浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 基本圖形(二)第25講 幾何作圖講解篇

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1、 第25講　幾何作圖 尺規(guī)作圖 考試內(nèi)容 考試 要求 尺規(guī)作圖 作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺． b 基本作圖 (尺規(guī)作圖) 作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線. 利用基本 作圖作三 角形　　 已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形 利用基本 作圖作圓 過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 作圖題的 一般步驟 (1)分析、畫草圖；(2)寫已知、求作；

2、(3)作圖；(4)結(jié)論；(5)證明(常不作要求)． 注意點(diǎn) 在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 分類討論：作圖問題不是在任何已知的條件下都能作出圖形，要分清問題有一個(gè)解、多個(gè)解或者沒有解． c 基本 方法 根據(jù)已知條件作幾何圖形時(shí)，可采用逆向思維，假設(shè)已作出圖形，再尋找圖形的性質(zhì)，然后作圖或設(shè)計(jì)方案． 1．(2017·衢州)下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角等于已知角；②作一個(gè)角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線，則對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是(　　) 　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．① B．② C．③ D．④ 2．(2015·衢州)數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB＝c，一條直角邊BC＝a.小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是(　　) A．勾股定理 B．直徑所對(duì)的圓周角是直角 C．勾股定理的逆定理 D．90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑 3．(2016·麗水)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD，以下四個(gè)作圖中，作法錯(cuò)誤

4、的是(　　) 【問題】如圖，已知線段a.　 (1)只用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)，求作一個(gè)直角三角形ABC，以AB和BC分別為兩條直角邊，使AB＝a，BC＝a(要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)； (2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4cm，求AC邊上的高； (3)通過(1)(2)的解答，請(qǐng)你聯(lián)想幾何作圖有哪些知識(shí)？ 　　　 　　　 　　 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理基本作圖，其中求作三角形包括：①已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；②已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；③已知三角形的三邊，求作三角形．求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點(diǎn)；

5、而求作直角三角形時(shí)，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形．作圖題的一般步驟：①分析、畫草圖；②寫已知、求作；③作圖；④結(jié)論；⑤證明(常不作要求)．注意：作圖中一般要保留作圖痕跡． 類型一　利用尺規(guī)作直線、角和三角形 　(2016·孝感)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. (1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡： ①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D； ②過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E； (2)在(1)作出的圖形中，若CB＝4，CA＝6，則DE＝　　　　　　　　.　　　　 【解后感悟】解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性

6、質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作． 要注意幾點(diǎn)：(1)熟練掌握幾種基本圖形的作法． (2)分析尺規(guī)基本作圖問題的解決過程，寫好作圖的主要畫法，并完成作圖． (3)尺規(guī)作圖的關(guān)鍵在于：①先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么．②讀清題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法，可以組合應(yīng)用解決問題． 1． (1)(2017·上海模擬)如圖，用尺規(guī)作圖：“過點(diǎn)C作CN∥OA”，其作圖依據(jù)是(　　) A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 (2) (2015·嘉興)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“

7、如圖，已知直線l和l外一點(diǎn)P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q.”分別作出了下列四個(gè)圖形．其中作法錯(cuò)誤的是(　) 2． (2016·臺(tái)灣)如圖，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝58°.甲、乙兩人想在△ABC外部取一點(diǎn)D，使得△ABC與△DCB全等，其作法如下： (甲)1.作∠A的角平分線L. 2．以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交L于D點(diǎn)，則D即為所求． (乙)1.過B作平行AC的直線L. 2．過C作平行AB的直線M，交L于D點(diǎn)，則D即為所求． 對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？(　　) A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤 C

8、．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確 類型二　利用尺規(guī)作點(diǎn) 　如圖，已知弧AB.求作： (1)確定弧AB所在圓的圓心O； (2)過點(diǎn)A且與⊙O相切的直線．(要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法) 【解后感悟】本題是基本作圖，以及線段垂直平分線的作法和性質(zhì)等知識(shí)運(yùn)用，認(rèn)真分析揣摩所給的信息，結(jié)合題目要求思考是解題的關(guān)鍵． 3．(2015·深圳)如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA＋PC＝BC，則下列選項(xiàng)正確的是(　　　　　　　　) 4．A，B是平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，在平面上找一點(diǎn)C，使△ABC構(gòu)成等腰

9、直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)．請(qǐng)問：這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？在圖中作出符合條件的點(diǎn)(要求尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)． 5．作圖題(只保留作圖痕跡，不寫作法) (1)如圖1，作已知三角形的外接圓；(2)如圖2，作已知三角形的內(nèi)切圓；(3)如圖3，作已知圓的內(nèi)接六邊形． 　　　 類型三　利用幾何作圖設(shè)計(jì)圖形 　(2016·寧波)下列3×3網(wǎng)格圖都是由9個(gè)相同的小正方形組成，每個(gè)網(wǎng)格圖中有3個(gè)小正方形已涂上陰影，請(qǐng)?jiān)谟嘞碌?個(gè)空白小正方形中，按下列要求涂上陰影： (1)選取1個(gè)涂上陰影，使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形； (2)選取1個(gè)涂上陰影，使4個(gè)陰影小正

10、方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形； (3)選取2個(gè)涂上陰影，使5個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形． (請(qǐng)將三個(gè)小題依次作答在圖1、圖2、圖3中，均只需畫出符合條件的一種情形) 【解后感悟】掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形定義是解題的關(guān)鍵． 　(2016·江西)如圖，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，AB是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度直尺，②保留必要的畫圖痕跡． (1)在圖1中畫出一個(gè)45°角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且AB為這個(gè)角的一邊； (2)在圖2中畫出線段AB的垂直平分線． 【解后感悟】本題是作圖－－應(yīng)用設(shè)計(jì)

11、，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用正方形、長(zhǎng)方形、等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題． 6．如圖，在所給方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形均為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處)．請(qǐng)按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個(gè)三角形，使它們與標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)全等． (1)圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD； (2)圖乙中的平行四邊形ABCD. 注：分割線畫成實(shí)線． 類型四　利用幾何作圖的計(jì)算和判斷 　如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD＝∠A. (1)作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法)； (2)在(1)

12、的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明)． 【解后感悟】這類問題往往是根據(jù)幾種基本作圖法作出圖形，再利用作好的圖形解決問題，需要同學(xué)們能準(zhǔn)確地作出圖形，并能明確作圖過程中所用的知識(shí)，這樣才有利于我們解決以下的證明或計(jì)算問題． 7．(2015·邗江模擬)如圖，是一張平行四邊形紙片ABCD，要求利用所學(xué)知識(shí)將它變成一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法分別如下： 乙：分別作∠A與∠B的平分線AE、BF，分別交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF是菱形． 對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷(　　　　　　　　) A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．

13、甲錯(cuò)誤，乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤 8．(2016·南寧模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，AE∥BC. (1)作∠ADC的平分線DF，與AE交于點(diǎn)F；(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法) (2)在(1)的條件下，若AD＝2，求DF的長(zhǎng)． 類型五　利用幾何作圖解決實(shí)際問題 　兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的

14、點(diǎn)C.(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡) 【解后感悟】本題借助實(shí)際場(chǎng)景，利用幾何基本作圖、線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)運(yùn)用．題中符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，注意避免漏解． 9．(2017·溫州)在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，記頂點(diǎn)都是整點(diǎn)的三角形為整點(diǎn)三角形．如圖，已知整點(diǎn)A(2，3)，B(4，4)，請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格區(qū)域(含邊界)上按要求畫整點(diǎn)三角形． (1)在圖1中畫一個(gè)△PAB，使點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和等于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)； (2)在圖2中畫一個(gè)△PAB，使點(diǎn)P，B橫坐標(biāo)的平方和等于它們縱坐標(biāo)和的4倍． 【探索研究題】 如圖AB是半圓的直徑，圖1

15、中，點(diǎn)C在半圓外；圖2中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求畫圖． (1)在圖1中，畫出△ABC的三條高的交點(diǎn)； (2)在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高． 【方法與對(duì)策】本題屬創(chuàng)新作圖題，是中考熱點(diǎn)題型之一，也是中考命題的方向．考查同學(xué)們對(duì)圓的性質(zhì)的理解、讀圖能力，題(1)是要作點(diǎn)，題(2)是要作高，都是要解決直角問題，用到的知識(shí)就是“直徑所對(duì)的圓周角為直角”． 【忽視求作要求】 已知三角形的兩邊和其中一邊上的中線長(zhǎng)，利用尺規(guī)，求作這個(gè)三角形． 已知：線段a，b為兩邊，m為邊b的中線，求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b，且AM＝MC，BM＝m.

16、 　　　　　　　　 參考答案 第25講　幾何作圖 【考題體驗(yàn)】 1．C　2.B　3.D 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)畫法略．如圖1，△ABC是所求的三角形． (2)如圖2，∵AB＝a＝4，∴BC＝a＝2，∴AC＝＝2，∴AC邊上的高BD＝＝. (3)幾何基本作圖，作圖的一般步驟，尺規(guī)作圖和一般作圖的區(qū)別． 【例題精析】 例1　(1)如圖所示；　(2)∵DC是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠ECD＝∠EDC

17、，∴DE＝CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，設(shè)DE＝CE＝x，則AE＝6－x，∴＝，解得：x＝，即DE＝，故答案為：.　 例2　(1)在上取點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC，畫AC、BC的中垂線，交于點(diǎn)O；　(2)連結(jié)OA，過點(diǎn)A畫AT⊥OA. 例3　(1)如圖1所示； (2)如圖2所示； (3)如圖3所示． 例4　(1)如圖所示，∠ABC＝45°.(AB、AC是小長(zhǎng)方形的對(duì)角線)． (2)線段AB的垂直平分線如圖所示，點(diǎn)M是長(zhǎng)方形AFBE的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是正方形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)，直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線． 　 例5　(1)如圖所示：

18、 (2)DE∥AC.∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，∵∠ACD＝∠A，∠ACD＋∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠BDE，∴DE∥AC. 例6　(1)作出線段AB的垂直平分線；(2)作出角的平分線(2條)；它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C(2個(gè))． 【變式拓展】 1． (1)B　(2)A　2.D　3.D　 4.因?yàn)榈妊苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)到另外兩點(diǎn)距離相等，且∠C＝90°，故利用線段中垂線的性質(zhì)和圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角作圖．如圖，故符合題意的點(diǎn)有2個(gè)． 5． 略　 6.(1)如圖1所示　(2)如圖2所示． 7． C　 8.(1)如圖所示：

19、 (2)∵AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC即∠ADC＝90°，又∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝45°，又∵AE∥BC，∴∠DAF＝∠ADC＝90°，∴△ADF為等腰直角三角形，又∵AD＝2，∴DF＝2.　　 9.(1)設(shè)P(x，y)，由題意x＋y＝2，∴P(2，0)或(1，1)或(0，2)，其中(0，2)不合題意，舍去，△PAB如圖所示．　(2)設(shè)P(x，y)，由題意x2＋42＝4(4＋y)，整數(shù)解為(2，1)或(0，0)等，△PAB如圖所示． 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】圖1點(diǎn)C在圓外，要畫三角形的高，就是要過點(diǎn)B作AC的垂線，過點(diǎn)A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工

20、具(無刻度的直尺，只能作直線或連結(jié)線段)，說明必須用所給圖形本身的性質(zhì)來畫圖(這就是創(chuàng)新作圖的魅力所在)，作高就是要構(gòu)造90度角，顯然由圓的直徑就應(yīng)聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角為90度”．設(shè)AC與圓的交點(diǎn)為E，連結(jié)BE，就得到AC邊上的高BE；同理設(shè)BC與圓的交點(diǎn)為D，連結(jié)AD，就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點(diǎn)就是△ABC的三條高的交點(diǎn)；題(2)是題(1)的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點(diǎn)，受題(1)的啟發(fā)，我們能夠作出△ABC的三條高的交點(diǎn)P，再作射線PC與AB交于點(diǎn)D，則CD就是所求作的AB邊上的高．在圖1中，點(diǎn)P即為所求；在圖2中，CD即為所求． 【錯(cuò)誤警示】①作線段BC＝a，MC＝b，BM＝m.②延長(zhǎng)線段CM至A，使MA＝CM.③連結(jié)BA，則△ABC為所求作的三角形． 13