《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計.doc

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《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計 （教師用） 成都市洛帶中學(xué) 劉德軍 一、教材分析 學(xué)習(xí)了“曲線與方程”之后，作為一般曲線典型例子，安排了本節(jié)的“圓的方程”。圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識，本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，進一步運用解析法研究它的方程，它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用 同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ) 也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應(yīng)用。 二、學(xué)情分析 學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中已初步了解了圓的有關(guān)知識，本節(jié)將在上章學(xué)習(xí)了曲線與方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，了解空間直角坐標(biāo)系，在這個過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。 三、教學(xué)目標(biāo) (一)知識與技能目標(biāo) （1）會推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （2）能運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑。 （3）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 (二)過程與方法目標(biāo) （1）體會數(shù)形結(jié)合思想，初步形成代數(shù)方法處理幾何問題能力。 （2）能根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 (三)情感與態(tài)度目標(biāo) 圓是基于初中的知識，同時又是初中的知識的加深，使學(xué)生懂得知識的連續(xù)性；圓在生活中很常見，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，說明理論既來源于實踐，又服務(wù)于實踐，可以適時進行辯證唯物主義思想教育． 四、重點、難點、疑點及解決辦法 1、重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓標(biāo)準(zhǔn)方程特征的理解與掌握。 2、難點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。 3、解決辦法：充分利用課本提供的2個例題，通過例題的解決使學(xué)生初步熟悉圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的用途和用法。 五、教學(xué)過程 首先通過課件展示生活中的圓，那么我們今天從另一個角度來研究圓。 (一)復(fù)習(xí)提問 在初中，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來回答？ 問題1：具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？ 平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓(教師在課件上畫圓)． 問題2：圖哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？ 圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大?。? 問題3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為： (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點M的坐標(biāo)，簡稱建系設(shè)點；（如圖） (2)寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)|}，簡稱寫點集； (3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0，簡稱列方程； (4)化方程f(x，y)=0為最簡形式，簡稱化簡方程； (5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明． 其中步驟(1)(3)(4)必不可少． 下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (二)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1．建系設(shè)點 由學(xué)生在黑板上板演，并問有無不同建立坐標(biāo)系的方法．教師指出：這兩種建立坐標(biāo)系的方法都對，原點在圓心這是特殊情況，現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo)．因為C是定點，可設(shè)C(a，b)、半徑r，且設(shè)圓上任一點M坐標(biāo)為(x，y)． 2．寫點集 根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程 由兩點間的距離公式得： 4．化簡方程 將上式兩邊平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1) 方程(1)就是圓心是C(a，b)、半徑是r的圓的方程．我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 這時，請大家思考下面一個問題． 問題4：圓的方程形式有什么特點？當(dāng)圓心在原點時，圓的方程是什么？ 這是二元二次方程，展開后沒有xy項，括號內(nèi)變數(shù)x，y的系數(shù)都是1．點(a，b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑．當(dāng)圓心在原點即C(0，0)時，方程為 x2+y2=r2． 教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個量確定了且r＞0，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件．注意，確定a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決． (三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 學(xué)生練習(xí)一： 1說出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8； (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0） 教師指出：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑． 2、(1)圓心是（3，－3），半徑是2的圓是_________________. （2）以（3，4）為圓心，且過點（0，0）的圓的方程為（ ） A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25 教師糾錯，分別給出正確答案：2、 (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D. 指出：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例1求滿足下列條件各圓的方程： （1） 求以C(1,3)為圓心，并且和直線相切的圓的方程 （2） 圓心在x軸上，半徑為5且過點（2，3）的圓。 解：（1）已知圓心坐標(biāo)C(1,3)，故只要求出圓的半徑，就能寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 因為圓C和直線相切，所以半徑就等于圓心C到這條直線的距離 根據(jù)點到直線的距離公式，得 因此，所求的圓的方程是 （2）設(shè)圓心在x軸上半徑為5的圓的方程為(x-a)2+y2=25 ∵點A（2，3）在圓上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圓的方程為(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 這時，教師小結(jié)本題：求圓的方程的方法 (1)定義法 (2) 待定系數(shù)法，確定a，b，r； 學(xué)生練習(xí)二： 1、 以C（3，-5）為圓心，且和直線3x-7y+2=0相切的圓的方程_________________________. 教師糾錯，分別給出正確答案：(x－3)2+(y+5)2=32。 例2已知圓的方程，求經(jīng)過圓上一點的切線方程 解：如圖，設(shè)切線的斜率為，半徑OM的斜率為 因為圓的切線垂直于過切點的半徑，于是 ∵ ∴ (讓學(xué)生注意斜率不存在時和為0的情況) 經(jīng)過點M的切線方程是 ， 整理得 因為點在圓上，所以，所求切線方程是 法二：勾股定理 法三：向量 變式一：已知圓的方程為x2+y2= 1，求過點(2,2)的切線方程。 變式二：已知圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1 ，求過點(2,2)的切線方程。 學(xué)生練習(xí)三： 1.已知圓求： （1）過點A（4，-3）的切線方程是_________________. （2）過點B（-5，2）的切線方程是_________________ 教師糾錯，分別給出正確答案：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0 (四)本課小結(jié) 1．圓的方程的推導(dǎo)步驟； 2．圓的方程的特點：點(a，b)、r分別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑； 3．求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法；(2)定義法． 4. 數(shù)型結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 5. 過定點求圓切線方程. （五）、布置作業(yè) 習(xí)題7.6 1，2，3 （六）、板書設(shè)計 7.6圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一、 建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1、 圓的方程的推導(dǎo) (x-a)2+(y-b)2=r2 2、 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點: 圓心（a,b）定位，r定型 二． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 例1 例2 學(xué)生練習(xí) 六、教學(xué)反思： 為了激發(fā)學(xué)生的主體意識，教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造，同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”教學(xué)模式進行教學(xué)設(shè)計 所謂“引導(dǎo)探究”是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為若干問題，從而引導(dǎo)學(xué)生進行探究的課堂教學(xué)模式，教師在教學(xué)過程中，主要著眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機的結(jié)合起來。教師的每項教學(xué)措施，都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情景，一種動腦、動手、動口并主動參與的學(xué)習(xí)機會，激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使學(xué)生解決問題 其基本教學(xué)模式是： 復(fù)習(xí) 舊知 以舊 悟新 提出 問題 嘗試 探究 例題 示范 探求 方法 反饋 練習(xí) 學(xué)會 應(yīng)用 點評 矯正 總結(jié) 交流 《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》學(xué)案（學(xué)生用） 課堂練習(xí) 1、說出下列圓的圓心和半徑： (1)(x-3)2+(y-2)2=5；圓心_______,半徑________. (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；圓心_______,半徑________. (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）圓心_______,半徑________. 2、(1)圓心是（3，4），半徑是2的圓是_________________. （2）以（3，4）為圓心，且過點（0，0）的圓的方程為（ ） A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25 3．以C（3，-5）為圓心，且和直線3x-7y+2=0相切的圓的方程_________________________. 4.已知圓求： （1）過點A（4，-3）的切線方程是_________________. （2）過點B（-5，2）的切線方程是_________________ 考題在線（思考題） 1、（2007湖南理）圓心為且與直線相切的圓的方程是 ． 2、（2006杭州期末）求與直線y=x相切，圓心在直線y=3x上，且過點（，）的圓。 3、（2007湖北文）由直線上的一點向圓引切線，則切線長的最小值為（ ） A．1 B． C． D． 4、已知點在圓內(nèi)，則與圓的位置關(guān)系是_____________. 《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》（課堂實錄） 成都市洛帶中學(xué) 劉德軍 師：讓我們來看一下生活中常見的一些事物（通過課件展示生活中的圓），這些都是什么圖形？ 生：圓。 師：對，遠在我們生活中很常見，也代表著很美的東西，完美無缺，十全十美，都是指的圓，圓是很美的曲線，那么我們今天從另一個角度來研究圓。 (一)復(fù)習(xí)提問 師：在初中，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來回答？ 生：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓. 師：這是高中的概念。（教師在課件上畫圓)改變半徑大小，和圓心的位置，圓發(fā)生了變化，這說明了什么？ 生：半徑?jīng)Q定大小，圓心決定位置。 師：對：圖哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？ 生：圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小。 師：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 生:求曲線方程的一般步驟為： (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點M的坐標(biāo)，簡稱建系設(shè)點；（如圖） (2)寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)|}，簡稱寫點集； (3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0，簡稱列方程； (4)化方程f(x，y)=0為最簡形式，簡稱化簡方程； (5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明． 其中步驟(1)(3)(4)必不可少． 師：下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（請一位同學(xué)板演） 生：因為C是定點，可設(shè)C(a，b)、半徑r，且設(shè)圓上任一點M坐標(biāo)為(x，y)． 根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MC|=r}． 由兩點間的距離公式得： 將上式兩邊平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1) 方程(1)就是圓心是C(a，b)、半徑是r的圓的方程．我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 師：非常好，有無不同建立坐標(biāo)系的方法． 生：有，圓心為坐標(biāo)原點。 師：這兩種建立坐標(biāo)系的方法都對，原點在圓心這是特殊情況，我們主要研究一般情況．請大家思考下面一個問題．圓的方程形式有什么特點？當(dāng)圓心在原點時，圓的方程是什么？ 生：這是二元二次方程，展開后沒有xy項，括號內(nèi)變數(shù)x，y的系數(shù)都是1．點(a，b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑．當(dāng)圓心在原點即C(0，0)時，方程為 x2+y2=r2． 師：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個量確定了且r＞0，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件．注意，確定a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決．那么下面來做一下練習(xí)。 1說出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8； (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0） 師：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑． 2、(1)圓心是（3，－3），半徑是2的圓是_________________. （2）以（3，4）為圓心，且過點（0，0）的圓的方程為（ ） A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25 生： (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D. 師：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．那么我們再來看一下這一道題 例1求滿足下列條件各圓的方程： （3） 求以C(1,3)為圓心，并且和直線相切的圓的方程 （4） 圓心在x軸上，半徑為5且過點（2，3）的圓。 師：如果要求一個圓，你要找些生么？ 生：圓心和半徑。 師：但是（2）中能不能直接找到圓心？ 生：不能。 是：那用什么方法呢？ 生：待定系數(shù)法。 師：非常好，下面同學(xué)們自己算一算。 生（板演）：解：（1）已知圓心坐標(biāo)C(1,3)，故只要求出圓的半徑，就能寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 因為圓C和直線相切，所以半徑就等于圓心C到這條直線的距離 根據(jù)點到直線的距離公式，得 因此，所求的圓的方程是 （2）設(shè)圓心在x軸上半徑為5的圓的方程為(x-a)2+y2=25 ∵點A（2，3）在圓上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圓的方程為(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 師：求圓的方程的方法 (1)定義法 (2) 待定系數(shù)法，要確定a，b，r； 我們來做做練習(xí)。 2、 以C（3，-5）為圓心，且和直線3x-7y+2=0相切的圓的方程_________________________. 生：(x－3)2+(y+5)2=32。 師：上一題，我們是知道圓的切線，求圓的方程，那我能不能把原來的結(jié)論和條件互換一下，知道圓，秋切線方程？下面我們來看一下例2 例2已知圓的方程，求經(jīng)過圓上一點的切線方程 師：該怎么做呢？ 生：知道點M,找斜率。 師：還應(yīng)該注意些什么？ 生：斜率不存在時。 師：為了避免這些，我們可不可以用其他的方法來做。 生思考后：勾股定理，向量。 師：（把學(xué)生分成三組分別用三種方法做）最后得出： 師：這個點是在圓上，如果是在圓外又該怎么做呢？（提示學(xué)生用待定系數(shù)法） 變式一：已知圓的方程為x2+y2= 1，求過點(2,2)的切線方程。 變式二：已知圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1 ，求過點(2,2)的切線方程。 師：同學(xué)們來做一下練習(xí) 1.已知圓求： （1）過點A（4，-3）的切線方程是_________________. （2）過點B（-5，2）的切線方程是_________________ 生：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0 師：我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了些什么呢？ 生： 1．圓的方程的推導(dǎo)步驟； 2．圓的方程的特點：點(a，b)、r分別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑； 3．求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法；(2)定義法． 4. 數(shù)型結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 5. 過定點求圓切線方程.