《垂徑定理》教案北師版九下

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1、 *3.3 垂徑定理 1．理解垂徑定理和推論的內(nèi)容，并會 證明，利用垂徑定理解決與圓有關(guān)的問題； (重點(diǎn) ) 2．利用垂徑定理及其推論解決實(shí)際問 題． (難點(diǎn) )  ＝ 2 3，∴ AB＝4 3.故選 D. 方法總結(jié)： 我們常常連接半徑， 利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形，然后應(yīng)用勾股定理解決問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 3 題 【類型二】 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用 一、情境導(dǎo)入 如圖①某公園中央地上有一些

2、大理石球，小明想測量球的半徑，于是找了兩塊厚 20cm 的磚塞在球的兩側(cè) (如圖②所示 )，他量 了下兩磚之間的距離剛好是 80cm，聰明的你能算出大石頭的半徑嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：垂徑定理 【類型一】 利用垂徑定理求直徑或弦的長度 如圖所示， ⊙ O 的直徑 AB 垂直弦 CD 于點(diǎn) P，且 P 是半徑 OB 的中點(diǎn)， CD＝ 6cm，則直徑 AB 的長是 ( ) A． 2 3cm B． 3 2cm C． 4 2cm

3、 D． 4 3cm 解析： ∵直徑 AB⊥ DC ，CD＝ 6，∴ DP ＝ 3.連接 OD ，∵ P 是 OB 的中點(diǎn)，設(shè) OP 為x，則 OD 為 2x，在 Rt△ DOP 中，根據(jù)勾股定理列方程 32＋ x2＝ (2x)2 ，解得 x＝ 3.∴OD  如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段 ︵ 圓弧 (圖中的 AB)，點(diǎn) O 是這段弧的圓心， C ︵ 是 AB 上一點(diǎn)， OC ⊥ AB ，垂足為 D ， AB＝ 300m ， CD ＝ 50m ，則這段彎路的半徑是 ________m. 解析：本題考查垂徑

4、定理， ∵ OC⊥ AB，AB＝ 300m，∴ AD ＝ 150m.設(shè)半徑為 R，根據(jù)勾股定理可列方程 R2＝ (R－ 50)2＋ 1502，解 得 R＝ 250.故答案為 250. 方法總結(jié)： 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用我們學(xué)過的垂徑定理、勾股定理等知識進(jìn)行解答． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 8 題 【類型三】 垂徑定理的綜合應(yīng)用 如圖，已知圓 O 的直徑 AB 垂直于弦 CD 于點(diǎn) E，連接 CO 并延長交 AD 于 點(diǎn) F，且 CF ⊥AD .(1)請證明： 點(diǎn) E 是 OB 的 中點(diǎn)； (2)若 AB ＝8，求

5、 CD 的長． 解析： (1) 要證明 E 是 OB 的中點(diǎn)， 只要 1 1 求證 OE＝ OB＝ OC，即 ∠OCE＝ 30°；(2) 2 2 第 1頁共3頁 在直角 △OCE 中，根據(jù)勾股定理可以解得 CE 的長，進(jìn)而求出 CD 的長． (1)證明： 連接 AC，如圖，∵直徑 AB ︵ ︵ 垂直于弦 CD 于點(diǎn) E，∴ AC＝ AD ，∴ AC ＝ AD .∵過圓心 O 的直線 CF⊥ AD ，∴ AF ＝ DF ，即 CF 是 AD 的垂直平分線，∴

6、AC＝ CD ，∴ AC＝ AD＝CD ，即△ ACD 是等邊三角形， ∴∠ FCD ＝ 30° .在 Rt△ COE 中，OE 1 1 ＝ 2OC，∴ OE＝ 2OB，∴點(diǎn) E 為 OB 的中點(diǎn)； (2)解： 在 Rt△OCE 中， AB＝ 8，∴ OC ＝ OB＝ 1AB＝ 4.又∵ BE＝ OE，∴OE＝ 2，∴ 2 2 2 CE＝ OC －OE ＝ 16－4＝2 3，∴CD＝ 方法總結(jié)： 解此類題一般要把半徑、 弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 5 題 探究點(diǎn)二：

7、垂徑定理的推論 【類型一】 利用垂徑定理的推論求角的度數(shù) 如圖所示，⊙ O 的弦 AB 、AC 的 ︵ ︵ 夾角為 50°， M、N 分別是 AB、AC的中點(diǎn)， 則∠ MON 的度數(shù)是 ( ) A． 100° B．110° C． 120° D ． 130° ︵ ︵ 解析： 已知 M、 N 分別是 AB、 AC的中 點(diǎn)，由 “ 平分弧的直徑垂直平分弧所對的 弦 ” 得 OM⊥ AB、 ON⊥ AC，所以 ∠ AEO＝ ∠ AFO ＝ 90°，而 ∠ BAC＝ 50°，由四邊形內(nèi)角

8、和定理得 ∠ MON ＝ 360 °－ ∠AEO － ∠ AFO － ∠ BAC＝ 360°－ 90°－ 90°－ 50°＝  130 °.故選 D. 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 6 題． 【類型二】 利用垂徑定理的推論求邊的長度 如圖，點(diǎn) A、B 是⊙ O 上兩點(diǎn)， AB ＝ 10cm，點(diǎn) P 是⊙ O 上的動(dòng)點(diǎn) (與 A、B 不重合 )，連接 AP、BP，過點(diǎn) O 分別作 OE⊥ AP 于 E，OF⊥PB 于 F，求 EF 的長． 解析： 運(yùn)用垂徑定理先證

9、出 EF 是 △ ABP 的中位線， 然后運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)把要求的 EF 與 AB 建立關(guān)系，從而解決問題． 解： 在⊙ O 中，∵ OE⊥ AP， OF⊥ PB， ∴ AE＝ PE， BF＝ PF，∴ EF 是△ ABP 的中 1 1 位線，∴ EF＝ 2AB＝ 2× 10＝ 5(cm) ． 方法總結(jié)： 垂徑定理雖是圓的知識， 但也不是孤立的， 它常和三角形等知識綜合來解決問題， 我們一定要把知識融會貫通， 在解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 2 題 【類型三】 動(dòng)點(diǎn)問題 如圖，⊙O 的直徑為

10、 10cm，弦 AB ＝ 8cm，P 是弦 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 求 OP 的長度范圍． 解析：當(dāng)點(diǎn) P 處于弦 AB 的端點(diǎn)時(shí)， OP 最長，此時(shí) OP 為半徑的長； 當(dāng) OP⊥ AB 時(shí)， OP 最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時(shí) OP 的長． 解：作直徑 MN ⊥弦 AB ，交 AB 于點(diǎn) D， 第 2頁共3頁 1 由垂徑定理，得 AD ＝ DB ＝ 2 AB＝ 4cm.又 ∵⊙ O 的直徑為 10cm，連接 OA，∴ OA＝ 5cm.在 Rt△ AO

11、D 中，由勾股定理，得 OD ＝ OA2－ AD 2＝ 3cm.∵垂線段最短， 半徑最長，∴ OP 的長度范圍是 3cm≤ OP≤ 5cm. 方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確 OP 最長、最短時(shí)的情況， 靈活利用垂徑定理求解． 容易出錯(cuò)的地方是不能確定最值時(shí)的情況． 三、板書設(shè)計(jì) 垂徑定理 1．垂徑定理 2．垂徑定理的推論 垂徑定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)很重要的定 理，由于它涉及的條件結(jié)論比較多， 學(xué)生容 易搞混淆， 本節(jié)課采取了講練結(jié)合、 動(dòng)手操 作的教學(xué)方法， 課前布置所有同學(xué)制作一張 圓形紙片， 課上利用此紙片探索、體驗(yàn)圓是 軸對稱圖形， 并進(jìn)一步利用圓的軸對稱性探 究垂徑定理，環(huán)環(huán)相扣、逐層深入，激發(fā)學(xué) 生的學(xué)習(xí)興趣，收到了很好的教學(xué)效果 . 第 3頁共3頁