浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開(kāi)放探索問(wèn)題 第35講 方程、函數(shù)思想型問(wèn)題講解篇

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1、 第35講 方程、函數(shù)思想型問(wèn)題 (建議該講放第16講后教學(xué)) 內(nèi)容 特性 1.在解決問(wèn)題時(shí),把某一個(gè)未知量或幾個(gè)未知量用字母來(lái)表示,根據(jù)已知的條件或有關(guān)的性質(zhì)、定理或公式,建立起未知量和已知量之間的等量關(guān)系,列出方程或方程組,從而使問(wèn)題獲得解決的思想方法稱為方程思想. 2.函數(shù)思想是指用變量和函數(shù)來(lái)思考問(wèn)題的一種方法,借助函數(shù)知識(shí)來(lái)探求變量之間關(guān)系的一種思維方式,以生產(chǎn)、生活和學(xué)科問(wèn)題為背景,結(jié)合方程、幾何圖形等知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解決的一種解題策略,是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型. 解題 策略 (1)解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí),注意數(shù)形結(jié)合,在函數(shù)、方程、不等式之間靈活轉(zhuǎn)

2、化; (2)解決幾何綜合問(wèn)題時(shí),常從面積關(guān)系,勾股定理、相似性質(zhì)尋求關(guān)系列方程、函數(shù)求解; (3)解決生活中應(yīng)用問(wèn)題時(shí),從一些常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系模型入手,建立方程、函數(shù)求解; (4)對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題,構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的函數(shù),抓住事物在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì),運(yùn)用函數(shù)基本性質(zhì)和方法,從而更快更好地解決問(wèn)題. 基本 思想 利用方程思想解決問(wèn)題時(shí),經(jīng)常涉及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想;利用函數(shù)思想解決問(wèn)題時(shí),充分運(yùn)用函數(shù)數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題,經(jīng)常涉及函數(shù)與方程、不等式,函數(shù)與圖象. 類型一 運(yùn)用方程思想求解幾何綜合性問(wèn)題  如圖,在△ABC中,BA=BC=20 cm

3、,AC=30 cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí)Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒. (1)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC? (2)△APQ能否與△CQB相似?若能.求出AP的長(zhǎng);若不能.請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解后感悟】由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,可列出分式方程,從而求解;在已知一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的前提下考慮兩個(gè)三角形相似時(shí),有兩種情況,不可遺漏. 1. (2016·舟山)如圖,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,過(guò)點(diǎn)A,C作相距為2的平行線段AE,CF,分別交CD,AB于點(diǎn)E,F(xiàn),則DE的長(zhǎng)是(  )

4、 A. B. C.1 D. 類型二 運(yùn)用函數(shù)思想求解方程、不等式問(wèn)題  (2017·杭州)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)y1=(x+a)(x-a-1),其中a≠0. (1)若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2),求函數(shù)y1的表達(dá)式; (2)若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經(jīng)過(guò)x軸上同一點(diǎn),探究實(shí)數(shù)a,b滿足的關(guān)系式; (3)已知點(diǎn)P(x0,m)和Q(1,n)在函數(shù)y1的圖象上,若m<n,求x0的取值范圍. 【解后感悟】二次函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為方程,解(1)的關(guān)鍵是利用待定

5、系數(shù)法;解(2)的關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式;解(3)的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì),解不等量關(guān)系,同時(shí)要分類討論,以防遺漏. 2.(1)已知函數(shù)y=x和y=的圖象如圖,則不等式>x的解集為(  ) A.-2≤x<2 B.-2≤x≤2 C.x<2 D.x>2 (1)圖 (2)圖 (2)如圖,已知函數(shù)y=-與y=ax2+bx(a>0,b>0)的圖象交于點(diǎn)P,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,則關(guān)于x的方程ax2+bx+=0的解為     

6、   . 類型三 運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解幾何最值問(wèn)題  (2016·黃岡模擬)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,現(xiàn)將一塊邊長(zhǎng)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于AB的中點(diǎn)O,兩直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C,然后將三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α(0°<α<90°),旋轉(zhuǎn)后,直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H, 四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板與△ABC的重疊部分(如圖所示),那么,在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中: (1)線段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論; (2)連結(jié)HK,設(shè)BH=x. ①當(dāng)△CKH的面積為時(shí),求出x的

7、值; ②試問(wèn)△OHK的面積是否存在最小值,若存在,求出此時(shí)x的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.         【解后感悟】本題利用方程、函數(shù)思想把問(wèn)題構(gòu)建為方程、函數(shù)模型,再用方程、函數(shù)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程、函數(shù)關(guān)系式. 3. (2015·德州模擬)一個(gè)包裝盒的設(shè)計(jì)方法如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形的包裝盒,E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm.若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)

8、最大,試問(wèn)x應(yīng)取的值為        cm. 類型四 運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解三角形、四邊形與圓問(wèn)題  (2015·汕尾)如圖,已知直線y=-x+3分別與x、y軸交于點(diǎn)A和B. (1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo); (2)求原點(diǎn)O到直線l的距離; (3)若圓M的半徑為2,圓心M在y軸上,當(dāng)圓M與直線l相切時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo). 【解后感悟】此題屬于一次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:坐標(biāo)與圖形性質(zhì),一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),相似三角形的判定與性質(zhì),以及點(diǎn)到直線的距離公式,借助這些知識(shí),再利用方程、函數(shù)思想來(lái)解決問(wèn)題.以此設(shè)計(jì)問(wèn)題在中考中出現(xiàn)的頻率很高,是中考中比較典型的題型.

9、 4. 如圖,已知拋物線y=x2+bx與直線y=2x交于點(diǎn)O(0,0),A(a,12).點(diǎn)B是拋物線上O,A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C,E. (1)求拋物線的函數(shù)解析式; (2)若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),求BC的長(zhǎng); (3)以BC,BE為邊構(gòu)造矩形BCDE,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),求出m,n之間的關(guān)系式.           類型五 運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解實(shí)際問(wèn)題  某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品,每件制造成本為18元,試銷過(guò)程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(萬(wàn)件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=-2x+100.(利潤(rùn)

10、=售價(jià)-制造成本) (1)寫(xiě)出每月的利潤(rùn)z(萬(wàn)元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),廠商每月能獲得350萬(wàn)元的利潤(rùn)?當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),廠商每月能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少? (3)根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定,這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不能高于32元,如果廠商要獲得每月不低于350萬(wàn)元的利潤(rùn),那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬(wàn)元? 【解后感悟】本題是通過(guò)方程、函數(shù)思想解決實(shí)際問(wèn)題,一是通過(guò)方程思想列函數(shù)解析式,二是通過(guò)函數(shù)思想解決變量間關(guān)系. 5.(2015·濟(jì)寧)小明到服裝店參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問(wèn)題:

11、 服裝店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種服裝,甲種每件進(jìn)價(jià)80元,售價(jià)120元;乙種每件進(jìn)價(jià)60元,售價(jià)90元.計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種服裝共100件,其中甲種服裝不少于65件. (1)若購(gòu)進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過(guò)7500元,則甲種服裝最多購(gòu)進(jìn)多少件? (2)在(1)的條件下,該服裝店對(duì)甲種服裝以每件優(yōu)惠a(0<a<20)元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng),乙種服裝價(jià)格不變,那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)? 【開(kāi)放探究題】 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時(shí)間x (時(shí))的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=-200x2

12、+400x刻畫(huà);1.5時(shí)后(包括1.5時(shí))y與x可近似地用反比例函數(shù)y=(k>0)刻畫(huà)(如圖所示). (1)根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算: ①喝酒后幾時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值?最大值為多少? ②當(dāng)x=5時(shí),y=45.求k的值; (2)按國(guó)家規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬于“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否駕車去上班?請(qǐng)說(shuō)明理由.          【方法與對(duì)策】本題實(shí)質(zhì)是通過(guò)方程、函數(shù)思想解決反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題,根據(jù)圖象得

13、出正確信息是解題關(guān)鍵, 這是中考中的新題型. 【忽視變量范圍而出錯(cuò)】 在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)(P與B、C不重合),過(guò)點(diǎn)P作AP⊥PE,垂足為P,PE交CD于點(diǎn)E. (1)連結(jié)AE,當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí),求BP的長(zhǎng); (2)若設(shè)BP為x,CE為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)x取何值時(shí),y的值最大?最大值是多少? (3)若PE∥BD,試求出此時(shí)BP的長(zhǎng). 參考答案 第35講 方程、函數(shù)思想型問(wèn)題 【例題精析】 例1 (1)根據(jù)題意AP=4xcm,AQ=AC-

14、QC=(30-3x)cm,若PQ∥BC,則=.則=,解得x=.所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s時(shí),PQ∥BC. (2)因?yàn)椤螦=∠C,所以當(dāng)=或=時(shí),△APQ能與△CQB相似.①當(dāng)=時(shí),=,解得x=,所以AP=4x=cm.②當(dāng)=時(shí),=,解得x1=5,x2=-10(舍去).所以AP=4x=20cm.所以當(dāng)AP=cm或20cm時(shí),△APQ與△CQB相似.  例2 (1)函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2),得(a+1)(-a)=-2,解得a1=-2,a2=1,函數(shù)y1的表達(dá)式為y=(x-2)(x+2-1),化簡(jiǎn),得y=x2-x-2;或函數(shù)y1的表達(dá)式為y=(x+1)(x-2)化簡(jiǎn),得y=x2-x-2,綜上所述:

15、函數(shù)y1的表達(dá)式為y=x2-x-2; (2)當(dāng)y=0時(shí),(x+a)(x-a-1)=0,解得x1=-a,x2=a+1,y1的圖象與x軸的交點(diǎn)是(-a,0),(a+1,0),當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過(guò)(-a,0)時(shí),-a2+b=0,即b=a2;當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過(guò)(a+1,0)時(shí),a2+a+b=0,即b=-a2-a; (3)當(dāng)P在對(duì)稱軸的左側(cè)(含頂點(diǎn))時(shí),y隨x的增大而減小,(1,n)與(0,n)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,由m<n,得0<x0≤;當(dāng)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),y隨x的增大而增大,由m<n,得<x0<1,綜上所述:x0的取值范圍為0<x0<1.  例3 (1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,BH=CK,四邊形CHOK的

16、面積始終保持不變,其值為△ABC面積的一半.理由如下:連結(jié)OC.∵△ABC為等腰直角三角形,O為斜邊AB的中點(diǎn),CO⊥AB,∴∠OCK=∠B=45°,CO=OB.又∵∠COK與∠BOH均為旋轉(zhuǎn)角,∴∠COK=∠BOH=α,在△COK和△BOH中,∴△COK≌△BOH,∴BH=CK,S四邊形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC=9. (2)①由(1)知CK=BH=x,∵BC=6,∴CH=6-x,根據(jù)題意,得CH·CK=,即(6-x)x=5,解這個(gè)方程得x1=1,x2=5,此兩根滿足條件:0

17、KH的面積為S,由(1)知四邊形CHOK的面積為9,∴S△OKH=S四邊形CHOK-S△CKH=9-x(6-x)=(x2-6x)+9=(x-3)2+,∵>0,∴當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)S△OKH有最小值,∵x=3滿足條件0

18、l的距離為. (3)過(guò)M作MD⊥AB交AB于點(diǎn)D,當(dāng)圓M在直線l下方與直線相切時(shí),MD=2,在△BOA和△BDM中,∵∠OBA=∠DBM,∠BOA=∠BDM,∴△BOA∽△BDM,∴=,∴BM==,∴OM=OB-BM=,當(dāng)⊙M在直線l上方與直線相切時(shí),同理可得OM=OB+BM=,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(0,)或M(0,).  例5 (1)∵z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1800,∴z與x之間的函數(shù)解析式為z=-2x2+136x-1800. (2)由z=350,得350=-2x2+136x-1800,解這個(gè)方程得x1=25,x2=43.∴銷售單價(jià)定為25

19、元或43元時(shí),廠商每月能獲得350萬(wàn)元的利潤(rùn).∵z=-2x2+136x-1800=-2(x-34)2+512,∴當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí),每月能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是512萬(wàn)元.  (3)結(jié)合(2)及函數(shù)z=-2x2+136x-1800的圖象(如圖所示)可知,當(dāng)25≤x≤43時(shí),z≥350.又由限價(jià)32元,得25≤x≤32.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),得y=-2x+100中y隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=32時(shí),每月制造成本最低.最低成本是18×(-2×32+100)=648(萬(wàn)元).∴所求每月最低制造成本為648萬(wàn)元. 【變式拓展】 1. D 2.(1)A (2)x=-3 3.15  4. (

20、1)∵點(diǎn)A(a,12)在直線y=2x上,∴12=2a,解得:a=6,又∵點(diǎn)A是拋物線y=x2+bx上的一點(diǎn),將點(diǎn)A(6,12)代入y=x2+bx,可得b=-1,∴拋物線解析式為y=x2-x.  (2)∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn),∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,6),把y=6代入y=x2-x,解得:x1=1+,x2=1-(舍去),故BC=1+-3=-2. (3)∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n,n),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,2m),∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,2m),把點(diǎn)B(n,2m)代入y=x2-x,可得m=n2-n,∴m、n之間的關(guān)系式為m=n2-n.  5.(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝x件,由題意可知:80x+60

21、(100-x)≤7500,解得:x≤75.答:甲種服裝最多購(gòu)進(jìn)75件. (2)設(shè)總利潤(rùn)為W元,因?yàn)榧追N服裝不少于65件,所以65≤x≤75.W=(40-a)x+30(100-x)=(10-a)x+3000.方案1:當(dāng)0<a<10時(shí),10-a>0,W隨x的增大而增大,所以當(dāng)x=75時(shí),W有最大值,則購(gòu)進(jìn)甲種服裝75件,乙種服裝25件;方案2:當(dāng)a=10時(shí),所有方案獲利相同,所以按哪種方案進(jìn)貨都可以;方案3:當(dāng)10<a<20時(shí),10-a<0,W隨x的增大而減小,所以當(dāng)x=65時(shí),W有最大值,則購(gòu)進(jìn)甲種服裝65件,乙種服裝35件. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)①當(dāng)x=-=1時(shí),y=200,

22、∴喝酒后1時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值,最大值為200毫克/百毫升.?、凇弋?dāng)x=5時(shí),y=45,且(5,45)在反比例函數(shù)y=(k>0)圖象上,∴把(5,45)代入y=得45=,解得k=225.  (2)把y=20代入反比例函數(shù)y=得x=11.25.∴喝完酒經(jīng)過(guò)11.25時(shí)為早上7:15.∴第二天早上7:15以后才可以駕駛,7:00時(shí)不能駕車去上班. 【錯(cuò)誤警示】(1)由△APE≌△ADE可得AP=AD=3,在Rt△ABP中,運(yùn)用勾股定理即可求得BP的長(zhǎng).∵△APE≌△ADE,∴AP=AD=3.在Rt△ABP中,AB=2,∴BP===.  (2)由AP⊥PE,得Rt△ABP∽R(shí)t△PCE,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式.化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)x=時(shí),y的值最大,最大值是.∵AP⊥PE,∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCE.∴=,即=,∴y=-x2+x,∵y=-x2+x=-(x-)2+,∴當(dāng)x=時(shí),y的值最大,最大值是. (3)由PE∥BD,得△CPE∽△CBD,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式求得BP的長(zhǎng).設(shè)BP=x,由(2)得CE=y(tǒng)=-x2+x,∵PE∥BD,∴△CPE∽△CBD.∴=,即=,化簡(jiǎn)得3x2-13x+12=0,解得x1=或x2=3(不合題意,舍去),∴當(dāng)BP=時(shí),PE∥BD. 12

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