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1、
第34章 抽屜原理
★★34.1 有一個(gè)圓,經(jīng)過(guò)圓心任意作993條直徑,它們與圓共有1986個(gè)交點(diǎn),在每個(gè)交點(diǎn)處分別填寫從1到496中的一個(gè)數(shù)(可以重復(fù)填寫).試證:一定可以找到兩條直徑,它們兩端的數(shù)的和相等.
★★34.2 一個(gè)正方形被分成了11×11=121個(gè)大小相同的小方格.在每一個(gè)小方格中,任意填寫1,2,3,…,30中的一個(gè)數(shù).求證:一定能夠找到兩對(duì)小方格,兩對(duì)小方格的中心連線的中點(diǎn)是同一點(diǎn),并且兩對(duì)小方格中的數(shù)字之和相等.
★★34.3 能否在10行、10列的方格表的每個(gè)空格中分別填上1、2、3這三個(gè)數(shù)之一,而使大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的每個(gè)數(shù)
2、字和互不相同?對(duì)你的結(jié)論加以證明.
★★★34.4 一個(gè)體育代表團(tuán)共有997名運(yùn)動(dòng)員,他們著裝運(yùn)動(dòng)服上的號(hào)碼兩兩不同,但都小于1992.求證:至少有一名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼數(shù)等于另外兩名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼數(shù)之和.
★★★34.5 一次圍棋大賽先后進(jìn)行了11個(gè)星期,有一位圍棋新秀,他的戰(zhàn)績(jī)是每日至少勝一次,每星期最多勝12次.由此記錄一定可以推知,在一段連續(xù)的日子里,這一位圍棋新秀不多不少地正好勝了21次.
★★★34.6 已知a1,a2,…,a100是由1、2組成的數(shù)列,并且從任何一項(xiàng)起,連續(xù)10個(gè)數(shù)之和都不超過(guò)16,則必存在h和k,其中h>k,使得ak+1+ak+2+…ah=39.
★★34
3、.7 從1,2,3,…,9中任取5個(gè)數(shù),求證:其中至少有兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的.
★★34.8 在1到2n的正整數(shù)中任取n+1個(gè)數(shù),證明:一定存在兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的.
★★34.9 在任意2n個(gè)連續(xù)整數(shù)中任取n+1個(gè)數(shù),求證:其中必有兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的差恰等于n.
★★34.10 在不超過(guò)100的自然數(shù)中任取55個(gè)不同的數(shù).試問(wèn):在它們之中是否一定能找出兩個(gè)數(shù)來(lái),使它們的差等于9?
★★34.11 求證:由小于100的任意27個(gè)不同的奇數(shù)所組成的集合中,必定有一對(duì)數(shù),其和為102.
★★34.12 在1,2,3,…,99,100這100個(gè)正整數(shù)中任取n個(gè)不同的奇數(shù),必有兩個(gè)之和等于1
4、02,求n的小值.
★★34.13 證明:從2、3、4、5、6、7、8、9這8個(gè)自然數(shù)中任意取6個(gè),則至少取到這樣兩個(gè)數(shù),它們的乘積是12的倍數(shù).
★★34.14 在1至100這100個(gè)自然數(shù)中,任取76個(gè),求證:一定存在4個(gè)數(shù),其中有兩個(gè)數(shù)之和等于另外兩個(gè)數(shù)之和.
★★34.15 在1至100這100個(gè)自然數(shù)中,任取68個(gè)數(shù).求證:其中至少有3個(gè)數(shù),它們中有兩個(gè)數(shù)之和恰等于第3個(gè)數(shù)的2倍.
★★34.16 在1至100這100個(gè)自然數(shù)中,任取29個(gè),證明:其中至少有3個(gè)數(shù),恰是十位數(shù)字相同的3個(gè)兩位數(shù).
★★★34.17 證明:在任意的11個(gè)無(wú)窮小數(shù)中,一定可
5、以找到兩個(gè)小數(shù),它們的差或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字0,或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字9.
★34.18 求證:任意n+1個(gè)整數(shù)中,總有兩個(gè)整數(shù)之差能被n整除.
★★34.19 已知12個(gè)不同的兩位數(shù),證明:這些數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù),它們的差是由兩個(gè)相同數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù).
★★34.20 求證:對(duì)任意整數(shù)N,存在N的一個(gè)倍數(shù),它是僅由數(shù)字2與0組成.
★★34.21 證明:存在著形如(1≤k≤1993)的一個(gè)整數(shù),它是1993的倍數(shù).
★★34.22 證明:對(duì)任給的1997個(gè)自然數(shù)a1,a2,…,a1997,總可以找到其中連續(xù)的若干個(gè)數(shù),使它們的和是1997的倍數(shù).
★★34.23 任給7
6、個(gè)不同的整數(shù),求證:必有兩個(gè)整數(shù).其和或差是10的倍數(shù).
★★★34.24 任選83個(gè)整數(shù),求證:一定可以從中選出4個(gè)整數(shù),使得當(dāng)用乘號(hào)、括號(hào)、減號(hào)把這4個(gè)數(shù)連接起來(lái)后,其運(yùn)算結(jié)果恰可被1992整除.
★★34.25 把既約分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)形式時(shí),必是有限小數(shù)或是無(wú)限循環(huán)小數(shù),試證之.
★★34.26 在平面直角坐標(biāo)系中,任取5個(gè)整點(diǎn),證明:其中存在兩個(gè)點(diǎn),它們的連線中點(diǎn)仍是整點(diǎn).
★★34.27 定義:有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)中,如果x1,x2,…,xn均為整數(shù),我們就稱之為n維整點(diǎn).任意地給定2n+1個(gè)n維整點(diǎn),求證:從中可以選出兩個(gè)n維整點(diǎn)(x1,x2,…,xn)與(
7、y1,y2,…,yn)來(lái),使得(,,…,)是一個(gè)n維整點(diǎn).
★★34.28 某人連續(xù)織布10h,共織布50m.已知她第一小時(shí)織6.5m,最后一小時(shí)織4m.證明:一定存在連續(xù)的兩小時(shí),在這兩小時(shí)內(nèi)她至少織了10m.
★★★34.29 考慮所有形如x+y,其中x和y都是絕對(duì)值不大于1993的整數(shù).證明:在這些數(shù)中一定存在一個(gè)數(shù)x0+y0,使得|x0+y0|<,其中x0、y0不全為0.
★★★34.30 證明:存在不全為0的整數(shù)a、b、c,且每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值均為小于106,使得|a+b+a|<.
★★34.31.在邊長(zhǎng)為1的正三角形中,在取7個(gè)點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不共線.證明:其中必
8、有三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積不超過(guò).
★★★34.32.設(shè)n≥2,單位圓中給定2n個(gè)點(diǎn),任三點(diǎn)不共線.求證:必存在三點(diǎn).以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積小于.
★★★34.33.在邊長(zhǎng)為1的正三角形中給定361個(gè)點(diǎn),求證:存在一個(gè)半徑為的圓,至少含其中的25個(gè)點(diǎn).
★★34.34.在邊長(zhǎng)有限的正方形內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)r>0,這些點(diǎn)中至少有一點(diǎn).在以其為圓心,以r為半徑的圓內(nèi)仍含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),試證明之.
★★★34.35.平面上任意給定1980個(gè)點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的距離均大于.求證:其中必有220個(gè)點(diǎn),彼此之間的距離都不小于2.
★★34.36.正方形被9條直線分割,每一條都與正方形
9、的一對(duì)對(duì)邊相交,把該正方形分成面積之比為2:3的兩個(gè)梯形.求證:這9條直線中至少有3條相交于同一點(diǎn).
★★34.37.910瓶紅、藍(lán)墨水,排成130行,每行7瓶.證明:不論怎樣排列,紅、藍(lán)墨水瓶的顏色次序必定出現(xiàn)下述兩種情況之一:(1)至少有三行完全相同;(2)至少有兩組(四行),每組的兩行完全相同.
★★34.38.如圖所示,3行7列小方格每一個(gè)染上紅色或藍(lán)色.證明:
存在一個(gè)矩形,它的四個(gè)角上的小方格顏色相同.
★★★34.39.在3×4方格網(wǎng)的每個(gè)小方格中心都放有一枚圍棋子,問(wèn):至少要去掉多少枚圍棋子,才能使得剩下的棋子中任意4枚都不構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)?
★★34.40.如圖
10、所示是一個(gè)等邊三角形.其由25個(gè)小的等邊三角形
構(gòu)成,用數(shù)字1,2,3,…,8和9填滿一個(gè)三角形網(wǎng)格,每
個(gè)小三角形填寫一個(gè)數(shù)字.將網(wǎng)格中由3個(gè)相鄰小三角形構(gòu)
成的梯形稱為“3-梯形”,梯形內(nèi)3個(gè)整數(shù)的和稱為“梯形
數(shù)”.問(wèn):能否給出一種填法,使任意兩個(gè)“梯形數(shù)”均不相
同?如果能,請(qǐng)舉出一例;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
★★34.41.在正七邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處放著黑色或白色的棋子.證明:存在同一顏色的三個(gè)棋子,它位于某個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)上.
★★★34.42.一正九邊形各頂點(diǎn)分別染紅、綠兩色.任三頂點(diǎn)確定一個(gè)三角形,若三頂點(diǎn)同色,則稱之為綠(紅)三角形.求證:必存在兩個(gè)同色三角形,顏
11、色相同且全等.
★★★34.43.無(wú)窮方格紙片的每個(gè)方格都染上n種顏色之一(n≥2).證明:能找出同樣顏色的四個(gè)方格,其中心分別是某個(gè)矩形的頂點(diǎn),此矩形的邊平行于方格紙的分格線.
★★34.44.任意凸九邊形中,一定有三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C,使得∠ABC≤20°,并證明之.
★★★34.45.平面上任意給定六點(diǎn),任三點(diǎn)不共線.求證:總能找到三個(gè)點(diǎn),得以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中有不超過(guò)30°的角.將30°改成29°結(jié)論是否還對(duì)?
★★34.46.證明:平面上兩兩相交的七條直線交得的角中至少有一個(gè)小于26°.
★★34.47.把1~100這100個(gè)自然數(shù)任意排在一個(gè)圓上,證明:一定有三個(gè)相鄰的
12、數(shù),它們的和不小于153.
★★34.48.正200邊形的頂點(diǎn)隨意地標(biāo)上數(shù)0,1,…,1999(每一個(gè)數(shù)只標(biāo)給一個(gè)頂點(diǎn)).求證:必有一個(gè)頂點(diǎn),與它相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和大于等于2999.
★★34.49.平面上有n(n≥4)個(gè)互不相同的點(diǎn)在每?jī)牲c(diǎn)之間連起直線段,已知其中長(zhǎng)度等于d的線段有n+1條.求證:從這n個(gè)點(diǎn)中可以找出一個(gè)點(diǎn)來(lái),使得從這一點(diǎn)出發(fā)的線段中至少有3條的長(zhǎng)度等干d.
★★34.50.如圖所示,一個(gè)圓盤分內(nèi)外兩圈,均等分10個(gè)“格子”,
且分別將1,2,3,…,10這10個(gè)數(shù)填入內(nèi)外圈10個(gè)格子中
(每格填一數(shù),不一定按大小次序).若內(nèi)圈可以繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng),
求證:
13、在轉(zhuǎn)動(dòng)中一定有某個(gè)時(shí)刻內(nèi)圈的10個(gè)數(shù)與外圈的10個(gè)
數(shù)每對(duì)乘積之和大于302.
★★34.51.兩個(gè)大小不同的同心圓盤各被等分成100個(gè)扇形.從每一個(gè)圓盤上獨(dú)立地.隨機(jī)地取出50個(gè)部分涂上黑色.把小圓盤繞中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)到一個(gè)內(nèi),外扇形對(duì)齊的位置之后,再計(jì)算內(nèi)、外顏色相同的局形的總數(shù).有趣的是,不論原先內(nèi)、外盤的面色是怎樣涂的,一定存在某個(gè)位置,使得顏色能匹配的扇形個(gè)數(shù)不小于50.
★★34.52.有兩個(gè)同心圓盤,各分成n個(gè)相等的小格,外盤固定,內(nèi)盤可以轉(zhuǎn)動(dòng),內(nèi)、外兩盤的小格中,分別有寫數(shù);.它們適合
求證:一定可以將內(nèi)盤轉(zhuǎn)到一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢茫沟脙?nèi)、外兩盤上的小格對(duì)齊,這時(shí)兩盤上n
14、個(gè)對(duì)齊了的小格中的兩數(shù)乘積之和為一正數(shù).
★★34.53.普拉脫蘭奇國(guó)的某些城市之間是有電話聯(lián)系的,證明:在普拉脫蘭奇國(guó)中至少可以我到兩個(gè)城市,它們和同樣多個(gè)城市有電話聯(lián)系.
★★34.54.任意給定70個(gè)不超過(guò)200的互不相同的正整數(shù),求證:其中必有某兩個(gè)數(shù)的差或?yàn)?,或?yàn)?,或?yàn)?.
★★★34.55.設(shè)一個(gè)整數(shù)被某個(gè)數(shù)M(M≠1)整除的判別法則不依賴于整數(shù)數(shù)字190的次序.證明:M等于3或9.
★★★34.56.在100×100的象棋盤的格子中都寫上整數(shù),使得任意相鄰格子(具有公共邊的格點(diǎn))中數(shù)的差不超過(guò)20,證明:在盤中至少存在三個(gè)格子寫有同一個(gè)數(shù).
★★★34.57.A是-個(gè)16位的正整數(shù).證明:可以從A中連續(xù)取出連續(xù)若干位數(shù)字,使得其乘積是完全平方數(shù).例如,A中某位數(shù)字是4,則就取這個(gè)數(shù)字.
★★★34.58.設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)取下列10個(gè)素?cái)?shù)2、3、5、11、13、17、19、23、29之一.求證:必有連續(xù)的若干項(xiàng),其積是完全平方數(shù).
★34.59.把128個(gè)半徑是1的圓放到一個(gè)邊長(zhǎng)為20的正方形內(nèi).證明:不管怎樣放置,必有兩個(gè)圓有公共點(diǎn).
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