浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 基本圖形(二)第24講 圓的有關(guān)計(jì)算講解篇

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1、 第24講　圓的有關(guān)計(jì)算 圓的弧長(zhǎng)及扇形面積公式 考試內(nèi)容 考試 要求 圓的半徑是R，弧所對(duì)的圓心角度數(shù)是n b 弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l＝ 扇形面 積公式 S扇＝＝lR 拓展 求運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長(zhǎng)或面積時(shí)，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)所形成圖形的軌跡變化，特別是扇形，需要理清圓心與半徑的變化． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 轉(zhuǎn)化思想：處理不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變換轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解． c 1． (2017·衢州)運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF

2、，AB＝10，CD＝6，EF＝8.則圖中陰影部分的面積是(　　) A.π B．10π C．24＋4π D．24＋5π 2．(2017·溫州)已知扇形的面積為3π，圓心角為120°，則它的半徑為____________________． 3．(2017·臺(tái)州)如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC的夾角為120°，AB長(zhǎng)為30cm，則弧BC的長(zhǎng)為____________________cm.(結(jié)果保留π) 【問題】(1)如圖，將長(zhǎng)為8cm的鐵絲首尾相接圍成半徑為2cm的扇形．則S扇形＝__

3、______cm2. (2) 通過(1)解答，你能聯(lián)想扇形等相關(guān)的哪些知識(shí)． 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式的計(jì)算． 類型一　弧長(zhǎng)的計(jì)算 　(2016·湖州)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，連結(jié)BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°. (1)求證：BD＝CD； (2)若圓O的半徑為3，求的長(zhǎng)． 【解后感悟】本題運(yùn)用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圓心角及半徑． 1． (1)(2015·紹興)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B＝135°，則的長(zhǎng)(　　) A．2π

4、 B．π C. D. (2) 如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7cm的圓柱形罐頭，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90°，則“蘑菇罐頭”字樣的長(zhǎng)度為(　　) A.cm B.cm C.cm D．7πcm 2．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中，，，…的圓心按點(diǎn)A，B，C循環(huán)．如果AB＝1，那么曲線CDEF的長(zhǎng)是　　　　　　　　(結(jié)果保留π)．

5、 類型二　扇形面積的計(jì)算 　(2016·黃石)如圖所示，正方形ABCD對(duì)角線AC所在直線上有一點(diǎn)O，OA＝AC＝2，將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是　　　　　　　　. 【解后感悟】求不規(guī)則圖形的面積，常轉(zhuǎn)化為易解決問題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結(jié)果；陰影部分一般都是不規(guī)則的圖形，不能直接用公式求解，通常有兩條思路，一是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形面積的和、差；二是進(jìn)行圖形的割補(bǔ)．扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式容易混淆，S扇形＝πR2＝lR. 3． 如圖，在?ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB

6、于點(diǎn)E，連結(jié)CE，則陰影部分的面積是____________________(結(jié)果保留π)． 4．(2017·麗水模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是邊AC上的一點(diǎn)，連結(jié)BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一點(diǎn)，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D. (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)若∠A＝60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留根號(hào)和π) 類型三　圓與正多邊形的計(jì)算 　如圖，正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點(diǎn)P是ED的中點(diǎn)，連結(jié)AP，則AP的長(zhǎng)為(　　) A．2 B．4 C.

7、 D. 【解后感悟】本題是正六邊形的有關(guān)計(jì)算，運(yùn)用正六邊形的性質(zhì)將正六邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形或等邊三角形是解題的關(guān)鍵． 5． (2015·金華)如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則的值是(　　) A. B. C. D．2 6．(1)如圖，⊙O的半徑為1cm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則圖中陰影部分面積為　　　　　　　　cm2.(結(jié)果保留π) (2)(2015·深圳模擬)如圖一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分

8、面積均為a，按此規(guī)律；則第n個(gè)正多邊形的面積為____________________． 類型四　平面圖形的運(yùn)動(dòng)問題 　如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)為________． 【解后感悟】本題運(yùn)用了弧長(zhǎng)的計(jì)算、矩形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；根據(jù)題意畫出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)軌跡，是突破解題難點(diǎn)的關(guān)鍵． 7．如圖，BD是汽車擋風(fēng)玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，當(dāng)BD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，求刮雨刷BD掃過的面積． 　　　　　　　　 【探索研究題

9、】 如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，6)，BC的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2，中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中DE的最小值為(　　) A．3 B．4－ C．4 D．6－2 【方法與對(duì)策】這是兩個(gè)正多邊形通過直角坐標(biāo)系的組合，然后利用旋轉(zhuǎn)變換設(shè)置問題，利用幾何最值求解，這類題型是中考命題的方向． 【忽視關(guān)鍵位置的運(yùn)動(dòng)路徑】 如圖，將半徑為2cm的圓形紙板沿著長(zhǎng)和寬分別為16cm和12cm的矩形的外側(cè)滾動(dòng)一周并回到開始的

10、位置，圓心所經(jīng)過的路線長(zhǎng)是________cm. 參考答案 第24講　圓的有關(guān)計(jì)算 【考題體驗(yàn)】 1．A　2.3　3.20π 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)由題意知，弧長(zhǎng)＝8－2×2＝4cm，扇形的面積是×4×2＝4cm2，故答案為：4cm2.　(2)扇形的弧長(zhǎng)及面積等相關(guān)知識(shí)． 【例題精析】 例1　(1)∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；　(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圓周角定理，得的度數(shù)為6

11、0°，故＝＝＝π，答：的長(zhǎng)為π.　 例2　∵OA＝AC＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝，OC＝4，S陰影＝π(42－22)＋()2＝2π＋2，故答案為：2π＋2.　 例3　∵△ABE、△APE為直角三角形，∴AE＝＝＝，∴AP＝＝＝，故選C. 　例4　∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，對(duì)角線AC(BD)＝5.∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，∴點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A′位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)為＝；同理，點(diǎn)A′第一次翻滾到點(diǎn)A″位置時(shí)，則點(diǎn)A′經(jīng)過的路線長(zhǎng)為＝2π，點(diǎn)A″第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A″經(jīng)過的

12、路線長(zhǎng)為＝，則當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)為＋2π＋＝6π.故答案是6π. 【變式拓展】 1．(1)B　(2)B　2.4π　3.3－π 4. (1) 如圖，連結(jié)OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOC＝2∠1，∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°∵OD為半徑，∴AC是⊙O的切線；　(2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在Rt△ODC中，tan60°＝，DC＝ODtan60°＝2×＝2，∴SRt△ODC＝OD·DC＝×2×2＝2，S扇形ODE＝＝＝π，∴S陰影＝SRt△

13、ODC－S扇形ODE＝2－π.　 5. C　6.(1)　(2)a　 7.在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積為扇環(huán)的面積，即S陰影＝S扇形AOB－S扇形COD＝π(OA2－OC2)＝π×(652－152)＝1000π(cm2)．答：刮雨刷BD掃過的面積是1000π cm2. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】在正三角形ABC中，邊長(zhǎng)為2，易得AD＝；在正六邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)一周的過程中，若DE的值最小，則E點(diǎn)位于y軸的正半軸上，在正六邊形中易得OE＝2，此時(shí)DE＝AO－AD－OE＝6－－2＝4－.故選B. 【錯(cuò)誤警示】圓心所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為2×(16＋12)＋2π×2＝(4π＋56)(cm)． 8