高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例——7 函數(shù)的表示方法

《高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例——7 函數(shù)的表示方法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例——7 函數(shù)的表示方法（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 7 函數(shù)的表示方法 教材分析 函數(shù)的表示方法是對(duì)函數(shù)概念的深化與延伸．解析法、圖像法和列表法從三個(gè)不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系．這三種表示方法既可以獨(dú)立的表示函數(shù)，又可以相互轉(zhuǎn)化；既各有側(cè)重和優(yōu)勢(shì)，又各有劣勢(shì)和不足；既相互補(bǔ)充，又使函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律直觀和具體．這節(jié)內(nèi)容，是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸與提高．教材在復(fù)習(xí)初中三種表示方法定義的基礎(chǔ)上，分三個(gè)層次對(duì)三種表示方法進(jìn)行了比較．第一個(gè)層次：回顧與比較；第二個(gè)層次：選擇與比較；第三個(gè)層次：轉(zhuǎn)化與比較． 教學(xué)重點(diǎn)：畫簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像；教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法及其圖像的作法． 教學(xué)目標(biāo) 1. 在實(shí)際情景中，

2、會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法，列表法，解析法）表示函數(shù)． 2. 通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并解簡(jiǎn)單應(yīng)用． 3. 能根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像，進(jìn)一步理解、體會(huì)函數(shù)的意義． 任務(wù)分析 學(xué)生在初中已經(jīng)對(duì)這節(jié)內(nèi)容有了初步的認(rèn)識(shí)．這節(jié)的教學(xué)任務(wù)是在學(xué)生原認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)，會(huì)根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，明確三種表示方法各有優(yōu)劣，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．為突出根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像這個(gè)重點(diǎn)，除學(xué)習(xí)教材中的實(shí)際問(wèn)題外，又增加了練習(xí)．為突破分段函數(shù)這個(gè)難點(diǎn)增加了高斯函數(shù)作為練習(xí)． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)

3、題情景 1. 復(fù)習(xí)引入 （1）復(fù)習(xí)初中三種函數(shù)的表示方法． （2）學(xué)生回答函數(shù)三種表示方法的定義． 2. 方法探究 （1）復(fù)習(xí)與比較 例：某種筆記本的單價(jià)是5元，買x（x∈｛1，2，3，4，5｝）個(gè)筆記本需要y元．試用三種表示方法表示函數(shù)y＝f（x）． （2）引導(dǎo)學(xué)生分析討論 ①三種表示方法的各自的特點(diǎn)是什么？所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎？ ②函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足什么條件？滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）的點(diǎn)（x，y）在什么地方？ 二、建立模型 1. 教師明晰 函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等． 采用解析法的條件：變量間的對(duì)應(yīng)法則明確； 采用圖像法

4、的條件：函數(shù)的變化規(guī)律清晰； 采用列表法的條件：函數(shù)值的對(duì)應(yīng)清楚． 函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x），滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）的點(diǎn)（x，y）在函數(shù)圖像上，故函數(shù)圖像即為點(diǎn)集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝． 2. 比較與分析 例：下表是某校高一（1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分： 表7-1 ? 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王　偉 98 87 91 92 88 95 張　城 90 76 88 75 86 80 趙　磊 68 65 73 72 75 82 班級(jí)平均分

5、88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 請(qǐng)你對(duì)這三名同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析． 學(xué)生分析討論：本例是用何種方法表示函數(shù)的？要分析“成績(jī)”與“測(cè)試次數(shù)”之間的變化規(guī)律，用何種方法表示函數(shù)？ 注意：在這里選擇何種表示方法，要根據(jù)問(wèn)題的具體情況和三種表示方法的長(zhǎng)處來(lái)確定． 3. 教師進(jìn)一步明晰 將“成績(jī)”與“測(cè)試次數(shù)”之間的函數(shù)關(guān)系用函數(shù)圖像表示出來(lái)，就能比較直觀地看到成績(jī)的變化情況． 4. 轉(zhuǎn)化與比較 例：畫出函數(shù)y＝｜x｜的圖像． 5. 教師歸納、整理 初中作函數(shù)圖像的基本方法是列表、描點(diǎn)和連線，但這個(gè)方法比較煩瑣．我們可以把初中學(xué)過(guò)

6、的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像作為基本圖像，把要作的函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的圖像來(lái)解決． y＝｜x｜，若不含“｜｜”號(hào)，則是我們初中學(xué)過(guò)的y＝x，現(xiàn)在含絕對(duì)值號(hào)，故去絕對(duì)值號(hào)，得分段函數(shù)而分段函數(shù)的圖像只要分段作出即可． 三、解釋應(yīng)用 ［練習(xí)一］ 1. 作出y＝｜x－1｜的圖像，與函數(shù)y＝｜x｜的圖像比較，并說(shuō)出你發(fā)現(xiàn)了什么． 2. 作出y＝x2＋2｜x｜＋1的圖像． 3. 若x2＋2｜x｜＋1＝m，當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程有四個(gè)解？三個(gè)解？?jī)蓚€(gè)解？無(wú)解？ ［例　題］ 某市空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定： （1）乘坐汽車不超過(guò)5km，票價(jià)2元． （2）超過(guò)5k

7、m，每增加5km，票價(jià)增加1元．（不足5km的按5km計(jì)算） 已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距約為1km，如果沿途（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）有21個(gè)汽車站，請(qǐng)根據(jù)題意寫出票價(jià)與路程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像． 學(xué)生分析討論：函數(shù)定義域是什么？值域是什么？圖像如何作？ 教師引導(dǎo)學(xué)生寫出如下解答過(guò)程． 解：設(shè)票價(jià)為y元，路程為xkm． 如果某空調(diào)汽車運(yùn)行路線中設(shè)21個(gè)汽車站，那么汽車行駛的路程約為20km，故自變量x的取值范圍是x∈（0，20］，且x∈N，函數(shù)y的取值范圍是y∈｛2，3，4，5｝． 由空調(diào)汽車票價(jià)的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式： 根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)的圖

8、像 函數(shù)圖像共有20個(gè)點(diǎn)構(gòu)成． 像例3、例4這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段作． ［練習(xí)二］ 1. 下圖都是函數(shù)的圖像嗎？為什么？ （D） 目的：進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)概念和函數(shù)圖像的理解． 2. 某人從甲鎮(zhèn)去乙村，一開(kāi)始沿公路乘車，后來(lái)沿小路步行，圖中橫軸表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示此人與乙村的距離，則較符合該人走法的圖像是（　?。? （D） 3. 小明從甲地去乙地，先以每小時(shí)5km的速度行進(jìn)1h，然后休息10min，最后以每小時(shí)4km的速度行進(jìn)了30min到達(dá)乙地． （1）試寫出速度v（km／h）關(guān)于出發(fā)時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖像． （2）試寫

9、出小明離開(kāi)甲地s（km）關(guān)于出發(fā)時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖像． 四、拓展延伸 1. 設(shè)x是任意的一個(gè)函數(shù)，y是不超過(guò)x的最大整數(shù)，記作：y＝［x］，問(wèn)：x與y之間是否存在函數(shù)關(guān)系？如果存在，寫出這個(gè)函數(shù)的解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像． 答案：存在函數(shù)關(guān)系，是著名的高斯函數(shù)．現(xiàn)只寫出 x∈［－1，1］的函數(shù)關(guān)系：y＝圖像略． 2. 某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤氣用量和支付費(fèi)用如下表所示： 表7-2 月　份 用氣量 煤氣費(fèi) 1月份 4m2 4元 2月份 25m2 14元 3月份 35m2 19元 該市煤氣的收費(fèi)方法是：煤氣費(fèi)＝基本費(fèi)＋超額費(fèi)

10、＋保險(xiǎn)費(fèi)． 若每月量不超過(guò)最低限度Am3，則只付基本費(fèi)3元和每月每戶的定額保險(xiǎn)C元；若用氣量超過(guò)Am3，超過(guò)部分每立方米付B元，又知保險(xiǎn)費(fèi)C不超過(guò)5元．根據(jù)上面的表格，求A，B，C． 分析：可設(shè)每月用氣量xm3，支付費(fèi)用y元，建立函數(shù)解析式解之． 解：設(shè)每月用氣xm3，支付費(fèi)用y元，則 由0＜C≤5，得3＋C≤8． 由第2和3月份的費(fèi)用都大于8，得 兩式相減，得B＝0.5，∴A＝2C＋3． 再分析1月份的用氣量是否超過(guò)最低限度． 不妨令A(yù)＜4，將x＝4代入3＋B（x－A）＋C，得3＋0.5［4－（3＋2C）］＋C＝4， 由此推出3.5＝4，矛盾， ∴A≥4，1月份付款方式為3＋C． ∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5． ∴A＝5，B＝0.5，C＝1． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例分三個(gè)層次對(duì)三種表示方法進(jìn)行了比較： 第一層次：用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子對(duì)函數(shù)的三種表示方法進(jìn)行了復(fù)習(xí)和比較； 第二層次：對(duì)函數(shù)的三種表示方法進(jìn)行了比較，選擇了適當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)； 第三層次：三種表示函數(shù)的方法的相互轉(zhuǎn)化． 三個(gè)層次，層層深入，并對(duì)三種表示方法的優(yōu)、劣進(jìn)了比較，重點(diǎn)突出．拓展延伸通過(guò)高斯函數(shù)，加深了學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)、分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)．在注重三種表示方法的同時(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)．