（江蘇專版）2020年中考數(shù)學復習 第三單元 函數(shù) 課時訓練15 二次函數(shù)的綜合應用

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1、 課時訓練(十五)　二次函數(shù)的綜合應用 (限時:40分鐘) |夯實基礎| 1.已知一個直角三角形兩直角邊之和為20 cm,則這個直角三角形的最大面積為 (　　) A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.不確定 2.如圖K15-1,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,動點P從點A開始沿邊AB向B以1 cm/s的速度移動(不與點B重合),動點Q從點B開始沿邊BC向C以2 cm/s的速度移動(不與點C重合).如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),那么經(jīng)過多少秒時,四邊形APQC的面積最小? (　　) 圖K15-1

2、 A.1 B.2 C.3 D.4 3.二次函數(shù)y=x2-8x+15的圖象與x軸相交于M,N兩點,點P在該函數(shù)的圖象上運動,能使△PMN的面積等于12的點P共有　　　　個.? 4.[2018·長春]如圖K15-2,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+mx交x軸的負半軸于點A.點B是y軸正半軸上一點,點A關(guān)于點B的對稱點A'恰好落在拋物線上.過點A'作x軸的平行線交拋物線于另一點C.若點A'的橫坐標為1,則A'C的長為　　　　.? 圖K15-2 5.[2019·長春] 如圖K15-3,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2-2ax+83(a>0)與y軸交于點A,過點A作

3、x軸的平行線交拋物線于點M,P為拋物線的頂點,若直線OP交直線AM于點B,且M為線段AB的中點,則a的值為　　　　.? 圖K15-3 6.已知:如圖K15-4,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+x的對稱軸為直線x=2,頂點為A.點P為拋物線對稱軸上一點,連接OA,OP.當OA⊥OP時,求P點的坐標. 圖K15-4 7.已知邊長為4的正方形CDEF截去一個角后成為五邊形ABCDE(如圖K15-5),其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積,求此時PM的長. 圖K15-5 8.如圖K15-6,矩形ABCD中,AB=

4、6 cm,BC=12 cm,點P從點A開始沿AB邊向點B以1 cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以2 cm/s的速度移動,如果P,Q分別從A,B同時出發(fā). (1)經(jīng)過多長時間,△PBQ的面積等于8 cm2? (2)經(jīng)過多長時間,五邊形APQCD的面積最小,最小值是多少? 圖K15-6 |拓展提升| 9.如圖K15-7,拋物線m:y=ax2+b(a<0,b>0)與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.將拋物線m繞點B旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線n,它的頂點為C1,與x軸的另一個交點為A1.若四邊形AC1A1C為矩形,則a,b應滿

5、足的關(guān)系式為 (　　) 圖K15-7 A.ab=-2 B.ab=-3 C.ab=-4 D.ab=-5 10.如圖K15-8,在平面直角坐標系xOy中,若動點P在拋物線y=ax2上,☉P恒過點F(0,n),且與直線y=-n始終保持相切,則n=　　　　(用含a的代數(shù)式表示).? 圖K15-8 11.[2019·臨沂]在平面直角坐標系中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過點A,B. (1)求a,b滿足的關(guān)系式及c的值. (2)當x<0時,若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大,求a的

6、取值范圍. (3)如圖K15-9,當a=-1時,在拋物線上是否存在點P,使△PAB的面積為1?若存在,請求出符合條件的所有點P的坐標;若不存在,請說明理由. 圖K15-9 【參考答案】 1.B　[解析]設一條直角邊為x cm,則另一條直角邊長為(20-x)cm, ∴直角三角形的面積S=12x(20-x)=-12(x-10)2+50. ∵-12<0, ∴當x=10時,S最大=50 cm2.故選B. 2.C　[解析]設P,Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為t s,四邊形APQC的面積為S

7、cm2,則有: S=S△ABC-S△PBQ=12×12×6-12(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2+27. ∴當t=3 s時,S取得最小值.故選C. 3.4　[解析]二次函數(shù)y=x2-8x+15的圖象與x軸交點為(3,0)和(5,0),MN=2, 設P點坐標為(x,y),y=x2-8x+15, S△PMN=12=12MN·|y|, 可得y1=12,y2=-12. 當y=12時,x=8±62; 當y=-12時,x=8±22, 所以共有四個點. 4.3　[解析]如圖,設A'C與y軸交于點D. ∵點A與點A'關(guān)于點B對稱, ∴AB=A'B. 又A'C∥x軸

8、, ∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB, ∴△ABO≌△A'BD, ∴AO=A'D, ∵點A'的橫坐標為1, ∴A'D=AO=1,∴點A坐標為(-1,0). 把(-1,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+mx,得m=1, ∴拋物線解析式為y=x2+x, ∴點A'坐標為(1,2). 令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1, ∴A'C=1-(-2)=3. 5.2　[解析]在y=ax2-2ax+83中,令x=0,可得y=83, ∴點A的坐標為0,83, ∵y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a, ∴點M的坐標為2,83, 拋物線的頂點

9、P的坐標為1,83-a, ∴直線OP的解析式為y=83-ax, 令y=83,可得x=88-3a, ∴點B的坐標為88-3a,83. ∵M為線段AB的中點, ∴88-3a=4,解得a=2. 6.解:∵拋物線y=ax2+x的對稱軸為直線x=2, ∴-12a=2, ∴a=-14, ∴拋物線的表達式為:y=-14x2+x, ∴頂點A的坐標為(2,1), 設對稱軸與x軸的交點為E. 如圖,在直角三角形AOE和直角三角形POE中,tan∠OAE=OEAE,tan∠EOP=PEOE, ∵OA⊥OP, ∴∠OAE=∠EOP, ∴OEAE=PEOE, ∵AE=1,OE=2,

10、 ∴21=PE2, 解得PE=4, ∴P(2,-4). 7.解:設矩形PNDM的邊DN=x,NP=y, 則矩形PNDM的面積S=xy(2≤x≤4), 易知CN=4-x,EM=4-y, 作BQ⊥NP于Q,則有BQ=CN,PQ=NP-BC, 且有NP-BCCN=BFAF, 即y-34-x=12, ∴y=-12x+5, ∴S=xy=-12x2+5x(2≤x≤4), 此二次函數(shù)的圖象開口向下, 對稱軸為直線x=5, ∴當x≤5時,S隨x的增大而增大. ∵2≤x≤4, ∴當x=4,即PM=4時,S有最大值. 8.解:(1)設運動時間為t秒,則PB=6-t,BQ=2t,

11、則S△PBQ=12PB·BQ=12×(6-t)×2t=8, 解得t=2或t=4, 故經(jīng)過2秒或4秒時,△PBQ的面積等于8 cm2. (2)S△PBQ=12PB·BQ=12×(6-t)×2t=-t2+6t. 當t=-b2a=3時,S△PBQ最大=-364×(-1)=9, 故S五邊形APQCD最小=S矩形ABCD-S△PBQ最大=6×12-9=63(cm2). 故當t=3秒時,五邊形APQCD的面積最小,最小值是63 cm2. 9.B　[解析]令x=0,得y=b.∴C(0,b). 令y=0,得ax2+b=0,∴x=±-ba, ∴A--ba,0,B-ba,0, ∴AB=2-ba

12、,BC=OC2+OB2=b2-ba. 要使四邊形AC1A1C是矩形,必須滿足AB=BC, ∴2-ba=b2-ba, ∴4×-ba=b2-ba, ∴ab=-3. ∴a,b應滿足關(guān)系式ab=-3. 故選B. 10.14a　[解析]如圖,連接PF.設☉P與直線y=-n相切于點E,連接PE.則PE⊥AE. ∵動點P在拋物線y=ax2上, ∴設P(m,am2). ∵☉P恒過點F(0,n), ∴PF=PE,即m2+(am2-n)2=am2+n. ∴n=14a. 11.[分析] (1)求出點A,B的坐標,即可求解; (2)當x<0時,若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨

13、x的增大而增大,則函數(shù)圖象的對稱軸x=-b2a≥0,由(1)知b=2a+1,即-2a+12a≥0,求解即可; (3)假設存在符合題意的是P.過點P作直線l∥AB,作PQ∥y軸交BA于點Q,作PH⊥AB于點H,易求∠QPH=45°,S△PAB=12×AB×PH=12×22×PQ×22=1,則|yP-yQ|=1,即可求解. 解:(1)根據(jù)直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,令x=0,則y=2, 令y=0,則x=-2, 故點A,B的坐標分別為(-2,0),(0,2),將B(0,2)的坐標代入y=ax2+bx+c,得c=2, 則函數(shù)表達式為:y=ax2+bx+2, 將點A坐標代入

14、上式得4a-2b+2=0,整理得:b=2a+1. (2)當x<0時,若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大, 則函數(shù)圖象的對稱軸x=-b2a≥0,而b=2a+1, 即-2a+12a≥0,解得:0>a≥-12, 故a的取值范圍為:-12≤a<0. (3)當a=-1時,二次函數(shù)表達式為:y=-x2-x+2,假設存在符合題意的點P, 過點P作直線l∥AB,作PQ∥y軸交BA于點Q,作PH⊥AB于點H, ∵A(-2,0),B(0,2), ∴OA=OB,AB=22, ∴∠BAO=45°, ∴∠PQH=45°, S△PAB=12×AB×PH=12×22×PQ×22=1, 解得PQ=1, 則yP-yQ=1, 在直線AB下方作直線m,使直線m和l與直線AB等距離, 則直線m與拋物線的兩個交點分別與點A,B組成的三角形的面積也為1, 故|yP-yQ|=1, 設點P(m,-m2-m+2),則點Q(m,m+2), ∴-m2-m+2-m-2=±1, 解得:m=-1或-1±2, 故點P的坐標為(-1,2)或(-1+2,2)或(-1-2,-2). 9