2018屆中考數(shù)學(xué) 專題復(fù)習(xí)九 圖形的變換與四邊形試題 浙教版

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1、 圖形的變換與四邊形 教學(xué)準(zhǔn)備 一. 教學(xué)目標(biāo)： 1、掌握平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的性質(zhì)，靈活地運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱解決生活中的問題。 2、掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形及梯形的定義、判定、性質(zhì)，利用這些特殊四邊形進(jìn)行綜合計(jì)算和證明。 二. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：特殊四邊形的綜合應(yīng)用 三. 知識(shí)要點(diǎn)： 知識(shí)點(diǎn)1：圖形的變換與鑲嵌 知識(shí)點(diǎn)2：四邊形的定義、判定及性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)3：矩形、菱形及正方形的判定 知識(shí)點(diǎn)4：矩形、菱形及正方形的性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)5：梯形的判定及性質(zhì) 例題精講 例1. 如圖，四個(gè)圖形中，對稱軸條數(shù)最多的一個(gè)圖形是（ ）

2、【評析】本題所考查的是對稱軸的概念．應(yīng)對給出的圖形認(rèn)真分析．從題目中所給的四個(gè)圖形來看，圖A有2條對稱軸；圖B有4條對稱軸；圖C不是軸對稱圖形，它沒有對稱軸；圖D只有一條對稱軸，所以圖B的對稱軸條數(shù)最多． 例2. 如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的方桌布圖案的一部分，請你運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的方法，在坐標(biāo)系上將該圖形繞原點(diǎn)順時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°，并畫出它在各象限內(nèi)的圖形，你會(huì)得到一個(gè)美麗的平面圖形，你來試一試吧！但是涂陰影時(shí)要注意利用旋轉(zhuǎn)變換的特點(diǎn)，不要涂錯(cuò)了位置，否則不會(huì)出現(xiàn)理想的效果． 【分析】先確定每個(gè)三角形的頂點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°后的位置

3、，然后連線，涂上相應(yīng)的陰影即可． 【解析】所畫的圖形如圖所示． 例3. 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在平面幾何里叫做平面鑲嵌）．這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)．當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角（360°）時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形． （1）請根據(jù)圖，填寫下表中的空格： 正多邊形邊數(shù) 3 4 5 6 … n 正多邊形每個(gè) 內(nèi)角的度數(shù) 60° 90° 108° 120°

4、 （2）如果限定用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？ （3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再從其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形；并探究這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由． 【解析】（1）．（2）正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形．（3）如：正方形和正八邊形如圖．設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有n個(gè)正方形的角，n個(gè)正八邊形的角， 則m、n應(yīng)是方程m·90°＋n·135°＝360°的正整數(shù)解．即2m＋3n＝8的正整數(shù)解，這個(gè)方程的正整數(shù)解只有一組，又如正三角形和正十二邊形

5、，同樣可求出利用一個(gè)正三角形，兩個(gè)正十二邊形也可以鑲嵌成平面圖形，所以符合條件的圖形有2種． 例4. 如圖，在ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：S△ABF＝S平行四邊形ABCD. 【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC． ∵E是DC的中點(diǎn)，∴DE＝CE． ∴△AED≌△FEC． ∴S△AED ＝S△FEC． ∴S△ABF ＝S四邊形ABCE＋S△CEF ＝S四邊形ABCE＋S△AED ＝S平行四邊形ABCD 例5. 如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是

6、對角線AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)E、F滿足下列哪個(gè)條件時(shí)，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（ ） A. OE＝OF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠ABE＝∠CDF 【分析】雖然判別平行四邊形可從“邊、角、對角線”三個(gè)角度來考慮，但此例圖中已有對角線，所以最適當(dāng)?shù)姆椒☉?yīng)是“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”． 例6. 如圖，在ABCD中，已知對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長為15，AB＝6，那么對角線AC＋BD＝_______． 【分析】本例解題依據(jù)是：平行四邊形的對角線互相平分，先求出AO＋BO＝9，再求得AC

7、＋BD＝18． 例7. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，又點(diǎn)F在DE的延長線上，且AF＝CE．求證：四邊形ACEF為菱形． 【分析】欲證四邊形ACEF為菱形，可先證四邊形ACEF為平行四邊形，然后再證ACEF為菱形，當(dāng)然，也可證四條邊相等，直接證四邊形為菱形． 例8. 如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G． （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論． 【解析

8、】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD. ∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)， ∴AE＝AB，CF＝CD. ∴AE＝CF． ∴△ADE≌△CBF． （2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形AGBD是矩形． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC. ∵AG∥BD， ∴四邊形AGBD是平行四邊形． ∵四邊形BEDF是菱形， ∴DE＝BE． ∵AE＝BE， ∴AE＝BE＝DE． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

9、 ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°， ∴四邊形AGBD是矩形． 例9. 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝6，沿EF折疊后，點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處，點(diǎn)D落在點(diǎn)Q處，AD與PQ相交于點(diǎn)H，∠BPE＝30°． （1）求BE、QF的長．（2）求四邊形PEFH的面積． 【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點(diǎn)，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時(shí)需要考生剪一個(gè)四邊形實(shí)際折疊一下幫助理解． 例10. 如圖，梯形

10、ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，E為底邊BC的中點(diǎn)，且DE∥AB，試判斷△ADE的形狀，并給出證明． 【解析】△ADE是等邊三角形． 理由如下：∵AB＝CD，∴梯形ABCD為等腰梯形， ∵∠B＝∠C. ∴E為BC的中點(diǎn)， ∵BE＝CE． 在△ABE和△DCE中， ∵∴△ABE≌△DCE． ∵AE＝DE． ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四邊形ABED為平行四邊形． ∴AB＝DE ∵AB＝AD， ∴AD＝AE＝DE． ∴△ADE為等邊三角形． 課后練習(xí) 一、選擇題

11、 1. 將葉片圖案旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖形是（ ） 2. 下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ） 3. 下圖是用12個(gè)全等的等腰梯形鑲嵌成的圖形，這個(gè)圖形中等腰梯形的上底長與下底長的比是（ ） A. 1：2 B. 2：1 C. 3：1 D. 1：3 4. 張明同學(xué)設(shè)計(jì)了四種正多邊形的瓷磚圖案，在這四種瓷磚圖案中，不能鋪滿地面的是（ ） 5. 如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到A′B′C的位置．若BC的長為15cm，那么頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（ ）

12、 A. 10cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm 6. 如圖，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，若用剪刀沿AD剪開，則最多能拼出不同形狀的四邊形的個(gè)數(shù)是（ ） A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 7. 如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（ ） A. B. C. 1－ D. 1－ 8. 將一矩形紙片按如圖方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后A′B與E′B在同一條直線上

13、，則∠CBD的度數(shù)（ ） A. 大于90° B. 等于90° C. 小于90° D. 不能確定 9. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝6，沿AE翻折梯形ABCD，使點(diǎn)B落在AD的延長線上，記為B′，連結(jié)B′E交CD于F，則的值為（ ） A. B. C. D. 10. 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于O，下面四個(gè)結(jié)論： ①△AOB∽△COD； ②△AOD∽△BOC； ③；④S△AOD＝S△BOC，其中結(jié)論始終正

14、確的有（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 二、填空題 1. 如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應(yīng)添加的條件是_____________（添加一個(gè)條件即可）． 2. 如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線l向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），當(dāng)正方形滾動(dòng)兩周時(shí)，正方形的頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長是________cm． 3. 用兩個(gè)全等的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形；一定可以拼成的是________（只填序號(hào)）． 4. 如圖，先將一矩形A

15、BCD置于直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖①所示），再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°（如圖②所示），若AB＝4，BC＝3，則圖①和圖②中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ________，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______． 5. 如圖，在梯形ABCD中，∠DCB＝90°，AB∥CD，AB＝25，BC＝24. 將該梯形折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，BE為折痕，那么AD的長度為_______． 三、解答題 1. 在下圖的方格紙中有一個(gè)Rt△ABC（A、B、C三點(diǎn)均為格點(diǎn)），∠C＝90°． （1）請你畫出將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針

16、旋轉(zhuǎn)90°后所得到的Rt△A′B′C. 其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是A′，B′（不必寫畫法）； （2）設(shè)（1）中AB的延長線與A′B′相交于D點(diǎn)，方格紙中每一個(gè)小正方形的邊長為1，試求BD的長（精確到0.1）． 2. 在AB＝30m，AD＝20m的矩形ABCD的花壇四周修筑小路． （1）如果四周的小路的寬均相等，如圖（1），那么小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似嗎？請說明理由． （2）如果相對著的兩條小路的寬均相等，如圖（2），試問小路的寬x與y的比值為多少時(shí)，能使小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？請說明理由．

17、3. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC＝120°． 求證：（1）BD⊥DC；（2）若AB＝4，求梯形ABCD的面積． 4. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，DE∥AB. 求證：（1）DE＝DC；（2）△DEC是等邊三角形． 5. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3. D是BC邊上一點(diǎn)，直線DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直線DF于F．設(shè)CD＝x． （1）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形？請說明理由； （2）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于2？

18、 練習(xí)答案 一、選擇題 1. D 2. A 3. A 4. C 5. D 6. D 7. C 8. B 9. A 10. B 二、填空題 1. 答案不唯一，如AB＝CD等 2. 16＋16 3. ①②⑤ 4. B（4，0），（2，2），C（4，3），（） 5. 30. 三、解答題 1. 解：（1）方格紙中Rt△A′B′C為所畫的三角形 （2）由（1）得∠A＝∠A′， 又∵∠1＝∠2，∴△ABC∽△A′BD， ∴， ∵BC＝1，A′B＝2， AB＝， 即BD＝≈0.6，∴BD

19、的長約為0.6 2. 解：①當(dāng)x≠0時(shí)， 故矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似 ②當(dāng)時(shí)，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似 所以，解得＝ 3. 證明：（1）由∠ADC＝120°，可得∠C＝∠ABC＝60°， 從而得到∠ADB＝30°，∴BD⊥DC. （2）12 4. 證明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四邊形ABED是平行四邊形， ∴DE＝AB， ∵AB＝DC， ∴DE＝DC （2）∵AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°， ∴∠C＝∠B＝60°． 又∵DE＝DC， ∴△DEC是等邊三角形． 5. 解：（1）∵∠A

20、CB＝90°， ∴AC⊥BC. 又∵DE⊥BC，∴EF∥AC． 又∵AE∥CF，∴四邊形EACF是平行四邊形． 當(dāng)CF＝AC時(shí)，四邊形ACFE是菱形． 此時(shí)，CF＝AC＝2，BD＝3－x，tan∠B＝，ED＝BD·tan∠B＝（3－x）， ∴DF＝EF－ED＝2－（3－x）＝x． 在Rt△CDF中，CD2＋DF2＝CF2， ∴x2＋（x）2＝22，∴x＝±（負(fù)值不合題意，舍去）， 即當(dāng)x＝時(shí)，四邊形ACFE是菱形 （2）由已知得，四邊形EACD是直角梯形，S梯形EACD＝×（4－x）·x＝－x2＋2x． 依題意，得－x2＋2x＝2，整理得，x2－6x＋6＝0. 解之，得x1＝3－，x2＝3＋． ∵x＝3＋>BC＝3， ∴x＝3＋舍去， ∴當(dāng)x＝3－時(shí)，梯形EACD的面積等于2． 10