）如圖，在一塊長為22m、寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂 直的道路（兩條道路各與矩形一邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300m2．若設(shè)道路寬為xm， 則根據(jù)題意可列方程為 ▲ ． 【答案】（22－x）（17－x）=300。 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程（幾何問題）。 【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程： （22－x）（17－x）=300。 13．（2012山東青島3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，∠ABC＝30，AC＝1．現(xiàn)在將△ABC繞點 C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，連接BB′，則BB′的長度為 ▲ ． 【答案】。 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=30，AC=1， ∴A′C=AC=1，AB=2，BC=。 ∵∠A=60，∴△AA′C是等邊三角形?！郃A′=AB=1。 ∴A′C=A′B?！唷螦′CB=∠A′BC=30。 ∵△A′B′C是△ABC旋轉(zhuǎn)而成，∴∠A′CB′=90，BC=B′C。 ∴∠B′CB=90－30=60?！唷鰾CB′是等邊三角形。 ∴BB′=BC= 。 14．（2012山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C 處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最 短距離為 ▲ cm． 【答案】15。 【考點】圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。 【分析】如圖，圓柱形玻璃杯展開（沿點A豎直剖開）后側(cè)面是一個長18寬12的矩形，作點A關(guān)于杯上沿MN的對稱點B，連接BC交MN于點P，連接BM，過點C作AB的垂線交剖開線MA于點D。 由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP＋PC為螞蟻到達蜂蜜 的最短距離，且AP=BP。 由已知和矩形的性質(zhì)，得DC=9，BD=12。 在Rt△BCD中，由勾股定理得。 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即螞蟻到達蜂蜜的最短距離為15cm。 三、作圖題（本題滿分4分） 15．（2012山東青島4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡． 已知：線段a、c，∠． 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠． 結(jié)論： 【答案】解：（1）作圖如下，△ABC即為所求。 【考點】作圖（基本作圖）。 【分析】①作∠ABC=∠，② 作BC＝a，AB＝c，③連接AC?！鰽BC即為所求。 四、解答題（本題滿分94分，共9小題） 16．（2012山東青島8分） (1) （2012山東青島4分）化簡：； 【答案】解：原式=。 【考點】分式的混合運算。 【分析】將分式中分子、分母的進行因式分解，再約分，即可得到分式的值。 (2) （2012山東青島4分）解不等式組： 【答案】解： ， 解不等式①，x＞ ，解不等式②，x≤4。 ∴原式不等式組的解集為＜x≤4． 【考點】解一元一次不等式組。 【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。 17．（2012山東青島6分）某校為開展每天一小時陽光體育活動，準(zhǔn)備組建籃球、排球、足球、乒乓球四 個興趣小組，并規(guī)定每名學(xué)生至少參加1個小組，即可以兼報多個小組．該校對八年級全體學(xué)生報名情況 進行了調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖： 根據(jù)圖中的信息，解答下列問題： (1)補全條形統(tǒng)計圖； (2)若該校八年級共有400名學(xué)生，估計報名參加2個興趣小組的人數(shù)； (3)綜合上述信息，談?wù)勀銓υ撔＜磳㈤_展的興趣小組活動的意見和建議(不超過30字)． 【答案】解：（1）∵從統(tǒng)計圖知報名參加3個興趣小組（丙）的有15人，占總數(shù)的30% ∴總?cè)藬?shù)有1530%=50（人）。 ∴報名參加4個興趣小組（?。┑挠?0－10－20－15=5（人）。 補全條形統(tǒng)計圖為： （2）報名參加2個興趣小組的有400（20 50）=160（人）。 （3）由于報名參加2和3個興趣小組人數(shù)多，各興趣小組活動的時間要按排好。 【考點】扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系，用樣本估計總體。 【分析】（1）根據(jù)丙小組的頻數(shù)及其所占的百分比求得總?cè)藬?shù)，減去其他小組的頻數(shù)即可求得丁小組的頻數(shù)，從而補全條形統(tǒng)計圖。 （2）用總?cè)藬?shù)乘以報名參加2個興趣小組的人占總數(shù)的多少即可得到結(jié)果。 （3）結(jié)合圖上信息，符合實際意義即可。 18．（2012山東青島6分）某商場為了吸引顧客，舉行抽獎活動，并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就 可以隨機抽取一張獎券，抽得獎券“紫氣東來”、“化開富貴”、“吉星高照”，就可以分別獲得100元、50元、 20元的購物券，抽得“謝謝惠顧”不贈購物券；如果顧客不愿意抽獎，可以直接獲得購物券10元，小明購 買了100元的商品，他看到商場公布的前10000張獎券的抽獎結(jié)果如下： 獎券種類 紫氣東來 化開富貴 吉星高照 謝謝惠顧 出現(xiàn)張數(shù)(張) 500 1000 2000 6500 (1)求“紫氣東來”獎券出現(xiàn)的頻率； (2)請你幫助小明判斷，抽獎和直接獲得購物券，哪種方式更合算？說明理由． 【答案】解：（1）“紫氣東來”獎券出現(xiàn)的頻率為500 10000 = 5%。 （2）平均每張獎券獲得的購物券金額為 （元） ∵14＞10，∴選擇抽獎更合算。 【考點】頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系，平均數(shù)。 【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系計算即可。 （2）算出每張獎券獲得的購物券金額的平均數(shù)，與10比較即可。 19．（2012山東青島6分）小麗乘坐汽車從青島到黃島奶奶家，她去時經(jīng)過環(huán)灣高速公路，全程約84km， 返回時經(jīng)過跨海大橋，全程約45km．小麗所乘汽車去時的平均速度是返回時的1.2倍，所用時間卻比返回 時多20min．求小麗所乘汽車返回時的平均速度． 【答案】解：設(shè)小麗所乘汽車返回時的平均速度是x千米/時，根據(jù)題意得： ， 解這個方程，得x=75， 經(jīng)檢驗，x=75是原方程的解。 答：小麗所乘汽車返回時的速度是75千米/時。 【考點】分式方程的應(yīng)用（行程問題）。 【分析】設(shè)小麗所乘汽車返回時的平均速度是x千米/時，則去時的速度是1.2x千米/時，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：去時所用的時間-回來時所用的時間=20分鐘，根據(jù)等量關(guān)系可得方程 ，再解方程即可。 20．（2012山東青島8分）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22時， 教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45時，教學(xué)樓頂A在地面上的影 子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一條直線上)． (1)求教學(xué)樓AB的高度； (2)學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))． (參考數(shù)據(jù)：sin22≈，cos22≈，tan22≈) 【答案】解：（1）過點E作EM⊥AB，垂足為M。 設(shè)AB為x． 在Rt△ABF中，∠AFB=45， ∴BF=AB=x?！郆C=BF＋FC=x＋13。 在Rt△AEM中，∠AEM=22，AM=AB－BM=AB－CE=x－2， 又∵，∴，解得：x≈12。 ∴教學(xué)樓的高12m。 （2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。 在Rt△AME中，， ∴AE=ME cos22≈。 ∴A、E之間的距離約為27m。 【考點】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義。 【分析】（1）首先構(gòu)造直角三角形△AEM，利用 ，求出即可。 （2）利用Rt△AME中，，求出AE即可。 21．（2012山東青島8分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于 F，點O既是AC的中點，又是EF的中點． (1)求證：△BOE≌△DOF； (2)若OA＝BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由． 【答案】解：（1）證明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90。 ∵點O是EF的中點，∴OE=OF。 又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）。 （2）四邊形ABCD是矩形。理由如下： ∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。 又∵OA=OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形。 ∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC?！嗥叫兴倪呅蜛BCD是矩形。 【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定。 【分析】（1）根據(jù)垂直可得∠BEO=∠DFO=90，再由點O是EF的中點可得OE=OF，再加上對頂角 ∠DOF=∠BOE，可利用ASA證明△BOE≌△DOF。 （2）根據(jù)△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上條件AO=CO可得四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DB=AC，可根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證出結(jié)論。 22．（2012山東青島10分）在“母親節(jié)”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購進一批許愿瓶進行 銷售，并將所得利潤捐給慈善機構(gòu)．根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量y(個)于銷售單價x(元 /個)之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示． (1)試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式； (2)若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調(diào)查銷售規(guī)律，求利潤w(元)與銷售單價x(元/個)之間的 函數(shù)關(guān)系式； (3)若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試求此時這種許愿瓶的銷售單價，并求出 最大利潤． 23． （2012山東青島10分）問題提出：以n邊形的n個頂點和它內(nèi)部的m個點，共(m＋n)個點作為頂 點，可把原n邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？ 問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形入手： 探究一：以△ABC的3個頂點和它內(nèi)部的1個點P，共4個點為頂點，可把△ABC分割成多少個互 不重疊的小三角形？如圖①，顯然，此時可把△ABC分割成3個互不重疊的小三角形． 探究二：以△ABC的3個頂點和它內(nèi)部的2個點P、Q，共5個點為頂點，可把△ABC分割成多少個 互不重疊的小三角形？ 在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個點Q，那么點Q的位置會有兩種 情況： 一種情況，點Q在圖①分割成的某個小三角形內(nèi)部．不妨設(shè)點Q在△PAC的內(nèi)部，如圖②； 另一種情況，點Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上．不妨設(shè)點Q在PA上，如圖③． 顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個互不重疊的小三角形． 探究三：以△ABC的三個頂點和它內(nèi)部的3個點P、Q、R，共6個點為頂點，可把△ABC分割成 個 互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖． 探究四：以△ABC的三個頂點和它內(nèi)部的m個點，共(m＋3)個點為頂點，可把△ABC分割成 個 互不重疊的小三角形． 探究拓展：以四邊形的4個頂點和它內(nèi)部的m個點，共(m＋4)個點為頂點，可把四邊形分割成 個互不重疊的小三角形． 問題解決：以n邊形的n個頂點和它內(nèi)部的m個點，共(m＋n)個點作為頂點，可把原n邊形分割成 個互不重疊的小三角形． 實際應(yīng)用：以八邊形的8個頂點和它內(nèi)部的2012個點，共2020個頂點，可把八邊形分割成多少個互 不重疊的小三角形？(要求列式計算) 【答案】解：探究三： 7。分割示意圖如下（答案不唯一）： 探究四：三角形內(nèi)部1個點時，共分割成3部分，3=3+2（1－1）， 三角形內(nèi)部2個點時，共分割成5部分，5=3+2（2-1）， 三角形內(nèi)部3個點時，共分割成7部分，7=3+2（3-1）， …， 所以，三角形內(nèi)部有m個點時，共分割成3＋2（m－1）=2m+1部分。 探究拓展：2m＋2。 問題解決： 2m＋n－2。 實際應(yīng)用：把n=8，m=2012代入上述代數(shù)式，得 2m＋n－2=22012＋8－2=4024＋8－2=4030。 【考點】分類歸納（圖形的變化類），作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖）。 【分析】探究三：分三角形內(nèi)部三點共線與不共線兩種情況作出分割示意圖，查出分成的部分即可。 探究四：根據(jù)前三個探究不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)部每增加一個點，分割部分增加2部分，根據(jù)此規(guī)律寫出（m+3）個點分割的部分?jǐn)?shù)即可。 探究拓展：類似于三角形的推理寫出規(guī)律整理即可得解。 問題解決：根據(jù)規(guī)律，把相應(yīng)的點數(shù)換成m、n整理即可得解。 實際應(yīng)用：把公式中的相應(yīng)的字母，換成具體的數(shù)據(jù)，然后計算即可得解。 24．（2012山東青島12分）如圖，在△ABC中，∠C＝90，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB 的中點，連接DE．點P從點D出發(fā)，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿 BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當(dāng)點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設(shè)運動時間為t(0＜t ＜4)s．解答下列問題： (1)當(dāng)t為何值時，PQ⊥AB？ (2)當(dāng)點Q在B、E之間運動時，設(shè)五邊形PQBCD的面積為ycm2，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為 ＝1∶29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由． 【答案】解：（1）如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8， ∴。 ∵點D、E分別是AC、AB的中點， ∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4。 ∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=900。 又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。 ∴△PQE∽△ABC?！唷? 由題意，得PE=4－t，QE=2t－5， ∴，解得。 ∴當(dāng)時，PQ⊥AB。 （2）過點P作PM⊥AB于點M。 由△PME∽△ABC，得， ∴，即。 ∴， 。 ∴。 （3）假設(shè)存在時刻t使＝1∶29，此時，， ∴，即。 解得（舍去）。 當(dāng)時，PM=，ME=，EQ=5－22=1， MQ=ME＋EQ=，。 ∵，∴。 當(dāng)時， PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為＝1∶29，此時點E到PQ的距離h。