《初二數學動點問題》專題分析報告

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1、可編輯版 初二數學"動點問題"分析 所謂"動點型問題"是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數學知識解決問題. 關鍵:動中求靜. 數學思想：分類思想 函數思想 方程思想 數形結合思想 轉化思想 注重對幾何圖形運動變化能力的考查。 從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖像等圖形,通過"對稱、動點的運動"等研究手段和方法,來探索與發(fā)現圖形性質及圖形變化,在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形,讓學生經歷探索的過程,以能力立意,考查學生的自主探究能力,促進培養(yǎng)學生解決問題

2、的能力．圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況,需要理解圖形在不同位置的情況,才能做好計算推理的過程。 在變化中找到不變的性質是解決數學"動點"探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數學問題中最核心的數學本質。 課改后數學卷中的數學壓軸性題正逐步轉向數形結合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向發(fā)展．這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新,目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力,內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等．從數學思想的層面上講：〔1運動觀點；〔2方程思想；〔3數形結合思想；〔4分類思想；〔5轉化思想等． 一、建立動點問題的函數解析式 函數揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數

3、學的重要內容.動點問題反映的是一種函數思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,這種變化關系就是動點問題中的函數關系.那么,我們怎樣建立這種函數解析式呢? 1.應用勾股定理建立函數解析式。 2.應用比例式建立函數解析式。 3.應用求圖形面積的方法建立函數關系式。 二、動態(tài)幾何型壓軸題 動態(tài)幾何特點----問題背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中,特別要關注圖形的特性〔特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。動點問題一直是中考熱點,近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四

4、邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值。 〔一以動態(tài)幾何為主線的壓軸題。 1.點動問題。 2.線動問題。3.面動問題。 〔二解決動態(tài)幾何問題的常見方法有: 1.特殊探路,一般推證。2.動手實踐,操作確認。3.建立聯系,計算說明。 〔三本大類習題的共性： 1．代數、幾何的高度綜合〔數形結合；著力于數學本質及核心內容的考查;四大數學思想：數學結合、分類討論、方程、函數． 2．以形為載體,研究數量關系；通過設、表、列獲得函數關系式；研究特殊情況下的函數值。 三、雙動點問題 點動、線動、形動構成的問題稱之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體,運動變化為主線,集多個知

5、識點為一體,集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強,能力要求高,它能全面的考查學生的實踐操作能力,空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為中考試題的熱點, 1.以雙動點為載體,探求函數圖象問題。 2.以雙動點為載體,探求結論開放性問題。 3.以雙動點為載體,探求存在性問題。 4.以雙動點為載體,探求函數最值問題。 雙動點問題的動態(tài)問題是近幾年來中考數學的熱點題型.這類試題信息量大,對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系,

6、動中取靜,靜中求動。 四：函數中因動點產生的相似三角形問題 五：以圓為載體的動點問題 動點問題是初中數學的一個難點,中考經?？疾?有一類動點問題,題中未說到圓,卻與圓有關,只要巧妙地構造圓,以圓為載體,利用圓的有關性質,問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙,耐人尋味。 例1.如圖,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,點E從點D出發(fā),沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動,同時點F從點C出發(fā),沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動,當B,E,F三點共線時,兩點同時停止運動．設點E移動的時間為t〔秒． 〔1求當t為何值時,兩點同時停止運動； A B C

7、 D E F O 〔2設四邊形BCFE的面積為S,求S與t之間的函數關系式,并寫出t的取值范圍； 〔3求當t為何值時,以E,F,C三點為頂點的三角形是等腰三角形； 〔4求當t為何值時,∠BEC=∠BFC． 例2. 正方形邊長為4,、分別是、上的兩個動點,當點在上運動時,保持和垂直, 〔1證明：； D M A B C N 〔2設,梯形的面積為,求與之間的函數關系式；當點運動到什么位置時,四邊形面積最大,并求出最大面積； 〔3當點運動到什么位置時,求此時的值． A D C B M N 例3.如圖,在梯形ABCD中,動點從點出發(fā)沿線段BC以每秒

8、2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設運動的時間為秒． 〔1求的長。 〔2當時,求的值． 〔3試探究：為何值時,為等腰三角形． y A O M Q P B x 例4.如圖,在Rt△AOB中,∠AOB＝90°,OA＝3cm,OB＝4cm,以點O為坐標原點建立坐標系,設P、Q分別為AB、OB邊上的動點它們同時分別從點A、O向B點勻速運動,速度均為1cm/秒,設P、Q移動時間為t〔0≤t≤4 〔1求AB的長,過點P做PM⊥OA于M,求出P點的坐標〔用t表示 〔2求△OPQ面積S〔cm2,與運動時間t〔秒之間的函數關

9、系式,當t為何值時,S有最大值？最大是多少？ 〔3當t為何值時,△OPQ為直角三角形？ 〔4若點P運動速度不變,改變Q 的運動速度,使△OPQ為正三角形,求Q點運動的速度和此時t的值. 動點問題專項訓練 1．如圖,在矩形中,AB=2,,動點P從點B出發(fā),沿路線作勻速運動,那么的面積S與點P運動的路程之間的函數圖象大致是〔 D C P B A O 3 1 1 3 S x A． O 1 1 3 S x O 3 S x 3 O 1 1 3 S x B． C． D． 2 2．如圖a,在直角梯形ABCD中,

10、動點P從點B出發(fā),沿BC,CD運動至點D停止．設點P運動的路程為,△ABP的面積為y,如果y關于x的函數圖象如圖b所示,則△BCD的面積是〔 A．3 B．4 C．5 D．6 圖a 2 O 5 x A B C P D 圖b 3．如圖,△ABC和的△DEF是等腰直角三角形,∠C=∠F=90°,AB=2.DE=4．點B與點D重合,點A,B,E在同一條直線上,將△ABC沿方向平移,至點A與點E重合時停止．設點B,D之間的距離為x,△ABC與△DEF重疊部分的面積為y,則準確反映y與x之間對應關系的圖象是〔 　 G D C E F

11、A B b a 〔第4題圖 4．如圖,點G、D、C在直線a上,點E、F、A、B在直線b上,若從如圖所示的位置出發(fā),沿直線b向右勻速運動,直到EG與BC重合．運動過程中與矩形重合部分的面積〔S隨時間〔t變化的圖象大致是〔 s t O A s t O B C s t O D s t O 5如圖,平面直角坐標系中,在邊長為1的正方形的邊上有一動點 沿運動一周,則的縱坐標與點走過的路程之間的函數關系用圖象 表示大致是〔 1 2 3 4 1 2 y s O 1 2 3 4 1 2 y s

12、 O s 1 2 3 4 1 2 y s O 1 2 3 4 1 2 y O A B C D 6．如圖1,在矩形ABCD中,動點P從點B出發(fā),沿BC、CD、DA運動至點A停止,設點P運動的路程為,△ABP的面積為y,如果y關于的函數圖象如圖2所示,則矩形ABCD的面積是< > A．10 8．16 C. 20 D．36 7．如圖,三個大小相同的正方形拼成六邊形,一動點從點出發(fā)沿著→→→→方向勻速運動,最后到達點.運動過程中的面積〔隨時間〔t變化的圖象大致是〔 A．。 B D

13、 C 〔第7題圖 . . . · 8．如圖,點A、B、C、D為圓O的四等分點,動點P從圓心O出發(fā),沿O-C-D-O的路線作勻速運動.設運動時間為秒, ∠APB的度數為y度,則下列圖象中表示y與t之間函數關系最恰當的是< > 9． 一張正方形的紙片,剪去兩個一樣的小矩形得到一個"E"圖案,如圖4所示,設小矩形的長和寬分別為x、y,剪去部分的面積為20,若2≤x≤10,則y與x的函數圖象是〔 10．如圖,AB是半圓O的直徑,點P從點O出發(fā),沿的路徑運動一周．設為,運動時間為,則下列圖形能大致地刻畫與之間關系的是〔

14、 P A O B s t O s O t O s t O s t A． B． C． D． 11.銳角△ABC中,BC＝6,S△ABC=12兩動點M、N分別在邊AB、AC上滑動,且MN∥BC,以MN為邊向下作正方形MPQN,設其邊長為x,正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y〔y ＞0,當x ＝ ,公共部分面積y最大,y最大值 ＝ , 12.如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點,由A向C運動〔與A、C不重合,Q是CB延長線上一點,與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動〔Q不與B重合,過P作PE⊥AB于E,連接

15、PQ交AB于D． 〔1當∠BQD=30°時,求AP的長； 〔2當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變,求出線段ED的長；如果變化請說明理由． 13.如圖,已知雙曲線,經過點D〔6,1,點C是雙曲線第三象限上的動點,過C作CA⊥x軸,過D作DB⊥y軸,垂足分別為A,B,連接AB,BC． 〔1求k的值； 〔2若△BCD的面積為12,求直線CD的解析式； 〔3判斷AB與CD的位置關系,并說明理由． 14、如圖,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=6,C為OB上一點,射線CD⊥OB交AB于點D,OC=2．點P從點A出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿AB方向運動,點Q從點C出發(fā)以

16、每秒2個單位長度的速度沿CD方向運動,P、Q兩點同時出發(fā),當點P到達到點B時停止運動,點Q也隨之停止．過點P作PE⊥OA于點E,PF⊥OB于點F,得到矩形PEOF．以點Q為直角頂點向下作等腰直角三角形QMN,斜邊MN∥OB,且MN=QC．設運動時間為t〔單位：秒． 〔1求t=1時FC的長度． 〔2求MN=PF時t的值． 〔3當△QMN和矩形PEOF有重疊部分時,求重疊〔陰影部分圖形面積S與t的函數關系式． 〔4直接寫出△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點時t的值． 15．如圖：直線y=﹣x+18分別與x軸、y軸交于A、B兩點；直線y=2x分別與AB交于C點,與過點A且平行于y軸的直線交于D點．點E從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動,過點E作x軸的垂線,分別交直線AB、OD于P、Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN,設正方形PQMN與△ACD重疊部分〔陰影部分的面積為S〔平方單位,點E的運動時間為t〔秒． 〔1當0＜t＜12時,求S與t之間的函數關系式； 〔2求〔1中S的最大值； 〔3當t＞0時,若點〔10,10落在正方形PQMN的內部,求t的取值范圍． 4 / 4