高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式 1.4.11.4.2課件 北師大版必修4

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1、1.41.4.1 1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義1.4 4.2 2單位圓與周期性1.掌握任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.2.了解周期函數(shù)的定義.3.能判斷任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào).4.掌握終邊相同的角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的公式的應(yīng)用.123451.單位圓 在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)為半徑的圓,稱(chēng)為單位圓.123452.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(1)定義1:如圖,在直角坐標(biāo)系中,作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓,對(duì)于任意角,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓交于唯一的點(diǎn)P(u,v),那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角的正弦函數(shù),記作

2、v=sin ;點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角的余弦函數(shù),記作u=cos .圖 1234512345名師點(diǎn)撥任意角的三角函數(shù)是在坐標(biāo)系中定義的,角的范圍是使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)集;任意角的三角函數(shù)值只與有關(guān),而與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān);三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體,離開(kāi)的sin,cos 是沒(méi)有意義的,它表示的是一個(gè)比值,而不是sin或cos與的積.12345【做一做1-1】 已知角的終邊上一點(diǎn)P(1,-2),則sin +cos =()答案:C123453.正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的符號(hào)(1)圖示:任意角的正弦函數(shù)值的符號(hào),如圖;任意角的余弦函數(shù)值的符號(hào),如圖.12345(2)表格: 12345 【做一做2-1】 若角是第

3、二象限角,則點(diǎn)P(sin ,cos )在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:是第二象限角,cos 0.點(diǎn)P在第四象限.答案:D12345【做一做2-2】 若角滿(mǎn)足sin 0,且cos 0知,角是第一、二象限角或角的終邊在y軸非負(fù)半軸上.由cos 0,且cos 0,試確定角是第幾象限角.分析:依據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)作出判斷.解:(1)340角是第四象限角,265角是第三象限角,sin 3400,cos 2650.(2)sin 20,2k20,cos A0;若A為直角,則sin A0,cos A=0;若A為鈍角,則sin A0,cos A0.答案:cos A題

4、型一題型二題型三題型四 【例3】 (1)已知函數(shù)f(x)在其定義域上滿(mǎn)足f(x+2)=-f(x),求證:函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù);(3)若函數(shù)f(x)在其定義域上滿(mǎn)足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常數(shù)a為正數(shù)),求證:f(x)為周期函數(shù),且6a是它的一個(gè)周期.分析:證明一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù),只需證明f(x+T)=f(x)(T0)即可,同時(shí)應(yīng)注意多次使用所給式子的結(jié)構(gòu).題型一題型二題型三題型四證明:(1)f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x),由周期函數(shù)的定義知,函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).由周期函數(shù)的定義知,函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函

5、數(shù).(3)f(x)=f(x-a)+f(x+a),用x+a替換x,得f(x+a)=f(x)+f(x+2a).+,得f(x-a)+f(x+2a)=0,即f(x-a)=-f(x+2a).用x+a替換x,得f(x)=-f(x+3a),f(x+6a)=f(x+3a)+3a=-f(x+3a)=f(x),由周期函數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且6a是它的一個(gè)周期.題型一題型二題型三題型四反思1.證明函數(shù)是周期函數(shù),只需要根據(jù)定義:存在非零常數(shù)T,對(duì)任意定義域內(nèi)x,都有f(x+T)=f(x).2.要得到周期T,需善于根據(jù)所給條件的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析、變形.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】已知定義在

6、R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x+2)f(x)=1恒成立,試證明函數(shù)f(x)是周期函數(shù).函數(shù)f(x)是周期函數(shù).題型一題型二題型三題型四 易錯(cuò)點(diǎn)因忽略對(duì)參數(shù)的討論而致誤 【例4】 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3a,4a)(a0),試求sin ,cos 的值.12345答案:B 12345答案:D 12345答案:三 123454.已知函數(shù)f(x)是周期函數(shù),周期T=6,f(2)=1,則f(14)=.解析:f(14)=f(26+2)=f(2)=1.答案:1123455.在直角坐標(biāo)系的單位圓中,(1)畫(huà)出角;(2)求出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)求出角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.12345