(江蘇專用)2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做04 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差試題(含解析)

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1、 專題4 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 【三年高考】 1. 【2017江蘇,理23】已知一個(gè)口袋中有個(gè)白球,個(gè)黑球(),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號(hào)為的抽屜內(nèi),其中第次取出的球放入編號(hào)為的抽屜. 1 2 3 (1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率; (2)隨機(jī)變量表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),是的數(shù)學(xué)期望,證明:. 【答案】(1);(2)見(jiàn)解析. 試題解析:(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為:. (2)隨機(jī)變量X的概率分布為 X … … P …

2、 … 隨機(jī)變量X的期望為. 所以 , 即. 【考點(diǎn)】古典概型概率、排列組合、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)學(xué)期望 【名師點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為: (1)“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個(gè)值所表示的意義; (2)“探求概率”,即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式,以及對(duì)立事件的概率公式等),求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率; (3)“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確; (4)“

3、求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值,對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量,如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布),則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此,應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式,可加快解題速度. 2. 【2014江蘇,理22】盒中共有9個(gè)球,其中有4個(gè)紅球,3個(gè)黃球和2個(gè)綠球,這些球除顏色外完全相同. (1)從盒中一次隨機(jī)抽出2個(gè)球,求取出的2個(gè)球的顏色相同的概率; (2)從盒中一次隨機(jī)抽出4個(gè)球,其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別為,隨機(jī)變量表示的最大數(shù),求的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由題

4、意; (2)隨機(jī)變量的取值可能為, , , , 所以的分布列為 2 3 4 . 3.【2012江蘇,理22】設(shè)ξ為隨機(jī)變量.從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱相交時(shí),ξ=0;當(dāng)兩條棱平行時(shí),ξ的值為兩條棱之間的距離;當(dāng)兩條棱異面時(shí),ξ=1. (1)求概率P(ξ=0); (2)求ξ的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ). 【答案】(1) .(2) ξ 0 1 P(ξ) 【解析】解:(1)若兩條棱相交,則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè),過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱,所以共有對(duì)相交棱,因此. (2

5、)若兩條棱平行,則它們的距離為1或,其中距離為的共有6對(duì),故, 于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=, 所以隨機(jī)變量ξ的分布列是 ξ 0 1 P(ξ) 因此. 4.【2017山東,理18】(本小題滿分12分)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5

6、人接受乙種心理暗示. (I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。 (II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】(I)(II)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是. 【解析】試題分析:(I)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M,計(jì)算即得 (II)由題意知X可取的值為:.利用超幾何分布概率計(jì)算公式 得X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望. 因此X的分布列為 X 0 1 2

7、3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是 = 【考點(diǎn)】1.古典概型.2.隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.超幾何分布. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題,首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù),利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目,計(jì)算量不是很大,能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等. 5.【2017課標(biāo)1,理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常

8、狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布. (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望; (2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查. (ⅰ)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性; (ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得,,其中

9、為抽取的第個(gè)零件的尺寸,. 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01). 附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則, ,. 【解析】 【考點(diǎn)】正態(tài)分布,隨機(jī)變量的期望和方差. 【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念,反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平.求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí),首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì),確定離散型隨機(jī)變量的所有取值,然后根據(jù)概率類型選擇公式,計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率,列出對(duì)應(yīng)的分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過(guò)一次,尤

10、其是正態(tài)分布的原則. 6.【2017課標(biāo)II,理18】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg)某頻率分布直方圖如下: (1) 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件:“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計(jì)A的概率; (2) 填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān): 箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3) 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中

11、位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01) 附: 【答案】(1); (2) 有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān); (3)。 【解析】 , 故的估計(jì)值為0。66 因此,事件A的概率估計(jì)值為。 (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由于,故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。 【考點(diǎn)】 獨(dú)立事件概率公式;獨(dú)立性檢驗(yàn)原理;頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)。 【名師點(diǎn)睛】利用獨(dú)立性檢驗(yàn),能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題作出合理的推斷和預(yù)測(cè)。獨(dú)立性檢驗(yàn)就是考察兩個(gè)分

12、類變量是否有關(guān)系,并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度,隨機(jī)變量的觀測(cè)值值越大,說(shuō)明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可能性越大。 利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí),應(yīng)注意三點(diǎn):①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的;③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。 7.【2017北京,理17】為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.

13、 (Ⅰ)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率; (Ⅱ)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī).選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E(); (Ⅲ)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論) 【答案】(Ⅰ)0.3;(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 【解析】 (Ⅱ)由圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值為0,1,2. . 所以的分布列為 0 1 2 ?

14、 故的期望. (Ⅲ)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 【考點(diǎn)】1.古典概型;2.超幾何分布;3.方差的定義. 【名師點(diǎn)睛】求分布列的三種方法 1.由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列; 2.由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列; 3.由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列. 8.【2017天津,理16】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為. (Ⅰ)設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期

15、望; (Ⅱ)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率. 【答案】 (1) (2) 所以,隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量概率分布列及數(shù)學(xué)期望 【名師點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量概率分布列問(wèn)題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可取值有那些?當(dāng)隨機(jī)變量取這些值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率有是多少,計(jì)算出概率值后,列出離散型隨機(jī)變量概率分布列,最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.;列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問(wèn)題. 9.【2017課標(biāo)3,理18】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每

16、天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)

17、間的概率. (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值? 【答案】(1)分布列略; (2) n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元. 【解析】 試題分析:(1) 所有的可能取值為200,300,500,利用題意求得概率即可得到隨機(jī)變量的分布列; (2)由題中所給條件分類討論可得n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值520元. 試題解析:(1)由題意知,所有的可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知 ,,. 因此

18、的分布列為 0.2 0.4 0.4 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的分布列;數(shù)學(xué)期望; 【名師點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率;要理解兩種特殊的概率分布——兩點(diǎn)分布與超幾何分布;并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì):一是pi≥0(i=1,2,…);二是p1+p2+…+pn=1檢驗(yàn)分布列的正誤. 10.【2016高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決

19、策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖: 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù). (I)求的分布列; (II)若要求,確定的最小值; (III)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)? 【答案】(I)見(jiàn)解析(II)19(III) 【解析】 試題分析:(I)先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22,,再用相互獨(dú)立事件概率模型求概率,

20、然后寫出分布列;(II)通過(guò)頻率大小進(jìn)行比較;(III)分別求出n=9,n=20的期望,根據(jù)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,應(yīng)選. 試題解析:(Ⅰ)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而 ; ; ; ; ; ; . 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故的最小值為19. (Ⅲ)記表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元). 當(dāng)時(shí), . 當(dāng)時(shí), . 可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)

21、用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選. 考點(diǎn):概率與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列 【名師點(diǎn)睛】本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問(wèn)題. 11.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費(fèi) 0.85 1.25 1.5 1.75 2 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2

22、 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (Ⅰ)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (Ⅱ)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率; (Ⅲ)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 【答案】(Ⅰ)0.55;(Ⅱ);(Ⅲ). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(Ⅱ)一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,由條件概率公式求解;(Ⅲ)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為,求的分布列,再根據(jù)期望公式求解. 試題解析:(Ⅰ)設(shè)表

23、示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故 (Ⅱ)設(shè)表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”,則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故 又,故 因此所求概率為 (Ⅲ)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為,則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為 考點(diǎn): 條件概率,隨機(jī)變量的分布列、期望. 【名師點(diǎn)睛】條件概率的求法: (1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=P(A)(P(AB)),求P(B|A); (2)基本事件法:當(dāng)基本事件適合有限性和

24、等可能性時(shí),可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=n(A)(n(AB)). 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟:(1)理解隨機(jī)變量X的意義,寫出X可能取得的全部值;(2)求X的每個(gè)值的概率;(3)寫出X的分布列;(4)由均值定義求出E(X). 12.【2016年高考四川理數(shù)】(本小題滿分12分) 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況

25、,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. (I)求直方圖中a的值; (II)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由; (III)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說(shuō)明理由. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)36000;(Ⅲ)2.9. (Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上樣本的頻率分布,可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量

26、不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12=36 000. (Ⅲ)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85, 而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85, 所以2.5≤x<3. 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73, 解得x=2.9. 所以,估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí),85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn). 考點(diǎn):頻率分布直方圖. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.在頻率分布直方圖中,第個(gè)小矩形

27、面積就是相應(yīng)的頻率或概率,所有小矩形面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵,也是識(shí)圖的基礎(chǔ). .13.【2016年高考北京理數(shù)】(本小題13分) A、B、C三個(gè)班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí)); A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù); (2)從A班和C班抽出的學(xué)

28、生中,各隨機(jī)選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙,假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率; (3)再?gòu)腁、B、C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25(單位:小時(shí)),這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記 ,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ,試判斷和的大小,(結(jié)論不要求證明) 【答案】(1)40;(2);(3). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)根據(jù)圖表判斷C班人數(shù),由分層抽樣的抽樣比計(jì)算C班的學(xué)生人數(shù); (Ⅱ)根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”的所有事件,由獨(dú)立事件概率公式求概率. (Ⅲ)根據(jù)平

29、均數(shù)公式進(jìn)行判斷即可. 試題解析:(1)由題意知,抽出的名學(xué)生中,來(lái)自班的學(xué)生有名,根據(jù)分層抽樣方法,班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為;(2)設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人”,, 事件為“乙是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人”,, 由題意可知,,;,, ,,. 設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”,由題意知, 因此 (3)根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式即可知,. 考點(diǎn):1.分層抽樣;2.獨(dú)立事件的概率;3.平均數(shù) 【名師點(diǎn)睛】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法:一是直接法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和,運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算;二是間接法,先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式

30、,即運(yùn)用逆向思維的方法(正難則反)求解,應(yīng)用此公式時(shí),一定要分清事件的對(duì)立事件到底是什么事件,不能重復(fù)或遺漏.特別是對(duì)于含“至多”“至少”等字眼的題目,用第二種方法往往顯得比較簡(jiǎn)便. 14.【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分12分) 甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ),在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;如果只有一個(gè)人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒(méi)猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求: (I)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率;

31、 (Ⅱ)“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)分布列見(jiàn)解析, 【解析】 試題分析:(Ⅰ)找出“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)所包含的基本事件,由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解;(Ⅱ)由題意,隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性,得到X的分布列,根據(jù)期望公式求解. 試題解析: (Ⅰ)記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”,記事件B:“乙第一輪猜對(duì)”, 記事件C:“甲第二輪猜對(duì)”,記事件D:“乙第二輪猜對(duì)”, 記事件E:“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”. 由題意, 由事件的獨(dú)立性與互斥性, , 所以“星

32、隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為. (Ⅱ)由題意,隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性,得 , , , , , . 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn):1.獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式;2.隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題,首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù),利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較

33、難,能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等. 15.【2016高考天津理數(shù)】(本小題滿分13分) 某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì). (I)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率; (II)設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見(jiàn)解析 【解析】 試題分析:(Ⅰ)先確定從這10人中隨機(jī)選出2人的基本事件種數(shù):,再確定選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù):,最

34、后根據(jù)概率公式求概率(Ⅱ)先確定隨機(jī)變量可能取值為再分別求出對(duì)應(yīng)概率,列出概率分布,最后根據(jù)公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望 試題解析:解:由已知,有 所以,事件發(fā)生的概率為. 隨機(jī)變量的所有可能取值為 , , . 所以,隨機(jī)變量分布列為 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn):概率,概率分布與數(shù)學(xué)期望 【名師點(diǎn)睛】求均值、方差的方法 1.已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解; 2.已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差,求ξ的線性函數(shù)η=aξ+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解; 3.如能分析所給隨機(jī)變量是服從

35、常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解. 16.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位:億噸)的折線圖 (I)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明; (II)建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量. 附注: 參考數(shù)據(jù):,,,≈2.646. 參考公式:相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為: . 【答案】(Ⅰ)理由見(jiàn)解析;(Ⅱ)1.82億噸. 【解析】 試題分析:(Ⅰ)根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)數(shù)據(jù)后

36、,然后代入公式即可求得的值,最后根據(jù)其值大小回答即可;(Ⅱ)利用最小二乘法的原理提供的回歸方程,準(zhǔn)確求得相關(guān)數(shù)據(jù)即可建立關(guān)于的回歸方程,然后把代入回歸方程求得預(yù)測(cè)值. 試題解析:(Ⅰ)由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ,,, , . 因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說(shuō)明與的線性相關(guān)相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. (Ⅱ)由及(Ⅰ)得, , 所以,關(guān)于的回歸方程為:. 將2016年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得:, 所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸. 考點(diǎn):線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用. 【方法點(diǎn)撥】(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程

37、度通常有兩種方法:(1)利用散點(diǎn)圖直觀判斷;(2)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出,然后根據(jù)的大小進(jìn)行判斷.求線性回歸方程時(shí)在嚴(yán)格按照公式求解時(shí),一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性. 17.【2015高考福建,理16】某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定,小王到銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定. (Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率; (Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【

38、解析】(Ⅰ)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則 (Ⅱ)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3,又 所以X的分布列為 所以. 18.【2015高考山東,理19】若是一個(gè)三位正整數(shù),且的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得分;若能被10整除,得1分. (I)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ; (II)若甲參

39、加活動(dòng),求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】(I)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有:125,135,145,235,245,345; (II)由題意知,全部“三位遞增烽”的個(gè)數(shù)為 ,隨機(jī)變量X的取值為:0,-1,1,因此 , , 所以X的分布列為 X 0 -1 1 P 因此 19.【2015高考天津,理16】為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子

40、選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”求事件A發(fā)生的概率; (II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】(I)由已知,有,所以事件發(fā)生的概率為. (II)隨機(jī)變量的所有可能取值為, 所以隨機(jī)變量的分布列為 所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 20.【2015高考四川,理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦3名男生,2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生,4名女生,兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn),由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人,女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì) (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概

41、率. (2)某場(chǎng)比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X得分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】(1)由題意,參加集訓(xùn)的男女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中抽?。ǖ葍r(jià)于A中沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為.因此,A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為. (2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.,,,,所以X的分布列為: 因此,X的期望為. 【2018年高考命題預(yù)測(cè)】 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差問(wèn)題是江蘇高考理科選修內(nèi)容,考試時(shí)一般為解答題.第一問(wèn)主要考查等可能事件的概率計(jì)算公式,互斥事件的概率加法公式,對(duì)立事件的概率減法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公

42、式,事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)種恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式等五個(gè)基本公式的應(yīng)用,第二問(wèn)主要考查分布列、均值與方差問(wèn)題,特別是離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差也是高考的重點(diǎn),試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題. 從高考試題來(lái)看,頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、分布列是高考的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題,又有解答題,客觀題考查知識(shí)點(diǎn)較單一,解答題考查得較為全面,常常和概率、平均數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起,考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.根據(jù)這幾年高考試題預(yù)測(cè)2018年高考,離散型隨機(jī)變量的分布列與期望仍然是考查的熱點(diǎn),同時(shí)應(yīng)注意和概率、平均數(shù)、分布列,期望,二項(xiàng)分布,正態(tài)分布等知識(shí)的結(jié)合.

43、 【2018年高考考點(diǎn)定位】 本節(jié)主要有離散型隨機(jī)變量的分布列,超幾何分布,數(shù)學(xué)期望,方差等基本公式的應(yīng)用,‘試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題.只要我們理解和掌握五個(gè)概率公式及其應(yīng)用,夯實(shí)基礎(chǔ),借助排列組合知識(shí)和化歸轉(zhuǎn)化思想方法,就能順利解答高考概率與統(tǒng)計(jì)試題. 最多的概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的分值占整個(gè)卷面分值的12%,且本部分題多為中低檔題.從而可以看出近幾年高考中概率與統(tǒng)計(jì)所占地位的重要性. 【考點(diǎn)1】離散型隨機(jī)變量的分布列 【備考知識(shí)梳理】 1.離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)隨機(jī)變量:如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量,隨機(jī)變量常

44、用字母X,Y,ξ,η等表示. (2)離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若是隨機(jī)變量,,其中是常數(shù),則也是隨機(jī)變量. 2.常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)兩點(diǎn)分布:若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布,即其分布列為 0 1 其中,則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布.其中稱為成功概率. (2)超幾何分布:在含有件次品的件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有件次品,則事件{}發(fā)生的概率為,,其中,且,稱分布列為超幾何分布列. 0 1 … m … (3)設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為,,…,,…,取

45、每一個(gè)值 ()的概率為,則稱表 … … … … 為隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱X的分布列.有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單,也用等式,表示的分布列. 分布列的兩個(gè)性質(zhì):①,;②. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求分布列的三種方法 (1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列;(1)可設(shè)出隨機(jī)變量Y,并確定隨機(jī)變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù);(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù).由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義. (2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列;求離散型隨機(jī)變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況

46、確定X的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率.而超幾何分布就是此類問(wèn)題中的一種. (3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列. 2. 求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟 (1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi; (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確. 3. 解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路 (1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值. (2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概

47、率值. (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 注意 解題中要善于透過(guò)問(wèn)題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律,以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中,向在線的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包,每次發(fā)放1個(gè). (Ⅰ)若小王發(fā)放5元的紅包2個(gè),求甲恰得1個(gè)的概率; (Ⅱ)若小王發(fā)放3個(gè)紅包,其中5元的2個(gè),10元的1個(gè).記乙所得紅包的總錢數(shù)為X,求X的分布列和期望. 【解析】(Ⅰ)設(shè)“甲恰得一個(gè)紅包”為事件A,. (Ⅱ)X的所有可能值為0,5,10,15,20., ,, ,. X的分布列: X 0 5 1

48、0 15 20 P E(X)=0×+5×+10×+15×+20×=. 2.學(xué)校為測(cè)評(píng)班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師的滿意度,采用“100分制”打分的方式來(lái)計(jì)分.現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名,以下莖葉圖記錄了他們對(duì)某教師的滿意度分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉): 規(guī)定若滿意度不低于98分,測(cè)評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”. (I)求從這10人中隨機(jī)選取3人,至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率; (II)以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)班級(jí)的總體數(shù)據(jù),若從該班任選3人,記表示抽到評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】(Ⅰ)設(shè)表示所取3人中有個(gè)人評(píng)價(jià)

49、該教師為“優(yōu)秀”,至多有1人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”記為事件,則 (Ⅱ)的可能取值為0、1、2、3 , ; ; ; . 分布列為 . 【考點(diǎn)2】離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【備考知識(shí)梳理】 1.均值 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 … … … … 稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 若,其中為常數(shù),則也是隨機(jī)變量,且. 若服從

50、兩點(diǎn)分布,則; 若,則. 2.方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 … … … … 則描述了 ()相對(duì)于均值的偏離程度,而為這些偏離程度的加權(quán)平均,刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度.稱為隨機(jī)變量的方差,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差. 若,其中為常數(shù),則也是隨機(jī)變量,且. 若服從兩點(diǎn)分布,則. 若,則. 【規(guī)律方法技巧】. 1. 求離散型隨機(jī)變量均值、方差的基本方法 (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解; (2)已知隨機(jī)變量的均值、方差,求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用的均

51、值、方差的性質(zhì)求解; (3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解. 2. 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟 (1)理解隨機(jī)變量的意義,寫出可能取得的全部值; (2)求的每個(gè)值的概率; (3)寫出的分布列; (4)由均值定義求出. 3. 六條性質(zhì) (1) (為常數(shù)) (2) (為常數(shù)) (3) (4)如果相互獨(dú)立,則 (5) (6) 4. 均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量,則一般仍是隨機(jī)變量,在求的期望和方差時(shí),熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì),可以避免再求的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.某

52、公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題,按照題目要求獨(dú)立完成規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過(guò).已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成,道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響 (1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望; (2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性大? 【解析】(1)設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為, 則的取值分別為 ;;; 考生甲正確完成題數(shù)的分布列為 ,設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為,則取值分別為 ,; ,, , 考生乙正確完成題數(shù)的分布列為:

53、 (2)因?yàn)椋? ,(或),所以, (或:因?yàn)?,,所?) 綜上所述,從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查,兩人水平相當(dāng);但從方差來(lái)看甲發(fā)揮比較穩(wěn)定,從至少完成兩道題的概率考查,甲的勝算大點(diǎn) 2.某企業(yè)有位員工.?dāng)M在新年聯(lián)歡會(huì)中,增加一個(gè)摸球兌獎(jiǎng)的環(huán)節(jié),規(guī)定:每位員工從一個(gè)裝有個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲的中獎(jiǎng)?lì)~.企業(yè)預(yù)算抽獎(jiǎng)總額為元,共提出兩種方案. 方案一:袋中所裝的個(gè)球中有兩個(gè)球所標(biāo)的面值為元,另外兩個(gè)標(biāo)的面值為元; 方案二:袋中所裝的個(gè)球中有兩個(gè)球所標(biāo)的面值為元,另外兩個(gè)標(biāo)的面值為元. (Ⅰ

54、)求兩種方案中,某員工獲獎(jiǎng)金額的分布列; (Ⅱ)在兩種方案中,請(qǐng)幫助該企業(yè)選擇一個(gè)適合的方案,并說(shuō)明理由. 【解析】(1)設(shè)方案一某員工獲獎(jiǎng)金額為,則的可能取值為, , ,則的分布列為 20 60 100 設(shè)方案二某員工獲獎(jiǎng)金額為,則的可能取值為, ,,則的分布列為 40 60 80 (2), 若回答由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望相等,希望獎(jiǎng)金分配更集中,方案二的方差比方案一的方差小,所以應(yīng)該選擇方案二 若回答由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望相等,希望獎(jiǎng)金分配差距大一些,方案一的方差比方案二的方差大,所以應(yīng)該選擇方案一

55、 【兩年模擬詳解析】 1.【2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(二)】已知袋中裝有大小相同的2個(gè)白球、2個(gè)紅球和1個(gè)黃球.一項(xiàng)游戲規(guī)定:每個(gè)白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分,每一局從袋中一次性取出三個(gè)球,將3個(gè)球?qū)?yīng)的分值相加后稱為該局的得分,計(jì)算完得分后將球放回袋中.當(dāng)出現(xiàn)第局得分()的情況就算游戲過(guò)關(guān),同時(shí)游戲結(jié)束,若四局過(guò)后仍未過(guò)關(guān),游戲也結(jié)束. (1)求在一局游戲中得3分的概率; (2)求游戲結(jié)束時(shí)局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1)(2) 【解析】 解:(1)設(shè)在一局游戲中得3分為事件, 則. 答:在一局游戲中得3分的概率為

56、. (2)的所有可能取值為1,2,3,4. 在一局游戲中得2分的概率為, ; ; ; . 所以 . 2.【南京市、鹽城市2017屆高三年級(jí)第一次模擬】(本小題滿分10分) 某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課,每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課(上午不排該課程),張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程. (1)求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率; (2)設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X,求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望E(X). 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】 解:(1)這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率為.

57、 ……4分 (2)由題意得,. …………6分 所以X的概率分布表為: X 0 1 2 3 4 5 P …………8分 所以,X的數(shù)學(xué)期望為. …………10分 3.【2017年第三次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……直到袋中的球取完即終止.若摸出白球,則記2分,若摸出黑球,則記1分.每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.用表示甲、乙最

58、終得分差的絕對(duì)值. (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù); (2)求隨機(jī)變量的分布列及期望. 【解析】(1)設(shè)袋中原有個(gè)白球,由題意,知, 解之得(負(fù)值舍去),即袋中原有3個(gè)白球.………………3分 0 2 4 P 所以的分布列為 .………………10分 4.【2017年第一次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為,高為,現(xiàn)從該正四棱柱的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)點(diǎn).設(shè)隨機(jī)變量的值為以取出的個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積. (1)求概率; (2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望 【解析】 (1)因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為,高為, 所以面積為的三角形的個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)只能是同一

59、底面上的頂點(diǎn),共有個(gè). 因此……………4分 (2)顯然題設(shè)三角形三邊不可能都是正四棱柱的棱. ①若三角形中恰有兩邊為正四棱柱的棱,另一邊為底面對(duì)角線時(shí),由(1)知,;若三角形中恰有兩邊為正四棱柱的棱,另一邊為側(cè)面對(duì)角線時(shí),且 ②若三角形中恰有一邊為正四棱柱底面的棱時(shí),且 若三角形中恰有一邊為正四棱柱側(cè)棱時(shí),且 ③若三角形中的邊都不是正四棱柱的棱,則三邊中兩條為側(cè)面對(duì)角線,一條為底面對(duì)角線.于是且 所以隨機(jī)變量的分布列是 因此……………10分 5.【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02(江蘇卷)】某校為了解本校學(xué)生的課后玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)

60、情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天玩電腦游戲的時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖. (Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)抽取樣本的平均數(shù)和眾數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (Ⅱ)已知樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在的學(xué)生中,男生比女生多1人,現(xiàn)從中選人進(jìn)行回訪,記選出的男生人數(shù)為,求的分布列與期望. 【解析】解:(Ⅰ),-----------------------(1分) --------------(3分) (Ⅱ)樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的學(xué)生為人,---------------------(4分) 其中男生人,女生人,則 的可能取值為,則 ----

61、----------(7分) 的分布列為 1 2 3 ---------------------------------------------(8分) 所以.----------------(10分) 6.【揚(yáng)州市2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)】(本小題滿分10分) 為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,某校決定在每周的同一時(shí)間開(kāi)設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《生活中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》、《數(shù)學(xué)建?!匪拈T校本選修課程,甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)習(xí),假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響,且每人選擇每一課程都是等可能的. (1)求甲、乙、丙三人選擇的

62、課程互不相同的概率; (2)設(shè)為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】解:⑴甲、乙、丙三人從四門課程中各任選一門,共有種不同的選法,記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件,事件共包含個(gè)基本事件,則,所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為. --------------------3分 ⑵方法一:可能的取值為, --------------------4分 ,, ,. --------------------8分 所以的分布列為: X 0 1 2 3

63、 所以的數(shù)學(xué)期望. -------------10分 方法二:甲、乙、丙三人從四門課程中任選一門,可以看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù),則,所以,, 所以的分布列為: X 0 1 2 3 所以的數(shù)學(xué)期望. 7.【2017南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二?!浚ū拘☆}滿分10分) 某樂(lè)隊(duì)參加一戶外音樂(lè)節(jié),準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機(jī)選擇4首進(jìn)行演唱. (1)求該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率; (2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為a(a為常數(shù)),演唱一首經(jīng)典歌曲觀 眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為2a

64、.求觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)之和的概率分布及數(shù)學(xué)期望. 解:(1)設(shè)“至少演唱1首原創(chuàng)新曲”為事件, 則事件的對(duì)立事件為:“沒(méi)有1首原創(chuàng)新曲被演唱”. 所以. 答:該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率為. …… 4分 (2)設(shè)隨機(jī)變量表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù),則的所有可能值為0,1,2,3. 依題意,,故的所有可能值依次為8a,7a,6a,5a. 則, , , . 從而的概率分布為: …… 8分 所以的數(shù)學(xué)期望.…… 10分 8. 【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2015—2016學(xué)年第二

65、學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立. (1)求在未來(lái)4年中,至多1年的年入流量超過(guò)120的概率; (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制,并有如下關(guān)系; 年入流量 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 1 2 3 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)

66、年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)? 【答案】(1)0.9477;(2)2臺(tái). 【解析】(1)由題意得:,由二項(xiàng)分布,在未來(lái)4年中,至多1年的年入流量超過(guò)120的概率為 (2) 設(shè)水電站年總利潤(rùn)為(萬(wàn)元) ①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī), ②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī),的分布列為 4200 10000 0.2 0.8 ③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī),的分布列為 3400 9200 15000 0.2 0.7 0.1 綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái). 9.【江蘇省蘇中三市(南通、揚(yáng)州、泰州)2016屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】(本小題滿分10分)一個(gè)摸球游戲,規(guī)則如下:在一不透明的紙盒中,裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球.參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲,從中有放回地摸球3次.參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球,然后摸球.當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí),游戲費(fèi)被沒(méi)收;當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次,2次,3次時(shí),參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍,1倍,倍的獎(jiǎng)勵(lì)(),且

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