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1、提分專練(六) 與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明
|類型1| 平行四邊形背景問題
1.[2018·曲靖] 如圖T6-1,在平行四邊形ABCD的邊AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,連接EF,點(diǎn)M,N是線段EF上的兩點(diǎn),且EM=FN,連接AN,CM.
(1)求證:△AFN≌△CEM.
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度數(shù).
圖T6-1
2.[2018·貴陽] 如圖T6-2,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),AB與AG關(guān)于AE對稱,AE與AF關(guān)于AG對稱.
(1)求證:△AEF是等邊三角形;
(2
2、)若AB=2,求△AFD的面積.
圖T6-2
|類型2| 特殊四邊形背景問題
3.[2018·德陽] 如圖T6-3,點(diǎn)E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上一點(diǎn),若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.
(1)求證:點(diǎn)F為AB的中點(diǎn);
(2)EF與CB的延長線相交于點(diǎn)H,連接AH,若ED=2,求AH的值.
圖T6-3
4.[2018·呼和浩特] 如圖T6-4,已知A,F,C,D四點(diǎn)在同一條直線上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,
3、請直接寫出使四邊形EFBC為菱形時(shí)AF的長度.
圖T6-4
5.[2018·遵義] 如圖T6-5,正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AB,BC上(AE
4、側(cè)作等邊三角形APE,點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.
(1)如圖T6-6①,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí),連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,CE與AD的位置關(guān)系是 .?
(2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由(選擇圖②,圖③中的一種情況予以證明或說明理由).
(3)如圖④,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時(shí),連接BE,若AB=23,BE=219,求四邊形ADPE的面積.
圖T6-6
參考答案
1.解:(1)證明:由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB∥CD,所以∠CEM
5、=∠AFN,又AF=CE,EM=FN,所以△AFN≌
△CEM.
(2)因?yàn)椤螩MF=107°,∠CEM=72°,且∠CMF=∠CEM+∠ECM,所以∠ECM=∠CMF-∠CEM=107°-72°=35°.因?yàn)椤鰽FN≌△CEM,所以∠NAF=∠ECM=35°.因此∠NAF的度數(shù)是35°.
2.解:(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,∴∠DAE=∠AEB=90°.∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),
∴在Rt△AED中,FE=AF.∵AE與AF關(guān)于AG對稱,
∴AE=AF.
∴AE=AF=EF.∴△AEF是等邊三角形.
(2)∵△AEF是等邊三角形,∴∠EAF=∠AEF=60
6、°,∴∠EAG=∠EDA=30°.∵AB與AG關(guān)于AE對稱,∴∠BAE=∠EAG=30°.在Rt△ABE中,AB=2,∴BE=12AB=1,∴AE=22-12=3.∴DE=23,∴AD=3.S△AFD=12S△ADE=12×12×AE×AD=12×12×3×3=343.
3.解:(1)證明:∵EF⊥EC,
∴∠CEF=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°.
∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DEC.
∵AE=DC,
∴△AEF≌△DCE,∴ED=AF.
∵AE=DC=AB=2DE,
∴AB=2AF,
∴點(diǎn)F
7、是AB的中點(diǎn).
(2)由(1)得AF=FB,且AE∥BH,
∴∠FAE=∠FBH=90°,∠AEF=∠BHF,
∴△AEF≌△BHF,∴AE=HB.
∵ED=2,且AE=2ED,
∴AE=4,∴HB=AB=AE=4,
∴AH2=AB2+BH2=16+16=32,
∴AH=42.
4.解:(1)證明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=CD,∴AC=DF.
又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)由勾股定理得DF=EF2+DE2=32+42=5,
作EP⊥DF于P,則EP=DE·EFDF=125.
∵四邊形BCEF是菱形,∴EF=CE,由勾股定理得FP=EF2-
8、EP2=32-(125)?2=95,則CP=FP=95,
AF=DC=DF-CF=5-2×95=75.
5.解:(1)證明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=12AC,OB=12BD,所以O(shè)A=OB.因?yàn)锳C⊥BD,所以∠AOB=∠AOD=90°,所以
∠OAD=∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN,又因?yàn)椤螮OF=90°,所以∠AOM=∠BON,所以△AOM≌△BON,所以O(shè)M=ON.
(2)過點(diǎn)O作OP⊥AB于P,所以∠OPA=90°,所以∠OPA=∠MAE,因?yàn)镋為OM的中點(diǎn),所以O(shè)E=ME,又因?yàn)椤螦EM=∠PEO,所以△AEM≌△PEO,所以AE=EP.因?yàn)镺A=OB,
9、OP⊥AB,所以AP=BP=12AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,所以O(shè)P=PB=2,Rt△OEP中,OE=OP2+PE2=5,所以O(shè)M=2OE=25,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=2OM=210.
6.[解析] (1)結(jié)論:BP=CE,CE⊥AD.
連接AC,證明△BAP≌△CAE即可解決問題;
(2)結(jié)論仍然成立.證明方法與(1)類似;
(3)利用(2)的結(jié)論,然后通過解直角三角形求出AP,DP,OA即可解決問題.
解:(1)BP=CE CE⊥AD
連接AC交BD于O點(diǎn),如圖①,
①
∵BA=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等
10、邊三角形,
∴AC=AB,
∠BAC=60°=∠PAE,
∴∠BAP=∠CAE.
在△BAP和△CAE中,
AB=AC,∠BAP=∠CAE,AP=AE,
∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE.
∵△BAP≌△CAE,
∴∠ACE=∠ABP=12∠ABC=30°,
∵∠ACD=60°,∴∠ECD=30°,
∴CE為∠ACD的角平分線,
∵CA=CD,由三線合一知CE⊥AD.
(2)仍然成立,選擇圖②,理由如下:
如圖②,連接AC交BD于O點(diǎn),設(shè)CE交AD于點(diǎn)H,
②
在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BA=BC,
∴△ABC為等邊三角形,
∴BA=
11、CA.
∵△APE為等邊三角形,
∴AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,∴∠BAP=∠CAE.
在△BAP和△CAE中,
AB=AC,∠BAP=∠CAE,AP=AE,∴△BAP≌△CAE(SAS),
∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.
又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.
選擇圖③,理由如下:
如圖③,連接AC交BD于點(diǎn)O,設(shè)CE交AD于點(diǎn)H.
③
同理得△BAP≌△CAE,
∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°,又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.
(3)如圖④,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接CE交AD于點(diǎn)H.
12、
④
由(2)可知,CE⊥AD,CE=BP,
在菱形ABCD中,AD∥BC,
∴EC⊥BC.
∵BC=AB=23,BE=219,
∴在Rt△BCE中,CE=(219)2-(23)2=8,
∴BP=CE=8.
∵AC與BD是菱形的對角線,
∴∠ABD=12∠ABC=30°,AC⊥BD,
∴BD=2BO=2AB·cos30°=6,
AO=12AB=3,DP=BP-BD=8-6=2,
∴OP=OD+DP=5.
在Rt△AOP中,AP=AO2+OP2=27,
S四邊形ADPE=S△ADP+S△APE=12DP·AO+34·AP2=12×2×3+34×(27)2=83.
10
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