第4講 二次函數(shù)綜合應(yīng)用

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1、word 第4講： 二次函數(shù)綜合應(yīng)用 一、 建構(gòu)新知 y=ax2+bx+c=0〔a≠0〕，a的符號由拋物線的開口方向決定，c的符合由拋物線與y軸交點的位置確定，b的符號由a與對稱軸的位置決定，拋物線的增減性由對稱軸決定，當拋物線開口向上時，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，對稱軸右邊y隨x的增大而增大；當拋物線開口向下時，對稱軸左邊y隨x的增大而增大，對稱軸右邊y隨x的增大而減小．此外拋物線解析式中y=0得到一元二次方程的解即為拋物線與x軸交點的橫坐標． 2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：對于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是把握圖象與二次函數(shù)各項系數(shù)之間的關(guān)系，同時觀察

2、圖象與x軸，y軸交點的位置，注意二次函數(shù)值y隨自變量x的變化要以對稱軸為分界點. 對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：〔1〕開口向上a>0；開口向下a<0.〔2〕c>0圖象與y軸的正半軸有交點；c=0圖象過坐標原點；c<0圖象與y軸的負半軸有交點；〔3〕根據(jù)對稱軸和a符號確定b的符號以與a、b之間的數(shù)量關(guān)系；〔4〕根據(jù)x=1時y的值來確定a+b+c的符號；根據(jù)x=－1時y的值來確定a－b+c的符號；x=2時y的值來確定4a+2b+c的符號；根據(jù)x=－2時y的值來確定4a－2b+c的符號.〔5〕比擬函數(shù)值的大小，應(yīng)根據(jù)二次函數(shù)的對稱性把兩個點歸納在對稱軸的同側(cè)，然后利用函

3、數(shù)的增減性比擬大小. 3.二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)想相關(guān)函數(shù)與方程、不等式、坐標交點、圖象交點分析，這是解決這類問題的思考點，數(shù)形結(jié)合思想方法是解題中常用方法. 二、經(jīng)典例題 例1.如圖，拋物線于x軸交于A〔－1,0〕、B〔3,0〕兩點，與y軸交于點C〔0,3〕. 〔1〕求拋物線的解析式. 〔2〕設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形，假如存在，求出符合條件的點P的坐標；假如不存在，請說明理由. 〔3〕假如點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標. 例2.如圖，拋物線經(jīng)過A〔－

4、1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，－〕三點． 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA＋PC的值最小，求點P的坐標； 〔3〕點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？假如存在，求點N的坐標；假如不存在，說明理由． y x O A B C 例3. 如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=x2+2x與x軸相交于O、B，頂點為A，連接OA． 〔1〕求點A的坐標和∠AOB的度數(shù)； 〔2〕假如將拋物線y=x2+2x向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線m，其頂點為點C．連接OC和A

5、C，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說明理由； 〔3〕在〔2〕的情況下，判斷點C′是否在拋物線y=x2+2x上，說明理由； 〔4〕假如點P為x軸上的一個動點，試探究在拋物線m上是否存在點Q，使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？假如存在，請直接寫出點Q的坐標；假如不存在，請說明理由． 三、根底演練 1．如圖，二次函數(shù)的圖象的頂點為.二次函數(shù) 的圖象與軸交于原點與另一點，它的頂點在函數(shù)的圖象的對稱軸上． x y O 1 2 3 2 1 A 〔1〕求點與點的坐標

6、； 〔2〕當四邊形為菱形時，求函數(shù)的關(guān)系式． 2．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C〔0，－1〕，ΔABC的面積為． 〔1〕求該二次函數(shù)的關(guān)系式； 〔2〕 在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使四邊形ABCD為直角梯形？假如存在，求出點D的坐標；假如不存在，請 說明理由． 3．，如圖拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側(cè). 點B的坐標為〔1，0〕，OC=3OB. 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕假如點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值： 〔

7、3〕假如點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？假如存在，求P的坐標；假如不存在，請說明理由． 四、直擊中考 1．〔2013某某〕二次函數(shù)y =ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下列圖，在如下五個結(jié)論中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，錯誤的個數(shù)有〔　　〕 A． 1 B． 2個 C． 3個 D． 4個 2.〔2013某某〕對于拋物線y＝－〔x＋1〕2＋3，如下結(jié)論：①拋物線的開口向下；②對稱軸為直線x＝1；③頂點坐標為〔－1，3〕

8、；④x＞1時，y隨x的增大而減小，其中正確結(jié)論的個數(shù)為〔　　〕 A．1B．2 C．3D．4 3.〔2013某某〕給出如下命題與函數(shù)y=x，y=x2和y=①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果時，那么a＜﹣1．如此〔　　〕 A．正確的命題是①④B．錯誤的命題是②③④ C．正確的命題是①②D．錯誤的命題只有③ 4.〔2013某某〕兩點均在拋物線上，點是該拋物線的頂點，假如，如此的取值X圍是〔 〕 A．B．C．D． 5．〔2013某某〕如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝經(jīng)過平移得到拋物線y＝，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的

9、陰影局部的面積為〔　　〕 A．2B．4C．8D．16 O x y 1 -1 6．〔2013某某〕如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為〔2，0〕，假如拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，如此實數(shù)k的取值X圍是． 7.〔2013某某〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下列圖，給出如下結(jié)論：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③假如－1＜m＜n＜1，如此m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正確的結(jié)論是〔寫出你認為正確的所有結(jié)論序號〕. 8．(2013某某)假如拋物線y＝x2＋bx＋c

10、與x軸只有一個交點，且過點A(m，n)，B(m＋6，n)，如此n＝______． 9.〔2013某某〕如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，拋物線經(jīng)過三點A、B、O(O為原點)． 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C，使的周長最?。偃绱嬖冢蟪鳇cC的坐標．假如不存在，請說明理由； 〔3〕如果點P是該拋物線上軸上方的一個動點，那么是否有最大面積．假如有，求出此時P點的坐標與的最大面積；假如沒有，請說明理由．〔注意：此題中的結(jié)果均保存根號〕． 10．〔2013某某〕如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A，C分別是一次函數(shù)

11、的圖象與y軸、x軸的交點，點B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形. (1)試求b，c的值、并寫出該二次函數(shù)表達式； (2)動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動． ①當P運動到何處時，有PQ⊥AC? ②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小?此時四邊形的面積是多少？ x y O B A D C 五、挑戰(zhàn)競賽 1.如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OB=OC=3OA。直線與軸交于點D，求∠DBC－∠CBE. A B C

12、 D E O 六、每周一練 圖像的一局部，其對稱軸是，且過點〔－3,0〕，如下說法：①②③④假如是拋物線上兩點，如此，其中說法正確的答案是〔 〕 A.①②B.②③C. ①②④D.②③④ 2．在平面直角坐標系中，直線y＝kx(k為常數(shù))與拋物線y＝x2－2交于A，B兩點，且A點在y軸左側(cè)，P點的坐標為(0，－4)，連接PA，PB．有以下說法：①PO2＝PA·PB； ②當k＞0時，(PA＋AO)(PB－BO)的值隨k的增大而增大；③當k＝－時，BP2＝BO·BA； ④△PAB面積的最小值為4．其中正確的答案是______．(寫出所有正確說法的序號) 3．如圖，拋物線的圖象與x軸的一個交點為B〔5，0〕，另一個交點為A，且與y軸交于點C(0，5)． 〔1〕求直線BC與拋物線的解析式； 〔2〕假如點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值； 〔3〕在〔2〕的條件下，MN取得最大值時，假如點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為，△ABN的面積為，且，求點P的坐標． y x O C A B 8 / 8