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1、第二輪第二輪 中考題型突破中考題型突破專題六專題六 代數(shù)與幾何綜合代數(shù)與幾何綜合【題型題型 1】以二次函數(shù)為母圖，結(jié)合三角形、以二次函數(shù)為母圖，結(jié)合三角形、四邊形等圖形知識(shí)四邊形等圖形知識(shí)【例【例1】（】（2015重慶市重慶市）如圖，拋物線）如圖，拋物線 y=- -x2+2x+3 與與 x 軸交軸交于于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn)在點(diǎn) B 的左側(cè)），與的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) C，點(diǎn)，點(diǎn) D和點(diǎn)和點(diǎn) C 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線 AD 與與 y 軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn)E.（1）求直線）求直線 AD 的解析式；的解析式；（2）如圖，直線）如圖，直線
2、 AD 上方的拋物線上有上方的拋物線上有一點(diǎn)一點(diǎn) F，過點(diǎn)，過點(diǎn) F 作作 FGAD 于點(diǎn)于點(diǎn) G，作，作 FH 平行于平行于 x 軸交直線軸交直線 AD 于點(diǎn)于點(diǎn) H，求，求FGH 的周長(zhǎng)的最大值；的周長(zhǎng)的最大值；（3）點(diǎn)）點(diǎn) M 是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn) P 是是 y 軸上一點(diǎn)，點(diǎn)軸上一點(diǎn)，點(diǎn) Q 是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以 A，M，P，Q 為頂點(diǎn)的四邊形是為頂點(diǎn)的四邊形是 AM 為邊的矩形，若點(diǎn)為邊的矩形，若點(diǎn) T 和和點(diǎn)點(diǎn) Q 關(guān)于關(guān)于 AM 所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)所在直線對(duì)稱，求點(diǎn) T 的坐標(biāo)的坐標(biāo).思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：（：（1）根據(jù)題意得出點(diǎn)）根據(jù)題意得出點(diǎn) A
3、 和點(diǎn)和點(diǎn) D 的坐標(biāo)，然后利用的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)）過點(diǎn)F作作x軸的垂線，交直線軸的垂線，交直線 AD 于點(diǎn)于點(diǎn)N，得出，得出FHG=OAE=45，從而證得，從而證得 FG=GH= FH= FN，然后設(shè)點(diǎn)，然后設(shè)點(diǎn) F的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，求出 FN 的長(zhǎng)度，從而根據(jù)周長(zhǎng)的長(zhǎng)度，從而根據(jù)周長(zhǎng)=FN+2 得出與得出與 m 的函數(shù)關(guān)系式，將的函數(shù)關(guān)系式，將函數(shù)化成頂點(diǎn)式，求出最大值；函數(shù)化成頂點(diǎn)式，求出最大值；（3）本問分）本問分 AP 為對(duì)角線和為對(duì)角線和 AQ 為對(duì)角線為對(duì)角線兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，若兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，若 AP 為對(duì)
4、角線，為對(duì)角線，畫出圖形，求出點(diǎn)畫出圖形，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，根據(jù)圖形的的坐標(biāo)，根據(jù)圖形的平移得出點(diǎn)平移得出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn) Q 關(guān)于直線關(guān)于直線 AM 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) T 的坐標(biāo)，若的坐標(biāo)，若 AQ 為對(duì)角線，根據(jù)題意畫出圖形，得到點(diǎn)為對(duì)角線，根據(jù)題意畫出圖形，得到點(diǎn)P 的的坐標(biāo)，根據(jù)平移得到點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平移得到點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn) Q 關(guān)于直線關(guān)于直線 AM 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) T 的坐標(biāo)的坐標(biāo).22222FN解：解：(1) 當(dāng)當(dāng) y=0時(shí)，時(shí)，- -x2+2x+3=0，解得，解得x1=- -1，x2=3. 點(diǎn)點(diǎn) A(-1，0)，B(3，
5、0). 當(dāng)當(dāng) x=0 時(shí)，時(shí)，y=3，C(0，3). 當(dāng)當(dāng) y=3 時(shí)，時(shí)，- -x2+2x+3=3. 解得解得 x1=0，x2=2D(2，3). 設(shè)直線設(shè)直線 AD 的解析式為的解析式為 y=kx+b, 得得 解得解得 直線直線 AD 的解析式為的解析式為 y=x+1.，032kbkb ，11.kb (2) 過點(diǎn)過點(diǎn) F 作作 x 軸的垂線，交直線軸的垂線，交直線 AD 于點(diǎn)于點(diǎn) N， 由直線由直線AD：y=x+1與與 y 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) E，易得，易得 E(0，1). 在在 RtAOE 中，中，OA=OE，OAE=45. FHx軸，軸，F(xiàn)HG=45. 在在 RtFGH 中，中，F(xiàn)G=GH
6、= FH. 又又FNx軸，軸，F(xiàn)HFN在在 RtFNH 中，中，F(xiàn)N=FH. 設(shè)設(shè) F(m，- -m2+2m+3)，則，則 N(m,m+1)， FN=- -m2+2m+3- -(m+1)=- -m2+m+2，則，則FGH 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 故故FGH 的最大周長(zhǎng)為的最大周長(zhǎng)為222199 22(12)(12)().242FNFNFNm 99 2.4 （3）若若 AP 為對(duì)角線，如圖為對(duì)角線，如圖 1.易證易證PMSMAR， 解得解得MS= .PO= ，P(0， ).QA 可看成是由可看成是由 PM 平移得到的，由點(diǎn)平移得到的，由點(diǎn)的平移可知的平移可知 Q(- -2， ).點(diǎn)點(diǎn) Q 關(guān)于直線關(guān)于
7、直線 AM 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) T 的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（為（0，- - ）.若若 AQ 為對(duì)角線，為對(duì)角線， 如圖如圖 2.同理可知同理可知 P(0，- - )，Q(2， )，故點(diǎn)，故點(diǎn) Q 關(guān)于直線關(guān)于直線 AM的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 T(0， ).，MSPSARMR 1292921212127292【題型題型 2】以三角形、四邊形為母圖，結(jié)合以三角形、四邊形為母圖，結(jié)合二次函數(shù)等函數(shù)二次函數(shù)等函數(shù)【例【例2】（】（2015衡陽市衡陽市）如圖，四邊形）如圖，四邊形 OABC 是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為4 的正方形，點(diǎn)的正方形，點(diǎn) P 為為 OA 邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) O，A 重合），連接重
8、合），連接 CP，過點(diǎn)，過點(diǎn) P 作作 PMCP 交交 AB 于點(diǎn)于點(diǎn) D，且且 PM=CP，過點(diǎn)，過點(diǎn) M 作作 MNOA，交，交 BO 于點(diǎn)于點(diǎn) N，連接，連接ND，BM，設(shè)，設(shè) OP=t（1）求點(diǎn)）求點(diǎn) M 的坐標(biāo)（用含的坐標(biāo)（用含 t 的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）（2）試判斷線段）試判斷線段 MN 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)是否隨點(diǎn) P 的位置的變化而改的位置的變化而改變？并說明理由變？并說明理由（3）當(dāng)）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形為何值時(shí)，四邊形 BNDM 的面積最小的面積最小解：解：(1) 作作 MEx 軸于軸于 E，如圖，如圖所示，所示， 則則MEP=90，MEAB MPE+PME=90
9、 四邊形四邊形OABC 是正方形，是正方形， POC=90，OA=OC=AB=BC=4， BOA=45. PMCP，CPM=90 MPE+CPO=90PME=CPO 在在MPE 和和PCO 中，中， MPE PCO（AAS） ME=PO=t，EP=OC=4OE=t+4 點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（t+4，t），90MEPPOCPMECPOPMCP （2）線段）線段 MN 的長(zhǎng)度不發(fā)生改變的長(zhǎng)度不發(fā)生改變 理由如下：連接理由如下：連接 AM，如圖，如圖所示所示 MNOA，MEAB，MEA=90， 四邊形四邊形 AEMF 是矩形是矩形 又又EP=OC=OA， AE=PO=t=ME 四邊形四邊形 AE
10、MF 是正方形是正方形 MAE=45=BOA AMOB 四邊形四邊形 OAMN 是平行四邊形是平行四邊形 MN=OA=4 線段線段 MN 的長(zhǎng)度不發(fā)生改變的長(zhǎng)度不發(fā)生改變.（3）MEAB，PADPEM MNOA，ABOA，MNAB 四邊形四邊形 BNDM 的面積的面積 S 是是 t 的二次函數(shù)的二次函數(shù) 0，S 有最小值，即當(dāng)有最小值，即當(dāng) t=2 時(shí)，時(shí)，S 的值最小的值最小. 當(dāng)當(dāng) t=2 時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形 BNDM 的面積最小的面積最小，即即4.4ADAPADtMEEPt 21.4ADtt 22114()4.44BDABADtttt 2211114(4)(2)6.2242SMN BD
11、ttt 12【題型題型 3】函數(shù)與圓的綜合題函數(shù)與圓的綜合題【例【例3】（】（2015濟(jì)寧市濟(jì)寧市）如圖，）如圖， E 的圓心的圓心 E(3，0)，半，半徑為徑為 5， E 與與 y 軸相交于軸相交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn)在點(diǎn) B 的上的上方），與方），與 x 軸的正半軸交于點(diǎn)軸的正半軸交于點(diǎn) C，直線，直線 l 的解析式為的解析式為y= x+4，與，與 x 軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn) D，以點(diǎn)，以點(diǎn) C 為頂點(diǎn)的拋物線過為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)點(diǎn) B（1）求拋物線的解析式；）求拋物線的解析式；（2）判斷直線）判斷直線 l 與與 E 的位置的位置關(guān)系，并說明理由；關(guān)系，并說明理由；（3）動(dòng)點(diǎn)
12、）動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P 到直線到直線 l 的距離最小時(shí)，求出的距離最小時(shí)，求出點(diǎn)點(diǎn) P 的坐標(biāo)及最小距離的坐標(biāo)及最小距離34 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：（1）連接）連接 AE，由已知得：，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理，利用勾股定理求出求出 OA 的長(zhǎng)，結(jié)合垂徑定理求出的長(zhǎng)，結(jié)合垂徑定理求出 OC 的長(zhǎng)，從而得到的長(zhǎng)，從而得到 C 點(diǎn)坐點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的解析式；標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的解析式；（2）求出點(diǎn)）求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ ，0），根據(jù)），根據(jù)AOEDOA，求出求出DAE=90，判斷出直線，判斷出直線 l 與與 E 相切于相切于 A（3）過點(diǎn)
13、）過點(diǎn) P 作直線作直線 l 的垂線段的垂線段 PQ，垂足為，垂足為 Q，過點(diǎn)，過點(diǎn) P 作直作直線線 PM 垂直于垂直于 x 軸，交直線軸，交直線 l 于點(diǎn)于點(diǎn) M設(shè)設(shè) M(m， m+4)，P(m， m2+m- -4)，得到，得到 根據(jù)根據(jù)PQM 的三個(gè)內(nèi)角的三個(gè)內(nèi)角固定不變，得到固定不變，得到 PQ最小最小=PM最小最小sinQMP=PM最小最小sinAEO= 從而得到最小距離從而得到最小距離163 34116 2314(4)416PMmmm ，22111318(2)164164mmm，31431455解：解：(1) 如圖如圖，連接，連接 AE由已知得由已知得 AE=CE=5，OE=3.在
14、在 RtAOE 中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，OCAB，由垂徑定理得，由垂徑定理得，OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8A(0，- -4)，B(0，- -4)，C(8，0)拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為 C，設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x- -8)2將點(diǎn)將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入解析式，得的坐標(biāo)代入解析式，得64a=- -4，故，故 a= y= (x- -8)2拋物線的解析式為拋物線的解析式為 y= x2+x- -4.116 116 116 2222534.OAAEOE（2）在直線）在直線 l 的解析式的解析式 y= x+4 中，令中，令 y=0，得，得 x+4=0，
15、解得，解得 x= 點(diǎn)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ ，0） 當(dāng)當(dāng) x=0 時(shí)，時(shí)，y=4，點(diǎn)點(diǎn) A 在直線在直線 l 上上 在在 RtAOE 和和 RtDOA 中，中， AOE=DOA=90，AOEDOA AEO=DAO AEO+EAO=90， DAO+EAO=90，即，即DAE=90 因此，直線因此，直線 l 與與 E 相切于相切于 A.343416.3 163 ，3344OEOAOAOD.OEOAOAOD （3）如圖）如圖，過點(diǎn)，過點(diǎn) P 作直線作直線 l 的垂線段的垂線段 PQ，垂足為，垂足為 Q， 過點(diǎn)過點(diǎn) P 作直線作直線 PM 垂直于垂直于 x 軸，交直線軸，交直線 l 于點(diǎn)于點(diǎn) M
16、. 設(shè)設(shè) M(m， m+4)，P(m， m2+m- -4)，則，則 當(dāng)當(dāng)m=2時(shí)，時(shí)，PM 取得最小值取得最小值 ， 此時(shí)，此時(shí)，P(2， )34116 ，222314(4)416118164131(2)164PMmmmmmm 31494 對(duì)于對(duì)于PQM，PMx軸，軸，QMP=DAO=AEO.又又PQM=90，PQM 的三個(gè)內(nèi)角固定不變的三個(gè)內(nèi)角固定不變?cè)趧?dòng)點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過程中，運(yùn)動(dòng)的過程中，PQM 的三邊的比例關(guān)系的三邊的比例關(guān)系不變不變當(dāng)當(dāng) PM 取得最小值時(shí)，取得最小值時(shí)，PQ 也取得最小值，也取得最小值， PQ最小最小= =PM最小最小sinQMP = =PM最小最小sinAEO當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為（2， ）時(shí)，點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn) P 到直線到直線 l 的距的距離最小，其最小距離為離最小，其最小距離為 .31431.45531594
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