高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.9 圓錐曲線的綜合問題 課時3 定點、定值、探索性問題課件 理.ppt

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9 9圓錐曲線的綜合問題 課時3定點 定值 探索性問題 內(nèi)容索引 題型一定點問題 題型二定值問題 題型三探索性問題 思想方法感悟提高 思想與方法系列 練出高分 題型一定點問題 1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解設(shè)橢圓的焦距為2c 由題意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 所以a2 3 題型一定點問題 解析答案 2 若 1 2 3 試證明 直線l過定點并求此定點 解析答案 思維升華 解由題意設(shè)P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 設(shè)l方程為x t y m 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 解析答案 思維升華 由題意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由題意mt 0 mt 1 滿足 得l方程為x ty 1 過定點 1 0 即Q為定點 思維升華 思維升華 圓錐曲線中定點問題的兩種解法 1 引進參數(shù)法 引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量 再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系 找到定點 2 特殊到一般法 根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點 再證明該定點與變量無關(guān) 1 求橢圓E的方程 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析答案 返回 即QC QD 所以Q點在y軸上 可設(shè)Q點的坐標(biāo)為 0 y0 當(dāng)直線l與x軸垂直時 設(shè)直線l與橢圓相交于M N兩點 解當(dāng)直線l與x軸平行時 設(shè)直線l與橢圓相交于C D兩點 解析答案 解得y0 1或y0 2 所以 若存在不同于點P的定點Q滿足條件 則Q點坐標(biāo)只可能為 0 2 當(dāng)直線l的斜率不存在時 由上可知 結(jié)論成立 當(dāng)直線l的斜率存在時 可設(shè)直線l的方程為y kx 1 A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 解析答案 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 點B關(guān)于y軸對稱的點B 的坐標(biāo)為 x2 y2 解析答案 返回 題型二定值問題 1 求雙曲線C的方程 題型二定值問題 解析答案 解設(shè)F c 0 因為b 1 解析答案 解析答案 思維升華 因為直線AF的方程為x 2 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 1 求代數(shù)式為定值 依題意設(shè)條件 得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式 代入代數(shù)式 化簡即可得出定值 2 求點到直線的距離為定值 利用點到直線的距離公式得出距離的解析式 再利用題設(shè)條件化簡 變形求得 3 求某線段長度為定值 利用長度公式求得解析式 再依據(jù)條件對解析式進行化簡 變形即可求得 1 求動點Q的軌跡C的方程 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 解依題意知 點R是線段FP的中點 且RQ FP RQ是線段FP的垂直平分線 點Q在線段FP的垂直平分線上 PQ QF 又PQ是點Q到直線l的距離 故動點Q的軌跡是以F為焦點 l為準(zhǔn)線的拋物線 其方程為y2 2x x 0 2 設(shè)圓M過A 1 0 且圓心M在曲線C上 TS是圓M在y軸上截得的弦 當(dāng)M運動時 弦長TS是否為定值 請說明理由 解弦長TS為定值 理由如下 取曲線C上點M x0 y0 M到y(tǒng)軸的距離為d x0 x0 解析答案 返回 題型三探索性問題 例3 2015 湖北 一種作圖工具如圖1所示 O是滑槽AB的中點 短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動 長桿MN通過N處鉸鏈與ON連結(jié) MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動 且DN ON 1 MN 3 當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時 帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周 D不動時 N也不動 M處的筆尖畫出的曲線記為C 以O(shè)為原點 AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系 題型三探索性問題 1 求曲線C的方程 解析答案 解設(shè)點D t 0 t 2 N x0 y0 M x y 由于當(dāng)點D不動時 點N也不動 所以t不恒等于0 解析答案 2 設(shè)動直線l與兩定直線l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分別交于P Q兩點 若直線l總與曲線C有且只有一個公共點 試探究 OPQ的面積是否存在最小值 若存在 求出該最小值 若不存在 說明理由 解析答案 思維升華 解 當(dāng)直線l的斜率不存在時 直線l為x 4或x 4 解析答案 思維升華 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 1 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 當(dāng)且僅當(dāng)k 0時取等號 所以當(dāng)k 0時 S OPQ的最小值為8 綜合 可知 當(dāng)直線l與橢圓C在四個頂點處相切時 OPQ的面積取得最小值8 思維升華 思維升華 解決探索性問題的注意事項探索性問題 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 1 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論 2 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時 先假設(shè)成立 再推出條件 3 當(dāng)條件和結(jié)論都不知 按常規(guī)方法解題很難時 要開放思維 采取另外合適的方法 解拋物線y2 8x的焦點為橢圓E的頂點 即a 2 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 解析答案 返回 解設(shè)A x1 y1 B x2 y2 P x1 x2 y1 y2 解析答案 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 設(shè)T t 0 Q 4 m 4k 解析答案 4k2 3 4m2 解析答案 則1 t 0 t 1 返回 思想與方法系列 思想與方法系列 21 設(shè)而不求 整體代換 解析答案 規(guī)范解答解由于c2 a2 b2 2 點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點 連結(jié)PF1 PF2 設(shè) F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M m 0 求m的取值范圍 解析答案 解設(shè)P x0 y0 y0 0 PF1 PF2 解析答案 思維點撥 解析答案 返回 溫馨提醒 解設(shè)P x0 y0 y0 0 則直線l的方程為y y0 k x x0 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 對題目涉及的變量巧妙地引進參數(shù) 如設(shè)動點坐標(biāo) 動直線方程等 利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組 再化為一元二次方程 從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體代換 達到 設(shè)而不求 減少計算 的效果 直接得定值 思想方法感悟提高 1 求定值問題常見的方法有兩種 1 從特殊入手 求出定值 再證明這個值與變量無關(guān) 2 直接推理 計算 并在計算推理的過程中消去變量 從而得到定值 2 定點的探索與證明問題 1 探索直線過定點時 可設(shè)出直線方程為y kx b 然后利用條件建立b k等量關(guān)系進行消元 借助于直線系的思想找出定點 2 從特殊情況入手 先探求定點 再證明與變量無關(guān) 方法與技巧 1 在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時 要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況 2 中點弦問題 可以利用 點差法 但不要忘記驗證 0或說明中點在曲線內(nèi)部 3 解決定值 定點問題 不要忘記特值法 失誤與防范 返回 練出高分 又a2 b2 c2 所以b2 12 1 2 3 4 5 解析答案 2 是否存在平行于OA的直線l 使得直線l與橢圓C有公共點 且直線OA與l的距離等于4 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 解析答案 解假設(shè)存在符合題意的直線l 1 2 3 4 5 解析答案 因為直線l與橢圓C有公共點 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 1 2 3 4 5 解析答案 所以不存在符合題意的直線l 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解由已知 點C D的坐標(biāo)分別為 0 b 0 b 1 2 3 4 5 解析答案 解當(dāng)直線AB的斜率存在時 設(shè)直線AB的方程為y kx 1 A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 1 2 3 4 5 解析答案 當(dāng)直線AB斜率不存在時 直線AB即為直線CD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 2 過點的動直線l交橢圓C于A B兩點 試問 在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點Q 使得以線段AB為直徑的圓恒過點Q 若存在 求出點Q的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 解析答案 當(dāng)l與y軸平行時 以線段AB為直徑的圓的方程為x2 y2 1 1 2 3 4 5 解析答案 故若存在定點Q 則Q的坐標(biāo)只可能為Q 0 1 下面證明Q 0 1 為所求 若直線l的斜率不存在 上述已經(jīng)證明 A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 144k2 64 9 18k2 0 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 2 設(shè)直線l與橢圓C相交于A B兩點 若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點 證明 點O到直線AB的距離為定值 1 2 3 4 5 解析答案 證明設(shè)A x1 y1 B x2 y2 當(dāng)直線AB的斜率不存在時 則由橢圓的對稱性 可知x1 x2 y1 y2 1 2 3 4 5 解析答案 當(dāng)直線AB的斜率存在時 設(shè)直線AB的方程為y kx m 1 2 3 4 5 解析答案 因為以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O 所以O(shè)A OB 所以 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 1 2 3 4 5 解析答案 整理得5m2 4 k2 1 1 2 3 4 5 解因為雙曲線E的漸近線分別為y 2x y 2x 1 2 3 4 5 解析答案 2 如圖 O為坐標(biāo)原點 動直線l分別交直線l1 l2于A B兩點 A B分別在第一 四象限 且 OAB的面積恒為8 試探究 是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E 若存在 求出雙曲線E的方程 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 解析答案 返回 設(shè)直線l與x軸相交于點C 當(dāng)l x軸時 若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點 則OC a AB 4a 1 2 3 4 5 解析答案 又因為 OAB的面積為8 若存在滿足條件的雙曲線E 1 2 3 4 5 解析答案 設(shè)直線l的方程為y kx m 依題意 記A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 因為4 k2 0 所以m2 4 4 k2 4 k2 4 得 4 k2 x2 2kmx m2 16 0 1 2 3 4 5 解析答案 所以 4k2m2 4 4 k2 m2 16 16 4k2 m2 16 又因為m2 4 k2 4 所以 0 即l與雙曲線E有且只有一個公共點 1 2 3 4 5 解析答案 設(shè)直線l的方程為x my t A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 所以t2 4 1 4m2 4 1 4m2 設(shè)直線l與x軸相交于點C 則C t 0 1 2 3 4 5 解析答案 得 4m2 1 y2 8mty 4 t2 a2 0 因為4m2 1 0 直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當(dāng)且僅當(dāng) 64m2t2 16 4m2 1 t2 a2 0 即4m2a2 t2 a2 0 即4m2a2 4 1 4m2 a2 0 即 1 4m2 a2 4 0 所以a2 4 因此 存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E 1 2 3 4 5 解析答案 方法三當(dāng)直線l不與x軸垂直時 設(shè)直線l的方程為y kx m A x1 y1 B x2 y2 依題意 得k 2或k 2 得 4 k2 x2 2kmx m2 0 因為4 k20 1 2 3 4 5 解析答案 又因為 OAB的面積為8 1 2 3 4 5 解析答案 化簡 得x1x2 4 1 2 3 4 5 解析答案 得 4 k2 x2 2kmx m2 4a2 0 因為4 k2 0 直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當(dāng)且僅當(dāng) 4k2m2 4 4 k2 m2 4a2 0 即 k2 4 a2 4 0 所以a2 4 1 2 3 4 5 解析答案 返回 1 2 3 4 5