2020年中考數(shù)學考點一遍過 考點03 分式與二次根式（含解析）

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1、考點03 分式與二次根式 一、分式 1．分式的定義 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注意】①若B≠0，則有意義； ②若B=0，則無意義； ③若A=0且B≠0，則=0． 2．分式的基本性質 分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變． 用式子表示為或，其中A，B，C均為整式． 3．約分及約分法則 （1）約分 把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分． （2）約分法則 把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約

2、去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項式，先分解因式，然后約分． 【注意】約分的根據(jù)是分式的基本性質．約分的關鍵是找出分子和分母的公因式． 4．最簡分式 分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式． 【注意】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結果有時可能成為整式． 5．通分及通分法則 （1）通分 根據(jù)分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分． （2）通分法則 把兩個或者幾個分式通分： ①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的

3、最高次冪和所有不同因式的積）； ②再用分式的基本性質，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式； ③若分母是多項式，則先分解因式，再通分． 【注意】通分的根據(jù)是分式的基本性質．通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母． 6．最簡公分母 幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母． 7．分式的運算 （1）分式的加減 ①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減． 用式子表示為：． ②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?/p>

4、，然后再加減． 用式子表示為：． （2）分式的乘法 乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母． 用式子表示為：． （3）分式的除法 除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘． 用式子表示為：． （4）分式的乘方 乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方． 用式子表示為：為正整數(shù)，． （5）分式的混合運算 含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算． 混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的． 二、二次根式 1．二次根式的有關概念 （1）二次根式的概念 形如的式子叫做二次

5、根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)． 【注意】被開方數(shù)只能是非負數(shù)．即要使二次根式有意義，則a≥0． （2）最簡二次根式 被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式． （3）同類二次根式 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式． 2．二次根式的性質 （1）≥ 0（≥0）； （2）； （3）； （4）； （5）． 3．二次根式的運算 （1）二次根式的加減 合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合

6、并成一個二次根式． （2）二次根式的乘除 乘法法則：； 除法法則：． （3）二次根式的混合運算 二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的． 在運算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用． 考向一 分式的有關概念 1．分式的三要素： （1）形如的式子； （2）均為整式； （3）分母中含有字母． 2．分式的意義： （1）有意義的條件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即． （2）無意義的條件是分母為0． （3）分式值為0要滿足兩個條件，分子為0，分母不為0． 典例1 使得式子有意義的x

7、的取值范圍是 A．x≥4 B．x>4 C．x≤4 D．x<4 【答案】D 【解析】使得式子有意義，則：4-x>0，解得：x<4， 即x的取值范圍是：x<4， 故選D． 【名師點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關鍵． 1．若分式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，則x的取值范圍是 A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x>1 考向二 分式的基本性質 分式基本性質的應用主要反映在以下兩個方面： （1）不改變分式的值，把分式的分子、分母中各項的系數(shù)化為整數(shù)； （2）分式的分子、分母與分式本身的

8、符號，改變其中任何兩個，分式的值不變． 典例2 分式中的x、y的值都擴大到原來的2倍，則分式的值為 A．擴大為原來2倍 B．縮小為原來的倍 C．不變 D．縮小為原來的倍 【答案】B 【解析】∵若x、y的值都擴大到原來的2倍，則為 ∴把分式中的x、y的值都擴大到原來的2倍，則分式的值為原來的， 故選B． 【名師點睛】本題考查了分式的基本概念和性質的相關知識．這類題目的一個易錯點是：在沒有充分理解題意的情況下簡單地通過分式的基本性質得出分式值不變的結論．對照分式的基本性質和本題的條件不難發(fā)現(xiàn)，本題不符合分式基本性質所描述的情況，不能直接利用其

9、結論．因此，在解決這類問題時，要注意認真理解題意． 2．下列變形正確的是 A．= B． C．–1= D．= 考向三 分式的約分與通分 約分與通分的區(qū)別與聯(lián)系： 1．約分與通分都是根據(jù)分式的基本性質，對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值； 2．約分是針對一個分式而言，約分可使分式變得簡單； 3．通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式． 典例3 關于分式的約分或通分，下列哪個說法正確 A．約分的結果是 B．分式與的最簡公分母是x-1 C．約分的結果是1 D．化簡-的結果是1 【答

10、案】D 【解析】A、=，故本選項錯誤； B、分式與的最簡公分母是x2-1，故本選項錯誤； C、=，故本選項錯誤；D、-=1，故本選項正確，故選D． 【名師點睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識點，應當熟練掌握． 3．下列分式中，是最簡分式的是 A． B． C． D． 考向四 分式的運算 （1）分式的加減運算：異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質，通分時應確定幾個分式的最簡公分母． （2）分式的乘除運算：分式乘除法的運算與因式分解密切相關，分式乘除法的本質是化成乘法后，約去分式的分子分母中的公因式，因此往往要對分子或分母進行因式分

11、解（在分解因式時注意不要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去． （3）分式的乘方運算，先確定冪的符號，遵守“正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)”的原則． （4）分式的混合運算有乘方，先算乘方，再算乘除，有時靈活運用運算律，運算結果必須是最簡分式或整式．注意運算順序，計算準確． 典例4 化簡：． 【解析】 ． 【名師點睛】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確分式混合運算的計算方法． 4．先化簡，再求值：，其中x=4． 考向五 二次根式的概念與性質 1．二次根式的意義：首先考慮被開方

12、數(shù)為非負數(shù)，其次還要考慮其他限制條件，這樣就轉化為解不等式或不等式組問題，如有分母時還要注意分式的分母不為0． 2．利用二次根式性質時，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內(nèi)對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進行化簡． 典例5 函數(shù)y=的自變量的取值范圍是 A．x>0且x≠0 B．x≥0且x≠ C．x≥0 D．x≠ 【答案】B 【解析】根據(jù)題意得，x≥0且， ∴x≥0且x≠． 故選B． 【名師點睛】本題考查了函數(shù)自變量取值范圍的求法．要

13、使得本題函數(shù)式子有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)且分母不為零． 5．已知：x>4，化簡__________． 典例6 下列二次根式是最簡二次根式的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，，故原選項不是最簡二次根式； B，，故原選項不是最簡二次根式； C，是最簡二次根式； D，=4，故原選項不是最簡二次根式， 故選C． 6．下列二次根式；5；；；；．其中是最簡二次根式的有 A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 考向六 二次根式的運算 1．二次根式的運算 （1）二次

14、根式的加減法就是把同類二次根式進行合并． （2）二次根式的乘除法要注意運算的準確性；要熟練掌握被開方數(shù)是非負數(shù)． （3）二次根式混合運算先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）． 2．比較分式與二次根式的大小 （1）分式：對于同分母分式，直接比較分子即可，異分母分式通常運用約分或通分法后作比較； （2）二次根式：可以直接比較被開方數(shù)的大小，也可以運用平方法來比較． 典例7 下列計算正確的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、原式=2=，正確； B、原式==，錯誤； C、為最簡結果，錯誤； D

15、、原式==2，錯誤， 故選A． 7．計算：（1）–2÷6； （2）（3–）÷． 典例8 比較大?。篲_________5（填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【解析】因為，28>25，所以>5．故答案為：>． 【名師點睛】比較二次根式的大小，可以轉化為比較被開方數(shù)的大小，也可以將兩個數(shù)平方，計算出結果，再比較大?。? 8．設a=－，b=－1，c=，則a，b，c之間的大小關系是 A．c>b>a B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．a(chǎn)>b>c 1．式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是

16、 A． B． C．且 D．a(chǎn)>2 2．若分式的值為零，則x值為 A．x=±3 B．x=0 C．x=-3 D．x=3 3．下列式子是最簡二次根式的是 A． B． C． D． 4．在化簡分式的過程中，開始出現(xiàn)錯誤的步驟是 A． B． C． D． 5．下列關于分式的判斷，正確的是 A．當x=2時，的值為零 B．當x≠3時，有意義 C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．無論x為何值，的值總為正數(shù) 6．計算的結果是 A． B． C． D．1 7．若最簡二次根式的被開方數(shù)相同，則a的值為 A．1

17、 B．2 C． D． 8．化簡的結果是，則a的值是 A．1 B．-1 C．2 D．-2 9．已知 ，則 化簡的結果是 A． B． C． D． 10．下列運算中錯誤的是 A．×= B．2＋3=5 C． D．=4 11．若分式的值為0，則x的值為 A．1 B．?1 C．±1 D．無解 12．化簡：的結果是 A．2 B． C． D． 13．若x、y滿足，

18、則的值等于 A． B． C． D． 14．已知，則的值為 A． B． C． D．不確定 15．計算：=_____________． 16．與數(shù)字最接近的整數(shù)是__________． 17．比較大?。?____________．（填“>、<、或=”） 18．計算（-22）（22）的結果是__________． 19．已知a，b互為倒數(shù)，代數(shù)式÷的值為_____________． 20．若，則__________． 21．計算：（1）； （2）． 22．先化

19、簡，再求值：，其中，． 23．先化簡：，再從-1≤m≤2中選取合適的整數(shù)代入求值． 24．先化簡，再求值：，其中m為一元二次方程的根． 25．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中a=2cos30°． 1．（2019?常州）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 A．x=-1 B．x=3 C．x≠-1 D．x≠3 2．（2019?武漢）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 A．x>0 B．x≥-1 C．x≥1 D．x≤1 3．（2019?黃石）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 A．x≥1

20、且x≠2 B．x≤1 C．x>1且x≠2 D．x<1 4．（2019?山西）下列二次根式是最簡二次根式的是 A． B． C． D． 5．（2019?貴港）若分式的值等于0，則x的值為 A．±1 B．0 C．-1 D．1 6．（2019?株洲） A．4 B．4 C． D．2 7．（2019?揚州）分式可變形為 A． B． C． D． 8．（2019?江西）計算（）的結果為 A．a(chǎn) B．-a C． D． 9．（2019·天津）計算的結果是 A．2 B． C．1 D． 10．（2019?臨沂）計算a-1的正確結果是 A． B．

21、C． D． 11．（2019?北京）如果m+n=1，那么代數(shù)式的值為 A．-3 B．-1 C．1 D．3 12．（2019?河北）如圖，若x為正整數(shù)，則表示的值的點落在 A．段① B．段② C．段③ D．段④ 13．（2019·重慶A卷）估計的值應在 A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間 14．（2019?廣州）代數(shù)式有意義時，x應滿足的條件是__________． 15．（2019·安徽）計算的結果是__________． 16．（2019?衡陽）=__________． 17．（

22、2019?吉林）計算：·__________． 18．（2019·天津）計算的結果等于__________． 19．（2019·南充）計算：__________． 20．（2019?武漢）計算的結果是__________． 21．（2019?大連）計算：（2）26． 22．（2019?益陽）化簡： ． 23．（2019?深圳）先化簡（1），再將x=-1代入求值． 24．（2019?河南）先化簡，再求值：，其中x=． 25．（2019?煙臺）先化簡（x+3），再從0≤x≤4中選一個適合的整數(shù)代入求值．

23、 26．（2019?安順）先化簡，再從不等式組的整數(shù)解中選一個合適的x的值代入求值． 變式拓展 1．【答案】B 【解析】∵分式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義， ∴1-x=0，即x=1， 故選B． 2．【答案】D 【解析】A．≠，故A錯誤； B．=，故B錯誤； C．-1=，故C錯誤， 故選D． 3．【答案】D 【解析】A、=，錯誤； B、=，錯誤； C、=，錯誤； D、是最簡分式，正確． 故選D． 4．【解析】 = = =， 當x=4時，原式=． 5．【答案】B 【解析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的條件知，要使在實數(shù)

24、范圍內(nèi)有意義，必須．故選B． 6．【答案】B 【解析】， ， ， ∴、、是最簡二次根式， 故選B． 7．【解析】（1）原式=–2×× =–2． （2）原式=（3–）÷ =÷ =． 8．【答案】D 【解析】a=－=（?1），b=?1，c===×（?1）， ∵>1>，∴a>b>c．故選D． 考點沖關 1．【答案】C 【解析】由題意得：a+1≥0，且a–2≠0， 解得，且． 故選C． 2．【答案】D 【解析】∵分式的值為零， ∴x2-9=0且x+3≠0． 解得：x=3． 故選D． 3．【答案】C 【解析】A、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題

25、意； B、=6，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意； C、是最簡二次根式，故本選項符合題意； D、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意， 故選C． 4．【答案】B 【解析】∵正確的解題步驟是：， ∴開始出現(xiàn)錯誤的步驟是．去括號是漏乘了． 故選B． 5．【答案】1 【解析】∵x>4，∴x-4>0， ∴原式==1， 故答案為：1． 【名師點睛】本題考查了二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵． 6．【答案】D 【解析】，故選D． 7．【答案】D 【解析】，解得，故選D． 8．【答案】A 【解析】，∴a=1，故選A． 9．【答案】B 【解析】

26、∵x<1，∴x-1<0，∴=|x-1|=1-x．故選：B． 10．【答案】B 【解析】A．原式=×=，所以A選項的計算正確； B．2和3不能合并，所以B選項的計算錯誤 C．原式=，所以C選項的計算正確； D．原式==4，所以D選項的計算正確． 故選B． 11．【答案】A 【解析】∵分式的值為0，∴|x|?1=0，且x+1≠0，解得：x=1．故選A． 12．【答案】B 【解析】=（?）?（x?3）=?（x?3）??（x?3）=1?=．故選B． 13．【答案】B 【解析】∵，∴．∴．故選B． 14．【答案】A 【解析】∵，∴，即x+2+=a2，∴x+=a2?2，故選A．

27、 15．【答案】 【解析】根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算可得：，故答案為． 16．【答案】4 【解析】∵， ∴最接近的整數(shù)是， =4， 故答案為：4． 17．【答案】< 【解析】將兩式進行平方可得：=12，=18，因為12<18，所以<． 18．【答案】-16 【解析】原式=-（2+2）（2-2）=-（20-4）=-16． 故答案為：-16． 19．【答案】1 【解析】對待求值的代數(shù)式進行化簡，得 ， ∵a，b互為倒數(shù)，∴ab=1，∴原式=1．故答案為：1． 20．【答案】– 【解析】∵， ∴a?b=?2ab． ∴原式=?=?2+=?． 故答案為：?

28、． 21．【解析】（1）原式= = =4a2． （2）原式= = =3． 22．【解析】 ， 當，時，原式=． 23．【解析】原式= =， 根據(jù)分式有意義的條件可知：m=-1， ∴原式=． 24．【解析】原式= = = = = =． 由m是方程的根，得到， 所以原式=． 25．【解析】原式= =， =． ∵a=2， ∴原式=． 直通中考 1．【答案】D 【解析】∵代數(shù)式有意義，∴x-3≠0，∴x≠3．故選D． 2．【答案】C 【解析】由題意，得x-1≥0，解得x≥1，故選C． 3．【答案】A 【解析】依題意，得

29、x-1≥0且x-200，解得x≥1且x≠2．故選A． 4．【答案】D 【解析】A、，故A不符合題意； B、，故B不符合題意； C、，故C不符合題意； D、是最簡二次根式，故D符合題意．故選D． 5．【答案】D 【解析】x-1=0，∴x=1，經(jīng)檢驗：x=1是原分式方程的解，故選D． 6．【答案】B 【解析】．故選B． 7．【答案】D 【解析】分式可變形為：．故選D． 8．【答案】B 【解析】原式·（-a2）=-a，故選B． 9．【答案】A 【解析】原式=，故選A． 10．【答案】B 【解析】原式．故選B． 11．【答案】D 【解析】原式=·（m+n）（m-n

30、）=·（m+n）（m-n）=3（m+n）， 當m+n=1時，原式=3．故選D． 12．【答案】B 【解析】∵， 又∵x為正整數(shù)，∴≤x<1，故表示的值的點落在②，故選B． 13．【答案】C 【解析】=2+6=2+，又因為4<<5，所以6<2+<7，故選C． 14．【答案】x>8 【解析】代數(shù)式有意義時，x-8>0，解得x>8．故答案為：x>8． 15．【答案】3 【解析】，故答案為：3． 16．【答案】 【解析】原式=．故答案為：． 17．【答案】 【解析】·，故答案為：． 18．【答案】2 【解析】原式=3-1=2．故答案為：2． 19．【答案】x+1 【

31、解析】=，故答案為：x+1． 20．【答案】 【解析】原式． 故答案為：． 21．【解析】原式=3+4-426 =3+4-422 =7． 22．【解析】原式= =． 23．【解析】原式 =x+2， 將x=-1代入得： 原式=x+2=1． 24．【解析】原式= = =， 當x=時，原式==． 25．【解析】（x+3） =（） · ， 當x=1時，原式． 26．【解析】原式 =， 解不等式組得-2