高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課1 推理與證明課件 北師大版選修22

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1、第第1 1課時課時推理與證明推理與證明知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理答案:歸納推理從特殊到特殊從結(jié)論出發(fā)尋找結(jié)論成立的充分條件反證法與正整數(shù)n有關(guān)的命題知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理1.歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法.歸納推理是一種合情推理,但“合情”不一定“合理”,其正確性都有待于嚴格證明,盡管如此,由歸納推理建立的“猜想”在探究新知識方面有著極其重要的作用.若是與自然數(shù)有關(guān)的“猜想”往往可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明.2.直接證明與間接證明.綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法,但兩種證明方法的思路截然相反,分析法既可用于尋找解題思路,也可以是完整的證明過程,分析法和綜合法可相互轉(zhuǎn)換,相互滲透,在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運

2、用,可轉(zhuǎn)換解題思路,增加解題途徑.反證法是一種間接證明的方法,它從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾,從而肯定命題的結(jié)論.知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理思考辨析判斷以下說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”.(1)在歸納推理的過程中,前提真而結(jié)論假的情況有可能發(fā)生. ()(2)合情推理包括歸納推理和類比推理. ()(3)綜合法與分析法都是直接證明的方法. ()(4)“正難則反”的思想與反證法原理相同. () 專題歸納高考體驗專題一歸納推理與類比推理 上不等式的規(guī)律,請寫出一個對正實數(shù)m,n都成立的條件不等式.解析:觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn):不等號左邊兩個根式的被開方專題歸納高考體驗【例2】 對于問題:

3、“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0的解集為(-1,2),解關(guān)于x的不等式ax2-bx+c0”給出如下一種解法:解:由ax2+bx+c0的解集為(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c0的解集為(-2,1),即關(guān)于x的不等式ax2-bx+c0的解集為(-2,1).答案:(-3,-1)(1,2) 專題歸納高考體驗反思感悟歸納推理的一般步驟為首先通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同特征,然后從相同特征中推出一個明確表述的一般性結(jié)論.類比推理的一般步驟是先找出兩類事物之間的相似性或一致性,再用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得到一個明確的命題.專題歸納高考體驗變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1觀察下列各式:a+

4、b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,則a10+b10=()A.28 B.76C.123 D.199解析:1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,47+76=123,可得a10+b10=123.答案:C專題歸納高考體驗專題二綜合法和分析法 專題歸納高考體驗【例4】 已知x,y0,x+y=1,試用分析法證明log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog217-2.證明:x,y0,欲證log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog217-2,式成立,這就證明了log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog2

5、17-2成立.專題歸納高考體驗反思感悟綜合法與分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法,也是兩種思路相反的推理方法.分析法是執(zhí)果索因,而綜合法是由因?qū)Ч?兩者各有優(yōu)缺點.分析法容易探路,且探路與表述合一,缺點是表述易錯;綜合法條理清晰,易于表述,因而對于難題常把二者結(jié)合,互補優(yōu)缺,形成分析綜合法.專題歸納高考體驗變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2設(shè)a0,b0,a+b=1,求證: 8,試用分析法和綜合法分別證明.證明:(方法一:綜合法)a0,b0,a+b=1,專題歸納高考體驗(方法二:分析法)a0,b0,a+b=1,由基本不等式可知,當a0,b0時, 2成立,(當且僅當a=b時等號成立)

6、所以原不等式成立.專題歸納高考體驗專題三反證法【例5】 如圖,已知兩直線lm=O,l ,m ,l,m,=a,求證:l與m中至少有一條與平面相交.分析:結(jié)論中以“至少”形式出現(xiàn),直接證明較困難,可考慮用反證法.證明:假設(shè)l,m都不與平面相交,它們都不在平面內(nèi),l,且m.又l ,m ,=a,la,ma.lm.這與已知l,m是相交直線矛盾,因此,l與m中至少有一條與平面相交.專題歸納高考體驗反思感悟反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn),它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明否定性、唯一性命題,至多、至少型問題,幾

7、何問題.專題歸納高考體驗證明:假設(shè)a,b,c都不小于零,則a+b+c0.=-(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2-4+120.因為-(x-2)2+(y-2)2+(z-2)20,所以-4+120,即412,這與基本事實412矛盾.故a,b,c中至少有一個小于零.專題歸納高考體驗專題四數(shù)學(xué)歸納法 專題歸納高考體驗反思感悟數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法,主要用來證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題.證明時先證n取第一個值n0時命題成立,然后假設(shè)n=k(kn0,kN+)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立即可.用數(shù)學(xué)歸納法證明時,要注意幾個方面:(1)n的范圍以及遞推的起點;(2)從f(k+1)和f(k)的

8、差異,尋找由k到k+1的遞推中,左邊要加(乘)上的式子;(3)在歸納遞推中,一定要運用歸納假設(shè);(4)注意“歸納猜想證明”的思維模式的應(yīng)用.專題歸納高考體驗考點一:合情推理1.(2017全國高考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績,看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績解析:因為甲不知道自己的成績,所以乙、丙的成績是一位優(yōu)秀一位良好.又因為乙知道丙的成績,所

9、以乙知道自己的成績.又因為乙、丙的成績是一位優(yōu)秀一位良好,所以甲、丁的成績也是一位優(yōu)秀一位良好.又因為丁知道甲的成績,所以丁也知道自己的成績,故選D.答案:D專題歸納高考體驗2.(2016全國丙高考)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下:an共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k2m,a1,a2,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個 B.16個C.14個D.12個專題歸納高考體驗解析:由題意知a1=0,a8=1,則滿足題意的a1,a2,a8的可能取值如下:綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個.答案:C 專題歸納高考體驗3.(2016全國甲高考

10、)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12 D.9解析:由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B.答案:B專題歸納高考體驗4.(2016山東高考)觀察下列等式: 專題歸納高考體驗解析:由等式可知,等式右邊共三個數(shù)相乘,第一個數(shù)都是 ;而所給等式就是第n個式子,顯然第2個數(shù)與該等式所在行數(shù)相同,故第2個數(shù)為n;第三個數(shù)比第2個數(shù)大1,所以第3個數(shù)為n+1.所以第n個式子等號右邊

11、為 n(n+1).專題歸納高考體驗5.(2016北京高考)袋中裝有偶數(shù)個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多專題歸納高考體驗解析:若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且黑球

12、放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個球,抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選B.答案:B專題歸納高考體驗6.(2016全國甲高考)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.解析:由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)

13、字是“1和2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2”,此時與甲說的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”.答案:1和3專題歸納高考體驗考點二:分析法、綜合法、反證法7.(2016北京高考)某學(xué)校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊.專題歸納高考體驗在這10名學(xué)生中,進入立定跳遠決賽的有8人,同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則()A.

14、2號學(xué)生進入30秒跳繩決賽B.5號學(xué)生進入30秒跳繩決賽C.8號學(xué)生進入30秒跳繩決賽D.9號學(xué)生進入30秒跳繩決賽解析:將30秒跳繩成績確定的學(xué)生,按其成績從大到小,把他們的序號排列為3,6,7,10,1與5并列,4;由題意可知3,6,7號同時進入立定跳遠和30秒跳繩的決賽.假設(shè)5號學(xué)生沒有進入30秒跳繩決賽,則1號和4號學(xué)生也沒有進入30秒跳繩決賽.這與“同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人”矛盾.故5號學(xué)生進入30秒跳繩決賽,故選B.答案:B專題歸納高考體驗8.(2015浙江高考)設(shè)實數(shù)a,b,t滿足|a+1|=|sin b|=t. ()A.若t確定,則b2唯一確定B.若t確定,

15、則a2+2a唯一確定C.若t確定,則sin 唯一確定D.若t確定,則a2+a唯一確定解析:當t=0時,sin b=0,b=k,kZ,所以b2不確定,故A錯; 當t=2時,|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D錯;因為|a+1|=t,所以a2+2a=t2-1;當t確定時,t2-1唯一確定,即a2+2a唯一確定,故B正確.答案:B 專題歸納高考體驗9.(2015福建高考)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nN+),其中xk(k=1,2,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?).已

16、知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗方程為:00=0,01=1,10=1,11=0.現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗方程組可判定k等于.專題歸納高考體驗解析:若1k3,則x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不滿足x4x5x6x7=0;若k=4,則二元碼為1100101,不滿足x1x3x5x7=0;若k=5,則二元碼為1101001,滿足方程組,故k=5.答案:5專題歸納高考體驗10.(2016天津高考)已知an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意的nN+,bn是an和an+1的等比中項.專題歸納高考體驗考點三:數(shù)學(xué)歸

17、納法11.(2015江蘇高考)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN+),設(shè)Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù).(1)寫出f(6)的值;(2)當n6時,寫出f(n)的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.專題歸納高考體驗解:(1)f(6)=13.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 專題歸納高考體驗假設(shè)n=k(k6)時結(jié)論成立,那么n=k+1時,Sk+1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產(chǎn)生,分以下情形討論:1)若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時有專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗12.

18、(2015北京高考)已知數(shù)列an滿足:a1N+,a136,且 (1)若a1=6,寫出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);(3)求集合M的元素個數(shù)的最大值.專題歸納高考體驗解:(1)6,12,24.(2)因為集合M存在一個元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù).如果k=1,則M的所有元素都是3的倍數(shù).如果k1,因為ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍數(shù),于是ak-1是3的倍數(shù).類似可得,ak-2,a1都是3的倍數(shù),從而對任意n1,an是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).綜上,若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),則

19、M的所有元素都是3的倍數(shù).專題歸納高考體驗所以a2是2的倍數(shù).從而當n3時,an是4的倍數(shù).如果a1是3的倍數(shù),由(2)知對所有正整數(shù)n,an是3的倍數(shù).因此當n3時,an12,24,36.這時M的元素個數(shù)不超過5.如果a1不是3的倍數(shù),由(2)知對所有正整數(shù)n,an不是3的倍數(shù).因此當n3時,an4,8,16,20,28,32.這時M的元素個數(shù)不超過8.當a1=1時,M=1,2,4,8,16,20,28,32有8個元素.綜上可知,集合M的元素個數(shù)的最大值為8.專題歸納高考體驗(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列an的通項公式;(2)若b=-1,問:是否存在實數(shù)c使得a2ncf(a2k+1)f(

20、1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上為減函數(shù)得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.這就是說,當n=k+1時結(jié)論成立.專題歸納高考體驗則an+1=f(an).先證:0an1(nN+).當n=1時,結(jié)論明顯成立.假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上為減函數(shù),即0ak+11,這就是說,當n=k+1時結(jié)論成立.故成立.再證:a2na2n+1(nN+).專題歸納高考體驗假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.這就是說,當n=k+1時成立.所以對一切nN+成立.專題歸納高考體驗