高一數(shù)學(xué)《三角函數(shù)與平面向量》精講精練.doc

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第三講 三角函數(shù)與平面向量 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 任意角的概念 弧長公式 角度制與 弧度制 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 誘導(dǎo) 公式 計(jì)算與化簡 證明恒等式 任意角的 三角函數(shù) 三角函數(shù)的 圖像和性質(zhì) 已知三角函數(shù)值求角 圖像和性質(zhì) 和角公式 倍角公式 差角公式 應(yīng)用 應(yīng)用 應(yīng)用 應(yīng)用 應(yīng)用 應(yīng)用 應(yīng)用 第1課 三角函數(shù)的概念 考試注意： 理解任意角的概念、弧度的意義． 能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算． 掌握終邊相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意義．了解余切、正割、余割的定義． 掌握三角函數(shù)的符號(hào)法則． 知識(shí)典例： 1．角α的終邊在第一、三象限的角平分線上，角α的集合可寫成 ． 2．已知角α的余弦線是單位長度的有向線段，那么角α的終邊 ( ) A．在x軸上 B．在y軸上 C．在直線y=x上 D．在直線y=－x上 ． 3．已知角α的終邊過點(diǎn)p(－5，12)，則cosα} ，tanα= ． 4． 的符號(hào)為 ． 5．若cosθtanθ＞0，則θ是 ( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、二象限角 D．第二、三象限角 【講練平臺(tái)】 例1 已知角的終邊上一點(diǎn)P（－ ，m），且sinθ= m，求cosθ與tanθ的值． 分析 已知角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值，應(yīng)聯(lián)想到運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，由P的坐標(biāo)可知，需求出m的值，從而應(yīng)尋求m的方程． 解 由題意知r= ，則sinθ= = ． 又∵sinθ= m， ∴ = m． ∴m=0，m=． 當(dāng)m=0時(shí)，cosθ= －1 ， tanθ=0 ； 當(dāng)m= 時(shí)，cosθ= － ， tanθ= － ； 當(dāng)m= － 時(shí)，cosθ= － ，tanθ= ． 點(diǎn)評(píng) 已知一個(gè)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求其三角函數(shù)值，往往運(yùn)用定義法(三角函數(shù)的定義)解決． 注意運(yùn)用終邊相同的角的表示方法表示有關(guān)象限角等；已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值往往運(yùn)用定義法；注意運(yùn)用三角函數(shù)線解決有關(guān)三角不等式． 1． 已知α是鈍角，那么 是 （ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一與第二象限角 D．不小于直角的正角 2． 角α的終邊過點(diǎn)P（－4k，3k）(k＜0}，則cosα的值是 （ ） A． B． C．－ D．－ 3．已知點(diǎn)P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在［0，2π］內(nèi)，α的取值范圍是 ( ) A．( ， )∪(π， ) B．( ， )∪(π， ) C．( ， )∪(，) D．( ， )∪( ，π) 4．若sinx= － ，cosx = ，則角2x的終邊位置在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若4π＜α＜6π，且α與－ 終邊相同，則α= ． 6． 角α終邊在第三象限，則角2α終邊在 象限． 7．已知｜tanx｜=－tanx，則角x的集合為 ． 8．如果θ是第三象限角，則cos(sinθ)sin(sinθ)的符號(hào)為什么？ 9．已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積． 第2課 同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式 掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin 2α+cos2α=1， =tanα，tanαcotα=1， 掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．能運(yùn)用化歸思想（即將含有較多三角函數(shù)名稱問題化成含有較少三角函數(shù)名稱問題）解題 ． 1．sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是 ( ) A． B． C． D． 2．已知sin(π+α)=－，則 ( ) A．cosα= B．tanα= C．cosα= － D．sin(π－α)= 3．已tanα=3， 的值為 ． 4．化簡= ． 5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于 ( ) A． B．－ C． D．－ 例1 化簡 ． 分析 式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱，若能減少它們的個(gè)數(shù)，則式子可望簡化． 解 原式= = = =1 ． 點(diǎn)評(píng) 將不同角化同角，不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的方法． 例2 若sinθcosθ= ，θ∈( ，)，求cosθ－sinθ的值． 分析 已知式為sinθ、cosθ的二次式，欲求式為sinθ、cosθ的一次式，為了運(yùn)用條件，須將cosθ－sinθ進(jìn)行平方． 解 (cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－ = ． ∵θ∈( ，)，∴ cosθ＜sinθ． ∴cosθ－sinθ= － ． 變式1 條件同例， 求cosθ+sinθ的值． 變式2 已知cosθ－sinθ= － ， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值． 點(diǎn)評(píng) sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者關(guān)系緊密，由其中之一，可求其余之二． 1．在三角式的化簡，求值等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)． 2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos2θ． 3．要注意觀察式子特征，關(guān)于sinθ、cosθ的齊次式可轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanθ的式子． 4．運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可將任意角的問題轉(zhuǎn)化成銳角的問題 ． 1．sin600的值是 （ ） A． B．－ C． D．－ 2． sin(+α)sin（－α）的化簡結(jié)果為 （ ） A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α 3．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，則tanx的值是 （ ） A．－ B．－ C． D．－或－ 4．已知tanα=－，則 = ． 5． 的值為 ． 6．證明 =． 7．已知=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值． 8．已知銳角α、β、γ滿足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值． 第3課 兩角和與兩角差的三角函數(shù)（一） 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運(yùn)用化歸思想（將不同角化成同角等）解題． 1．cos105的值為 （ ） A． B． C． D． 2．對(duì)于任何α、β∈（0，），sin(α+β)與sinα+sinβ的大小關(guān)系是 （ ） A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具體值而定 3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，則sinθ+cosθ等于 （ ） A． B．－ C． D． 4．已知tanα=，tanβ=，則cot(α+2β)= ． 5．已知tanx=，則cos2x= ． 例1 已知sinα－sinβ=－ ，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值 ． 分析 由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊是關(guān)于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知條件是關(guān)于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以將已知式兩邊平方． 解 ∵sinα－sinβ=－， ① cosα－cosβ= ， ② ①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= ． ∴cos(α－β)= ． 點(diǎn)評(píng) 審題中要善于尋找已知和欲求的差異，設(shè)法消除差異． 例2 已知：sin(α+β)=－2sinβ．求證：tanα=3tan(α+β)． 分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要設(shè)法將已知式中的角轉(zhuǎn)化成欲求式中的角． 解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α， ∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］． ∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα． 若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，則3tan(α+β)=tanα． 點(diǎn)評(píng) 審題中要仔細(xì)分析角與角之間的關(guān)系，善于運(yùn)用整體思想解題，此題中將α+β看成一個(gè)整體 1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，則sinβ等于 （ ） A．0 B．0或 C． D．0或－ 2． 的值等于 （ ） A．2+ B． C．2－ D． 3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為 （ ） A． B． C． 或 D． 或 4．若α是銳角，且sin(α－)= ，則cosα的值是 ． 5．coscoscos = ． 6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45． 7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2π），求cos2α、cos2β的值． 8． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求． 第四課 平面向量基本概念 一、1.向量是既有 又有 的量。 ①幾何表示：有向線段 ②符號(hào)表示：用有向線段的記法表示 4.向量的模是指向量的 ，向量的模記為 。 5.零向量與單位向量 ①模為 的向量叫零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的，記作： 。 ②模為 的向量叫單位向量，（有　　　　　個(gè)單位向量） 6.向量間關(guān)系 ①相等向量：是指方向 且模 的向量，所有相等的非零向量都可用同一條 有向線段表示而與起點(diǎn)無關(guān)，向量與 相等記為 。 ②自由向量：數(shù)學(xué)中的向量只有兩要素 、 ，它可以平移到以空間任意 一點(diǎn)為起點(diǎn)而向量不變，本章研究平面自由向量。 ③平行向量：也稱共線向量，是指方向 或 的非零向量 （平行向量可以平移到同一條直線上，故稱共線向量）(零向量與任意向量平行) 二、①設(shè)=，=，則叫做 的和，記作 。 ②+ =+ = ③向量加法運(yùn)算的交換律： ， 結(jié)合律： . ④求作兩個(gè)向量和的方法有 法則和 法則. 三、①與向量 的向量，叫做的相反向量，記作 ， 零向量的相反向量是 。 ②-（-）= ，+（-）= 。 B A O ③若、是相反向量，則= ，= ，+= 。 ④向量加上的相反向量，叫做 ， 既：-= 。 ⑤=，=，則= 。 四、 1.實(shí)數(shù)λ與向量的積還是一個(gè) ，記作 ； 2.λ的長度與方向規(guī)定如下（λ∈R） ①|(zhì)λ|= ， ②當(dāng)λ＞0時(shí)，λ的方向與的方向 ，當(dāng)λ＜0時(shí)，λ的方向與的方向 ； ③0= , λ= ； 3. 實(shí)數(shù)與向量的積滿足結(jié)合律與分配律，設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則 ①λ(μ)=(λμ)；②(λ+μ)= ；③λ(+)= . 4.向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得= . 五、向量、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量, 為這個(gè)平面內(nèi)任一向量,則向量，可用、表示為= ，其中 ， 為惟一存在的一組實(shí)數(shù)； 另外不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的其中一組 。 ①在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位 向量 、作為基底.對(duì)平面內(nèi)任意一個(gè)向量，有且只有 一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得= （向量的分量表示） 記作=（ ， ）（向量的坐標(biāo)表示），其中x叫做的 坐標(biāo) ，y叫做的 坐標(biāo)， ②向量、、的坐標(biāo)表示分別是=（ ， ），=（ ， ），=（ ， ） ③若=(x,y),那么與相等的向量的坐標(biāo)為 　 ④若=(x１,y1),=(x2,y2),則＋＝　　　　　，－＝　　　　　，λ＝　　　　. ⑤若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x１,y1), (x2,y2)，那么的坐標(biāo)為 . 六、若向量∥，則∥（≠）的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)λ，使 ① ②若=(x1,y1),=(x2,y2),且（≠）則∥的充要條件是 七、 ①設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使 ， λ叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，點(diǎn)P是有向線段的分點(diǎn)。 設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)且=λ（λ≠-1）；則x= ，y= . 若點(diǎn)P在線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，x= ，y= . 八、1．.平面向量的數(shù)量積的定義及幾何意義 ①向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量和，作=，=，則∠AOB=θ（0≤θ≤π） 叫做向量與的夾角。⊥θ= , ∥θ= . ②平面向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為θ，則數(shù)量 ||||cosθ叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積、點(diǎn)乘），記為：= . 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 . ③的幾何意義： 數(shù)量積等于的長度||與在的方向上投影||cosθ的乘積. 第五課 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 一、復(fù)習(xí)引入： 1．兩個(gè)非零向量夾角的概念 已知非零向量與，作＝，＝，則∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角. 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cosq叫與的數(shù)量積，記作，即有 = ||||cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積等于的長度與在方向上投影||cosq的乘積 4．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量 1 = =||cosq；2^ = 0 3當(dāng)與同向時(shí)， = ||||；當(dāng)與反向時(shí)， = -|||| 特別的 = ||2或 4cosq = ；5|| ≤ |||| 5． 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律： = 數(shù)乘結(jié)合律：() =() = () 分配律：( + ) = + 二、講解新課： ⒈平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 已知兩個(gè)非零向量，，試用和的坐標(biāo)表示 設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么 ， 所以 又，， 所以 這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和 即 2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 （1）設(shè)，則或 （2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) 3.向量垂直的判定 設(shè)，，則 4.兩向量夾角的余弦（） cosq = 三、講解范例： 例1 設(shè) = (5, -7)， = (-6, -4)，求 解： = 5(-6) + (-7)(-4) = -30 + 28 = -2 例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(-2, 5)，求證：△ABC是直角三角形 證明：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴=1(-3) + 13 = 0 ∴^ ∴△ABC是直角三角形 例3 已知 = (3, -1)， = (1, 2)，求滿足 = 9與 = -4的向量 解：設(shè)= (t, s)， 由 ∴= (2, -3) 例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），則與的夾角是多少? 分析：為求與夾角，需先求及｜｜｜｜，再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值. 解：由＝（１，），＝（＋１，－１） 有＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２． 記與的夾角為θ，則cosθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 評(píng)述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定. 例5 如圖，以原點(diǎn)和A (5, 2)為頂點(diǎn)作等腰直角△ABC，使 = 90，求點(diǎn)和向量的坐標(biāo) 解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)，則= (x, y)，= (x-5, y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴點(diǎn)坐標(biāo)或；=或 例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求k值 解：當(dāng) = 90時(shí)，= 0，∴21 +3k = 0 ∴k = 當(dāng) = 90時(shí)，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3) ∴2(-1) +3(k-3) = 0 ∴k = 當(dāng)C= 90時(shí)，= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 四、課堂練習(xí)： 1.若=(-4,3),=(5,6),則3||２－４＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，則△為（ ）  A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形 3.已知=(4,3),向量是垂直的單位向量，則等于（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.=(2,3),=(-2,4),則(+)(-)= . 5.已知(3，2)，(-1，-1)，若點(diǎn)P(x,-)在線段的中垂線上，則x= . 6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,則與的夾角為 . 六、課后作業(yè)： 1.已知=(2,3),=(-4,7),則在方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 2.已知=(λ，２)，=(-3,5)且與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（ ）  A.λ＞ B.λ≥ C.λ＜ D.λ≤ 3.給定兩個(gè)向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),則x等于（ ）  A.23  B. C. D.  4.已知||=,=(1,2)且∥,則的坐標(biāo)為 . 5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，則＝ . 6.已知=(3,0),=(k,5)且與的夾角為，則k的值為 . 7.已知=(3,-1),=(1,2),求滿足條件x=9與x=-4的向量x. 8.已知點(diǎn)A (1，2)和B (4，-1)，問能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使∠ABC＝90，若不能，說明理由；若能，求C點(diǎn)坐標(biāo). 9.四邊形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3), (1)若∥，求x與y間的關(guān)系式； (2)滿足(1)問的同時(shí)又有⊥,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.  第六課 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 一、基本概念： 1．兩個(gè)非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角 C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0 3．“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|b| 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積 5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量 1ea = ae =|a|cosq；2a^b ab = 0 3當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = -|a||b| 特別的aa = |a|2或 4cosq = ；5|ab| ≤ |a||b| 7．判斷下列各題正確與否： 1若a = 0，則對(duì)任一向量b，有ab = 0 ( √ ) 2若a 0，則對(duì)任一非零向量b，有ab 0 ( ) 3若a 0，ab = 0，則b = 0 ( ) 4若ab = 0，則a 、b至少有一個(gè)為零 ( ) 5若a 0，ab = ac，則b = c ( ) 6若ab = ac，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)成立 ( ) 7對(duì)任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc) ( ) 8對(duì)任意向量a，有a2 = |a|2 ( √ ) 二、：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a b = b a 證：設(shè)a，b夾角為q，則a b = |a||b|cosq，b a = |b||a|cosq ∴a b = b a 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b) 證：若> 0，(a)b =|a||b|cosq， (ab) =|a||b|cosq，a(b) =|a||b|cosq， 若< 0，(a)b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq， (ab) =|a||b|cosq， a(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq 3．分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a, = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和， 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc 說明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс） （2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ 三、講解范例： 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2 設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = ∴q = 60 例2 求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和 解：如圖：ABCD中，，，= ∴||2= 而= ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，試問四邊形ABCD是什么圖形? 分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量 解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋? 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0， ∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２ 即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２ 由于ａｂ＝сｄ， ∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２② 由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等 ∴四邊形ABCD是平行四邊形 另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０ 即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC 綜上所述，四邊形ABCD是矩形 評(píng)述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用； (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系 四、課堂練習(xí)： 1下列敘述不正確的是（ ） A向量的數(shù)量積滿足交換律 B向量的數(shù)量積滿足分配律 C向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 Dab是一個(gè)實(shí)數(shù) 2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為６０，則(a+2b)(a-3b)等于（ ） A72 B-72 C36 D-36 3|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（ ） A平行 B垂直 C夾角為 D不平行也不垂直 4已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150，則(a+b)２＝ 5已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,則|a+b|=______,|a-b|= 6設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+λb與a－λb垂直，則λ＝ 參考答案：1C 2B 3B 4２ ５－１+2 5 6 五、課后作業(yè) 1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ） A60 B30 C135 D４５ 2已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ） A2 B2 C6 D12 3已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ） A充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 4已知向量a、b的夾角為，|a|=2,|b|=1,則|a+b||a-b|= 5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= 6已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)２＝______ 7已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求ab;(2)若a、b的夾角為６０，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角 8設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為６０，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角 9對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，求使|a+tb|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角 參考答案：1D 2B 3C 4 5 –63 6 11 7(1)- (2) (3)45 8 120 9 90