2018年《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》高三第一輪復(fù)習(xí)講義

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1 2018 高三第一輪復(fù)習(xí)課 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 咸豐一中數(shù)學(xué)組 青華 高考要求 1 通過具體實(shí)例 如細(xì)胞的分裂 考古中所用的 14C 的衰減 藥物在人體內(nèi)殘留量 的變化等 了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景 2 理解有理指數(shù)冪的含義 通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義 掌握冪的運(yùn)算 3 理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義 能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象 探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn) 4 在解決簡單實(shí)際問題的過程中 體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型 重點(diǎn)難點(diǎn) 對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪含義的理解 學(xué)會(huì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用 能將討論復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性 奇偶性問題轉(zhuǎn)化為討論比較 簡單的函數(shù)的有關(guān)問題 知識梳理 1 根式的概念 1 根式 如果一個(gè)數(shù)的 n 次方等于 a n 1 且 n N 那么這個(gè)數(shù)叫做 a 的 n 次方根 也就是 若 xn a 則 x 叫做 其中 n 1 且 n N 式子 叫做 這里 n 叫na 做 a 叫做 2 根式的性質(zhì) 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 正數(shù)的 n 次方根是一個(gè)正數(shù) 負(fù)數(shù)的 n 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù) 這時(shí) a 的 n 次方根用符號 表示 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 正數(shù)的 n 次方根有兩個(gè) 它們互為相反數(shù) 這時(shí) 正數(shù)的正的 n 次 方根用符號 表示 負(fù)的 n 次方根用符號 表示 正負(fù)兩個(gè) n 次方根 可以合寫成 a 0 負(fù)數(shù)沒有偶次方根 須使 有意義 0 n 為 奇 數(shù) 為 偶 數(shù) na an 零的任何次方根都是零 n 2 有理數(shù)指數(shù)冪 1 冪的有關(guān)概念 正整數(shù)指數(shù)冪 N aan n 個(gè) 零指數(shù)冪 0 10 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 Q a 0 pap 2 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a a 0 m n 都是正整數(shù) n 1 n 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a 0 m n 都是正整數(shù) n 1 n1 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 2 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) a ras a 0 r s Q a r s a 0 r s Q ab r a 0 b 0 r Q 注 上述性質(zhì)對 r R 均適用 3 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a 1 0 a0 時(shí) 當(dāng) x0 時(shí) 當(dāng) x 0 時(shí) 性質(zhì) 6 在 上是 7 在 上是 1 指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn) 0 1 且圖象都在第一 二象限 2 指數(shù)函數(shù)都以 軸為漸近線 當(dāng) 時(shí) 圖象向左無限接近 軸 當(dāng) 時(shí) x0 ax1 a 圖象向右無限接近 軸 3 對于相同的 函數(shù) 的圖象關(guān)于 軸對稱 a且 xxy 與 y 4 指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示 則 在 y 軸右側(cè) 圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小 在 y 軸左側(cè) 圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小 即無論在 y 軸的左側(cè)還是右側(cè) 底數(shù)按逆時(shí)針方向變大 3 探究點(diǎn)一 有理指數(shù)冪的化簡與求值 例 1 1 11263278 41 31303 27 0 64 2160 8 2 2 248532332314 aabab 3 已知 則 123x 8421x 指數(shù)冪化簡與求值的原則和要求 1 化簡原則 化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪 化小數(shù)為分?jǐn)?shù) 注意運(yùn)算的先后順序 2 結(jié)果要求 若題目以根式形式給出 則結(jié)果用根式表示 若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出 則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示 結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 4 探究點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 例 2 1 已知函數(shù) 的圖象恒過定點(diǎn) A 其坐標(biāo)與 a 無關(guān) 2 0 1 xyaa 則定點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 2 若直線 y 2a 與函數(shù) y ax 1 a 0 且 a 1 的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn) 則 a 的 取值范圍是 3 已知函數(shù) y x 1 13 作出函數(shù)的圖象 簡圖 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間 由圖象指出當(dāng) x 取什么值時(shí)有最值 并求出最值 4 y 2 x 的圖像可以看成是由函數(shù) y 2 x 1 3 的圖像平移后得到的 平移過程是 A 向左平移 1 個(gè)單位 向上平移 3 個(gè)單位 B 向左平移 1 個(gè)單位 向下平移 3 個(gè)單 位 C 向右平移 1 個(gè)單位 向上平移 3 個(gè)單位 D 向右平移 1 個(gè)單位 向下平移 3 個(gè)單 位 5 函數(shù) y 的圖象大致為 ex e xex e x 5 6 函數(shù) 與 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 xy2 2 A 0 個(gè) B 1 個(gè) C 2 個(gè) D 3 個(gè) 7 函數(shù) y 2 x 1 在區(qū)間 k 1 k 1 內(nèi)不單調(diào) 則 k 的取值范圍是 探究點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 例 3 1 函數(shù) y 的值域是 2 x A y y0 B y y0 C y y0 D y y2 來2 2 1 2 已知函數(shù) 的值域?yàn)?則 的范圍是 324 xxy 7 1x A B C D 4 0 42 0 2 10 3 函數(shù) y 的遞增區(qū)間是 212 x 4 下列各式中正確的是 ABCD 1251212155233323 點(diǎn)評 比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí) 盡量化同底數(shù)或同指數(shù) 當(dāng)?shù)讛?shù)相同 指數(shù)不同時(shí) 構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù) 然后比較大小 當(dāng)指數(shù)相同 底數(shù)不同時(shí) 構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù) 利用 6 圖象比較大小 5 若函數(shù) 則 的值為 2 xff 3 f 6 若關(guān)于 x 的方程 25 x 1 4 5 x 1 m 有實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 A m 0 B m 4 C 4 m 0 D 3 m 0 7 例 2 設(shè) 0 x 2 求函數(shù) y 1242 1 axx 的最大值和最小值 8 已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f x 是奇函數(shù) 2x b2x 1 a 求 a b 的值 判斷并證明函數(shù) 的單調(diào)性 f 若對任意的 t R 不等式 f t2 2t f 2t 2 k 0 恒成立 求 k 的取值范圍 課后練習(xí) 1 下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 當(dāng) a0 且 a 1 3 如圖所示的曲線 C1 C 2 C 3 C 4 分別是函數(shù) y a x y b x y c x y d x 的圖象 則 a b c d 的大小關(guān)系是 A a b 1 c d B a b 1 d c 7 C b a 1 c d D b a 1 dy1 y2 B y 2 y1 y3 C y 1 y2 y3 D y 1 y3 y2 6 若 a 1 b 0 且 ab a b 2 則 ab a b 的值等于 2 A B 2 或 2 C 2 D 26 7 下列說法中 正確的是 任取 x R 都有 3x 2 x 當(dāng) a 1 時(shí) 任取 x R 都有 ax a x y x 是增函數(shù) y 2 x 的最小值為 1 在同一坐標(biāo)系中 y 2 x 與 y 2 x 的圖象對稱于 y 軸 A B C D 8 已知函數(shù) f x 2 x 2 則函數(shù) y f x 的圖象可能是 9 函數(shù) y x 1 的圖象關(guān)于直線 y x 對稱的圖象大致是 12 10 正實(shí)數(shù) x1 x2 及函數(shù) f x 滿足 4x 且 f x1 f x2 1 則 f x1 x2 的最小值為 1f 8 A 4 B 2 C D 5441 11 若 為奇函數(shù) 則實(shí)數(shù) 2 1 xaf a 12 若曲線 與直線 y b 沒有公共點(diǎn) 則 b 的取值范圍是 x y 2 13 使得對于區(qū)間 D 上的一切實(shí)數(shù) x 都有 f x g x 成立 則稱函數(shù) g x 為函數(shù) f x 在區(qū)間 D 上的一個(gè) 覆蓋函數(shù) 設(shè) f x g x 2x 若函數(shù) g x 為函數(shù) f x 在區(qū)間 m n 上的一 個(gè) 覆蓋函數(shù) 則 m n 的最大值為 14 設(shè)關(guān)于 的方程 R x bx 0241 1 若方程有實(shí)數(shù)解 求實(shí)數(shù) b 的取值范圍 2 當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí) 討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù) 并求出方程的解