（江蘇專版）2020年中考數(shù)學復習 第四單元 三角形 課時訓練19 等腰三角形

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1、 課時訓練(十九)　等腰三角形 (限時:40分鐘) |夯實基礎| 1.如圖K19-1,△ABC中,D為AB上一點,E為BC上一點,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,則∠CDE的度數(shù)為 (　　) 圖K19-1 A.50° B.51° C.51.5° D.52.5° 2.[2017·雅安]一個等腰三角形的底邊長是6,腰長是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周長是 (　　) A.12 B.13 C.14 D.12或14 3.[2018·淄博]如圖K19-2,在Rt△ABC中,CM平分∠A

2、CB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為 (　　) 圖K19-2 A.4 B.6 C.43 D.8 4.[2017·天津]如圖K19-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線,P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于BP+EP最小值的是 (　　) 圖K19-3 A.BC B.CE C.AD D.AC 5.[2016·無錫]如圖K19-4,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△A1B1

3、C,當A1落在AB邊上時,連接B1B,取BB1的中點D,連接A1D,則A1D的長度是 ( ) 圖K19-4 A.7 B.22 C.3 D.23 6.[2018·臨沂]如圖K19-5,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分別是點D,E.AD=3,BE=1.則DE的長是 (　　) 圖K19-5 A.32 B.2 C.22 D.10 7.[2019·常德] 如圖K19-6,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,點D在AC邊上,將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD',且點D'

4、,D,B三點在同一直線上,則∠ABD的度數(shù)是　　　　.? 圖K19-6 8.[2019·東營] 如圖K19-7,在平面直角坐標系中,△ACE是以菱形ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形,AC=2,點C與點E關于x軸對稱,則點D的坐標是　　　　.? 圖K19-7 9.[2016·泰州]如圖K19-8,已知直線l1∥l2,將等邊三角形如圖放置,若∠α=40°,則∠β等于　　　　.? 圖K19-8 10.[2018·遵義]如圖K19-9,△ABC中,點D在BC邊上,BD=AD=AC,E為CD的中點,若∠CAE=16°,則∠B 為　　　　度.? 圖K19-9 11.[

5、2019·眉山]如圖K19-10,在四邊形ABCD中,AB∥DC,點E是CD的中點,AE=BE. 求證:∠D=∠C. 圖K19-10 12.[2018·寧波]如圖K19-11,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A,B不重合),連接CD,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE交BC于點F,連接BE. (1)求證:△ACD≌△BCE; (2)當AD=BF時,求∠BEF的度數(shù). 圖K19-11 13.[2019·重慶B卷]如圖K19-12,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D. (1)若∠C

6、=42°,求∠BAD的度數(shù); (2)若點E在邊AB上,EF∥AC交AD的延長線于點F,求證:AE=FE. 圖K19-12 |拓展提升| 14.[2018·綿陽]如圖K19-13,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上,若AE=2,AD=6,則兩個三角形重疊部分的面積為 (　　) 圖K19-13 A.2 B.3-2 C.3-1 D.3-3 15.[2017·連云港]如圖K19-14,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE,連接BE,CD,交

7、于點F. (1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關系,并說明理由; (2)求證:過點A,F的直線垂直平分線段BC. 圖K19-14 【參考答案】 1.D　[解析]∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°, ∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED. ∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°, ∴∠B=25°. ∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°, ∴∠BDE=∠BED=12(180°-25°)=77.5°, ∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°,故選D.

8、 2.C　[解析]一元二次方程x2-7x+12=0的兩根分別為3,4,所以腰長有兩種情況:①腰長為3,底邊長為6,此時三角形三邊關系為3+3=6,不符合“三角形任意兩邊之和大于第三邊”,故不成立;②腰長為4,此時三角形三邊符合“三角形任意兩邊之和大于第三邊”,所以周長為4+4+6=14. 3.B　[解析]∵MN∥BC, ∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB, ∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=12∠ACB, ∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC, ∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC, ∴∠AMN=12∠ACB=12∠ANM, ∵∠A=90°,∴∠A

9、MN=30°, ∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3, ∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6, 故選B. 4.B　[解析]由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根據(jù)“等腰三角形的三線合一”可知點B與點C關于直線AD對稱,連接CP,則BP=CP,因此BP+EP的最小值為CE,故選B. 5.A　[解析]∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2, ∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=23. ∵CA=CA1, ∴△ACA1是等邊三角形,AA1=AC=BA1=2, ∴∠BCB1=∠ACA1=60°. ∵CB=CB1,∴△BCB1是等邊三角形,

10、 ∴BB1=23, ∴BD=DB1=3, 又∵BA1=2,∠A1BB1=90°, ∴A1D=A1B2+BD2=7. 故選A. 6.B　[解析]∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA =90°,∴∠DAC=∠ECB,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴CE=AD=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故選B. 7.22.5°　[解析]根據(jù)題意可知△ABD≌△ACD',∴∠BAC=∠CAD'=45°,AD'=AD,∴∠ADD'=∠AD'D=180°-45°2 =67.5°,∵D'

11、,D,B三點在同一直線上,∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°. 8.33,0　[解析]設CE交x軸于點F,因為△ACE是等邊三角形,所以∠CAD=30°,那么CF=12AC=1.由勾股定理求得AF=3.因為CD2=DF2+CF2,CD=2DF,所以可求得DF=33.由“HL”定理易知△ABO與△DCF全等,所以AO=DF=33.所以OD=AF-AO-DF=3-33-33=33,即點D的坐標為33,0. 9.20°　[解析]過點A作AD∥l1,如圖, 則∠BAD=∠α=40°. ∵l1∥l2,∴AD∥l2.∴∠DAC=∠β. ∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,

12、 ∴∠β=∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°. 10.37　[解析]因為AD=AC,E為CD的中點,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=12(180°-∠DAC)=74°,因為BD=AD,所以∠B=12∠ADC=37°. 11.證明:∵AE=BE,∴∠EAB=∠EBA, ∵DC∥AB, ∴∠DEA=∠EAB,∠CEB=∠EBA, ∴∠DEA=∠CEB. 在△DEA和△CEB中,DE=CE,∠DEA=∠CEB,AE=BE, ∴△DEA≌△CEB(SAS),∴∠D=∠C. 12.解:(1)證明:∵線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE, ∴

13、∠DCE=90°,CD=CE. 又∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DCE, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中, ∵CD=CE,∠ACD=∠BCE,AC=BC, ∴△ACD≌△BCE. (2)∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=45°, ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°. 又AD=BF,∴BE=BF, ∴∠BEF=∠BFE=180°-45°2=67.5°. 13.解:(1)(方法一):∵AB=AC,∠C=42°, ∴∠B=∠C=42°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°. ∵AD

14、⊥BC, ∴∠BAD=12∠BAC=12×96°=48°. (方法二):∵AB=AC,∠C=42°, ∴∠B=∠C=42°. ∵AD⊥BC于點D, ∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=180°-90°-42°=48°. (2)證明:∵EF∥AC,∴∠CAF=∠F, ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠CAF=∠BAF, ∴∠F=∠BAF,∴AE=FE. 14.D　[解析]過點A作AF⊥CE于點F,設AB與CD的交點為M,過點M作MN⊥AC于點N,如圖所示. ∵△ECD為等腰直角三角形,CE=CD,∴∠E=45°. ∵AE=2,AD=6, ∴AF=EF=1,CE=CD=

15、DE2=1+3, ∴CF=3,∴AC=AF2+CF2=2,∠ACF=30°, ∴∠ACD=60°. 設MN=x,∵△ABC為等腰直角三角形,CA=CB, ∴∠CAB=45°,∴AN=MN=x, 又∵CN=MN3=33x, ∴AC=AN+CN=x+33x=2, 解得x=3-3, ∴S陰影=S△ACM=12×AC×MN=3-3. 故選D. 15.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下: 因為AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD. (2)證明:因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因為AB=AC,所以點A,F均在線段BC的垂直平分線上,即直線AF垂直平分線段BC. 8