中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一部分 教材梳理 第二章 方程與不等式 第3節(jié) 一元二次方程課件.ppt

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第一部分教材梳理 第3節(jié)一元二次方程 第二章方程與不等式 知識(shí)梳理 概念定理 1 一元二次方程 1 定義 只含有一個(gè)未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 它的特征是 等式左邊為一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式 等式右邊是零 其中ax2叫做二次項(xiàng) a叫做二次項(xiàng)系數(shù) bx叫做一次項(xiàng) b叫做一次項(xiàng)系數(shù) c叫做常數(shù)項(xiàng) 2 一元二次方程的解法 1 直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法 叫做直接開平方法 直接開平方法適用于解形如 x a 2 b的一元二次方程 根據(jù)平方根的定義可知 x a是b的平方根 當(dāng)b 0時(shí) x a b x a b 當(dāng)b 0時(shí) 方程沒有實(shí)數(shù)根 2 配方法配方法的理論根據(jù)是完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 把公式中的a看作未知數(shù)x 并用x代替 則有x2 2bx b2 x b 2 配方法的步驟 先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊 再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1 再同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方 最后配成完全平方公式 3 公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法 它是解一元二次方程的一般方法 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式為 公式法的步驟 把一元二次方程的各系數(shù)分別代入求根公式 然后計(jì)算得出結(jié)果即可 這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a 一次項(xiàng)的系數(shù)為b 常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c 4 因式分解法因式分解法就是利用因式分解的思想 使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式 再使這兩個(gè)一次式分別等于0 從而求出方程的解的方法 它是解一元二次方程最常用的方法 主要公式 1 根的判別式 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中 b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式 通常用 來表示 即 b2 4ac I 當(dāng) 0時(shí) 一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 II 當(dāng) 0時(shí) 一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 III 當(dāng) 0時(shí) 一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根 2 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式 方法規(guī)律 公式法和因式分解法的運(yùn)用技巧 1 在解一元二次方程時(shí) 最常用到的方法是公式法和因式分解法 公式法適用于任何一元二次方程 有人稱之為萬能法 在使用公式法時(shí) 一定要把原方程化成一般形式 以便確定系數(shù) 而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值 以便判斷方程是否有解 2 在運(yùn)用因式分解法時(shí) 一般要先將方程寫成一般形式 同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù) 中考考點(diǎn)精講精練 考點(diǎn)1解一元二次方程 考點(diǎn)精講 例1 2015廣東 解方程 x2 3x 2 0 思路點(diǎn)撥 利用公式法來求解即可 解 用公式法 已知a 1 b 3 c 2 b2 4ac 3 2 4 1 2 1 解得x1 1 x2 2 考題再現(xiàn)1 2016天津 方程x2 x 12 0的兩個(gè)根為 A x1 2 x2 6B x1 6 x2 2C x1 3 x2 4D x1 4 x2 32 2014珠海 填空 x2 4x 3 x 2 1 3 2016山西 解方程 2 x 3 2 x2 9 D 2 解 方程變形 得2 x 3 2 x 3 x 3 0 分解因式 得 x 3 2x 6 x 3 0 解得x1 3 x2 9 考點(diǎn)演練4 已知關(guān)于x的一元二次方程x2 x c 0有一個(gè)解為x 1 則c的值為 A 2B 0C 1D 25 方程4x2 kx 6 0的一個(gè)根是2 那么k的值和方程的另一個(gè)根分別是 A 5 34B 11 34C 11 34D 5 34 A B 6 解下列方程 1 x x 3 x 3 2 2x2 3x 4 0 解 1 原方程變形 得x x 3 x 3 0 分解因式 得 x 3 x 1 0 解得x1 3 x2 1 2 用公式法 已知a 2 b 3 c 4 b2 4ac 3 2 4 2 4 41 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)是廣東中考的次高頻考點(diǎn) 題型一般為選擇題和解答題 難度中等 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于掌握解一元二次方程的方法和步驟 注意以下要點(diǎn) 1 解一元二次方程的基本思路是降次 解法包括直接開平方法 配方法 公式法和因式分解法四種 2 公式法和因式分解法是最常用的兩種方法 重點(diǎn)在于掌握求根公式和因式分解的方法 考點(diǎn)2一元二次方程根的判別式與根的情況 考點(diǎn)精講 例2 2016北京 關(guān)于x的一元二次方程x2 2m 1 x m2 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 1 求m的取值范圍 2 寫出一個(gè)滿足條件的m的值 并求此時(shí)方程的根 思路點(diǎn)撥 1 由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可得出 0 代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的不等式 解不等式即可得出結(jié)論 2 結(jié)合 1 中結(jié)論 令m 1 將m 1代入原方程 利用因式分解法解方程即可得出結(jié)論 解 1 關(guān)于x的一元二次方程x2 2m 1 x m2 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2m 1 2 4 1 m2 1 4m 5 0 2 令m 1 此時(shí)原方程化為x2 3x 0 即x x 3 0 解得x1 0 x2 3 考題再現(xiàn)1 2015廣東 若關(guān)于x的方程x2 x a 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A a 2B a 2C a 2D a 22 2014廣東 關(guān)于x的一元二次方程x2 3x m 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 C B 3 2015珠海 一元二次方程x2 x 0的根的情況是 A 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C 無實(shí)數(shù)根D 無法確定根的情況4 2016梅州 關(guān)于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0有兩個(gè)不等實(shí)根x1 x2 求實(shí)數(shù)k的取值范圍 解 1 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2k 1 2 4 k2 1 0 解得k 即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k B 5 2015梅州 已知關(guān)于x的方程x2 2x a 2 0 1 若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí) 求a的值及方程的另一根 解 1 22 4 1 a 2 12 4a 0 解得a 3 a的取值范圍是a 3 2 將x 1代入原方程 得1 2 a 2 0 a 1 原方程化為x2 2x 3 0 解該方程 得x1 1 x2 3 方程的另一根為 3 考點(diǎn)演練6 已知關(guān)于x的一元二次方程mx2 2x 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則m的取值范圍是 A m 1B m 1C m 1且m 0D m 1且m 07 若關(guān)于x的方程x2 2x a 0不存在實(shí)數(shù)根 則a的取值范圍是 A a 1B a 1C a 1D a 1 D B 8 已知關(guān)于x的方程x2 2x 3k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 9 若關(guān)于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0有實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 A D 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)是廣東中考的高頻考點(diǎn) 題型一般為選擇題 難度較低 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系 注意以下要點(diǎn) 1 判別式 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 判別式 0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 3 判別式 0方程沒有實(shí)數(shù)根 考點(diǎn)3一元二次方程的應(yīng)用 考點(diǎn)精講 例3 2016永州 某種商品的標(biāo)價(jià)為400元 件 經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元 件 并且兩次降價(jià)的百分率相同 1 求該種商品每次降價(jià)的百分率 2 若該種商品進(jìn)價(jià)為300元 件 兩次降價(jià)共售出此種商品100件 為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3210元 問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件 思路點(diǎn)撥 1 設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x 根據(jù) 兩次降價(jià)后的售價(jià) 原價(jià) 1 降價(jià)百分比 2 即可得出關(guān)于x的一元二次方程 解方程即可得出結(jié)論 2 設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品m件 則第二次降價(jià)后售出該種商品 100 m 件 根據(jù) 總利潤(rùn) 第一次降價(jià)后的單件利潤(rùn) 銷售數(shù)量 第二次降價(jià)后的單件利潤(rùn) 銷售數(shù)量 即可得出關(guān)于m的一元一次不等式 解不等式即可得出結(jié)論 解 1 設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x 依題意 得400 1 x 2 324 解得x 0 1 10 或x 1 9 不合題意 舍去 答 該種商品每次降價(jià)的百分率為10 2 設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品m件 則第二次降價(jià)后售出該種商品 100 m 件 第一次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為 400 1 10 300 60 元 件 第二次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為 324 300 24 元 件 依題意 得60m 24 100 m 36m 2400 3210 解得m 22 5 m 23 答 為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3210元 第一次降價(jià)后至少要售出該種商品23件 考題再現(xiàn)1 2015佛山 如圖1 2 3 1 將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化 原空地一邊減少了2m 另一邊減少了3m 剩余一塊面積為20m2的矩形空地 則原正方形空地的邊長(zhǎng)是 A 7mB 8mC 9mD 10m2 2016梅州 用一條長(zhǎng)40cm的繩子圍成一個(gè)面積為64cm2的矩形 設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm 則可列方程為 A x 20 x 64 3 2015珠海 白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57 5公頃 該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積 2014年達(dá)到82 8公頃 1 求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率 2 若年增長(zhǎng)率保持不變 2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達(dá)到100公頃 解 1 設(shè)綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得57 5 1 x 2 82 8 解得x1 0 2 20 x2 2 2 不合題意 舍去 答 該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為20 2 由題意 得82 8 1 0 2 99 36 公頃 2015年不能達(dá)到100公頃 答 2015年該鎮(zhèn)綠地面積不能達(dá)到100公頃 4 2015廣州 某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元 2015年投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬元 1 求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率 2 根據(jù) 1 所得的年平均增長(zhǎng)率 預(yù)計(jì)2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元 解 1 設(shè)增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得2500 1 x 2 3025 解得x1 0 1 10 x2 2 1 不合題意 舍去 答 2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為10 2 3025 1 10 3327 5 萬元 答 預(yù)計(jì)2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)3327 5萬元 5 2016貴州 為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育 自2014年以來 某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入 2014年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6000萬元 2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬元 假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同 1 求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率 2 若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率 請(qǐng)你預(yù)計(jì)2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元 解 1 設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得6000 1 x 2 8640 解得x1 0 2 20 x2 2 2 不合題意 舍去 答 該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20 2 因?yàn)?016年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8640萬元 且增長(zhǎng)率為20 所以2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為 y 8640 1 0 2 10368 萬元 答 預(yù)計(jì)2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)10368萬元 考點(diǎn)演練6 如圖1 2 3 2 一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍 豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻 另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成 為方便進(jìn)出 在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門 所圍矩形豬舍的長(zhǎng) 寬分別為多少時(shí) 豬舍的面積為80平方米 解 設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm 可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為 25 2x 1 m 由題意 得x 25 2x 1 80 化簡(jiǎn) 得x2 13x 40 0 解得x1 5 x2 8 當(dāng)x 5時(shí) 26 2x 16 12 不合題意 舍去 當(dāng)x 8時(shí) 26 2x 10 12 x 8 26 2x 10 答 所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m 寬為8m 7 某地2014年為做好 精準(zhǔn)扶貧 授入資金1280萬元用于異地安置 并規(guī)劃投入資金逐年增加 2016年在2014年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元 1 從2014年到2016年 該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少 2 在2016年異地安置的具體實(shí)施中 該地計(jì)劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 規(guī)定前1000戶 含第1000戶 每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元 1000戶以后每戶每天補(bǔ)助5元 按租房400天計(jì)算 試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 解 1 設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得1280 1 x 2 1280 1600 解得x 0 5或x 2 5 不合題意 舍去 答 從2014年到2016年 該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為50 2 設(shè)今年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 根據(jù)題意 得1000 8 400 a 1000 5 400 5000000 解得a 1900 答 今年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 8 創(chuàng)衛(wèi)工作人人參與 環(huán)境衛(wèi)生人人受益 我區(qū)創(chuàng)衛(wèi)工作已進(jìn)入攻堅(jiān)階段 某校擬整修學(xué)校食堂 現(xiàn)需購(gòu)買A B兩種型號(hào)的防滑地磚共60塊 已知A型號(hào)地磚每塊80元 B型號(hào)地磚每塊40元 1 若采購(gòu)地磚的費(fèi)用不超過3200元 那么 最多能購(gòu)買A型號(hào)地磚多少塊 2 某地磚供應(yīng)商為了支持創(chuàng)衛(wèi)工作 現(xiàn)將A B兩種型號(hào)的地磚單價(jià)都降低a 這樣 該?；ㄙM(fèi)了2560元就購(gòu)得所需地磚 其中A型號(hào)地磚a塊 求a的值 解 1 設(shè)購(gòu)買A型號(hào)地磚x塊 由題意 得80 x 40 60 x 3200 解得x 20 答 最多能購(gòu)買A型號(hào)地磚20塊 2 由題意 得80 1 a a 40 1 a 60 a 2560 解得a1 a2 20 經(jīng)檢驗(yàn) a 20符合題意 答 a的值為20 9 新興商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種兒童益智玩具 已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元 調(diào)查發(fā)現(xiàn) 銷售單價(jià)是30元時(shí) 月銷售量是230件 而銷售單價(jià)每上漲1元 月銷售量就減少10件 但每件玩具售價(jià)不能高于40元 每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí) 月銷售利潤(rùn)恰好為2520元 解 設(shè)每件玩具上漲x元 則售價(jià)為 30 x 元 根據(jù)題意 得 30 x 20 230 10 x 2520 整理方程 得x2 13x 22 0 解得x1 11 x2 2 當(dāng)x 11時(shí) 30 x 41 40 x 11 不合題意 舍去 x 2 每件玩具售價(jià)應(yīng)定為 30 2 32 元 答 每件玩具的售價(jià)定為32元時(shí) 月銷售利潤(rùn)恰好為2520元 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)是廣東中考的次高頻考點(diǎn) 題型一般為解答題 難度中等 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵是要讀懂題目的意思 根據(jù)題目給出的條件 找出合適的等量關(guān)系 列出方程并求解 注意一元二次方程的應(yīng)用問題多為增長(zhǎng)率問題 備考時(shí)應(yīng)多加練習(xí)掌握 課堂鞏固訓(xùn)練 1 方程x2 x 1 0的根是 2 2016麗水 下列一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根的是 A x2 2x 1 0B x2 x 2 0C x2 1 0D x2 2x 1 0 D B 3 2016邵陽(yáng) 一元二次方程2x2 3x 1 0的根的情況是 A 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D 沒有實(shí)數(shù)根4 2016河南 若關(guān)于x的一元二次方程x2 3x k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 5 2016十堰 某種藥品原來售價(jià)100元 連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為81元 若每次下降的百分率相同 則這個(gè)百分率是 B 10 6 2016岳陽(yáng) 已知關(guān)于x的方程x2 2m 1 x m m 1 0 1 求證 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 已知方程的一個(gè)根為x 0 求代數(shù)式 2m 1 2 3 m 3 m 7m 5的值 要求先化簡(jiǎn)再求值 解 1 關(guān)于x的一元二次方程x2 2m 1 x m m 1 0 2m 1 2 4m m 1 1 0 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 x 0是此方程的一個(gè)根 把x 0代入方程中 得m m 1 0 m 0或m 1 2m 1 2 3 m 3 m 7m 5 4m2 4m 1 9 m2 7m 5 3m2 3m 5 把m 0代入3m2 3m 5 得3m2 3m 5 5 把m 1代入3m2 3m 5 得3m2 3m 5 3 1 3 5 5 7 2016安徽 解方程 x2 2x 4 解 方程變形 得x2 2x 4 0 用公式法 這里a 1 b 2 c 4 b2 4ac 2 2 4 1 4 20 0 8 2016巴中 隨著國(guó)家 惠民政策 的陸續(xù)出臺(tái) 為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠 國(guó)家衛(wèi)計(jì)委嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為 某種藥品原價(jià)200元 瓶 經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后 現(xiàn)在僅賣98元 瓶 現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同 求該種藥品平均每次降價(jià)的百分率 解 設(shè)該種藥品平均每次降價(jià)的百分率是x 由題意 得200 1 x 2 98 解得x1 1 7 不合題意 舍去 x2 0 3 30 答 該種藥品平均每降價(jià)的百分率是30