《商品利潤最大問題》教案北師版九下

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1、 2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 第 2 課時 商品利潤最大問題 1．應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題中的最值問題； (重點(diǎn) ) 2．應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要能 正確分析和把握實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系， 從而得到函數(shù)關(guān)系，再求最值． (難點(diǎn) ) 一、情境導(dǎo)入 某商店經(jīng)營 T 恤衫，已知成批購進(jìn)時單價是 25 元．根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與銷售單價滿足如下關(guān)系： 在一段時間內(nèi)， 單價是 135 元時，銷售量是 500 件，而單價每降低 10 元，就可以

2、多售出 200 件．請你幫忙分析， 銷售單價是多少時，可以獲利最多？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：商品利潤最大問題 【類型一】 利用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大利潤 某體育用品店購進(jìn)一批單價為 40 元的球服，如果按單價 60 元銷售，那么一個月內(nèi)可售出 240 套，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少， 即銷售單價每提高 5 元，銷售量相應(yīng)減少 20 套．設(shè)銷售單價為 x(x≥60)元時，銷售量為 y 套． (1)求出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)銷售單件為多少元時， 月銷售額為 14000 元？ (3)當(dāng)銷售單價為多少元時，

3、才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 解析：(1)由銷售單價為 x 元得到銷售減  少量， 用 240 減去銷售減少量得到 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； (2) 直接用銷售單價乘以銷售 量等于 14000，列方程求得銷售單價； (3) 設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為 w 元，根據(jù)題意得 w ＝( x－ 40)(－ 4x＋ 480) ，然后利用配方法求最值． 解： (1)銷售單價為 x 元，則銷售量減少 x－ 60×20，故銷售量為 y＝ 240－ x－ 60× 20 5 5 ＝－ 4x＋ 480(x≥ 60)； (2) 根 據(jù) 題 意 可

4、得 x( － 4x ＋ 480) ＝14000，解得 x1＝ 70，x2＝50(不合題意，舍去 ) ，故當(dāng)銷售價為 70 元時，月銷售額為 14000 元； (3) 設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為 w 元，根據(jù)題意得 w ＝( x－ 40)(－ 4x＋ 480)＝－ 4x2＋ 640x－ 19200＝－ 4(x－ 80)2＋ 6400.當(dāng) x＝ 80 時， w 有最大值，最大值為 6400. 所以，當(dāng)銷售單價為 80 元時，才能在 一個月內(nèi)獲得最大利潤，最大利潤是 6400 元． 方法總結(jié)： 先得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式 y ＝ a(x－ h)2＋ k，當(dāng) a＜

5、 0，x＝ h 時， y 有最大值 k；當(dāng) a>0， x＝h 時， y 有最小值 k. 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 7 題 某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到 盈利的過程．右面的二次函數(shù)圖象 (部分 )刻 畫了該公司年初以來累積利潤 w (萬元 )與銷售時間 t(月 )之間的關(guān)系 (即前 t 個月的利潤總和 w 和銷售時間 t 之間的關(guān)系 )．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題： 第 1頁共3頁 (1) 由圖象上已知的信息，求累積利潤 w ( 萬元 )

6、與銷售時間 t( 月 )之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到 30 萬元； (3)求第 8 個月公司所獲利潤是多少萬 元． 解析：(1)本題是通過構(gòu)建函數(shù)模型解答銷售利潤的問題， 應(yīng)根據(jù)圖象以及題目中所給的信息來列出 w 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； 1 2 (2) 把 w＝ 30 代入累計利潤 w＝ 2t －2t 的函 數(shù)關(guān)系式里，求得月份； (3)分別將 t＝ 7， t 1 2 ＝ 8 代入函數(shù)解析 w＝ 2t －2t，再把總利潤 相減就可得出． 解： (1)由圖象可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2，－ 2) ，

7、故可設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為w ＝ a(t－ 2)2－ 2.∵所求函數(shù)關(guān)系式的圖象過 (0 ， 0)，于是 得 a(0－ 2)2－ 2＝ 0，解得 a＝ 12.∴函數(shù)關(guān)系式 1 2 1 2 －2t. 為 w＝ (t－2) － 2，即 w＝ t 2 2 所以，累積利潤 w 與銷售時間 t 之間的 函數(shù)關(guān)系式為 w＝ 1 t2－ 2t ； 2 1 2 1 2 － (2)把 w ＝30 代入 w＝ t － 2t，得 2 t

8、2 2t＝ 30.解得 t1＝ 10， t2 ＝－ 6(不合題意，舍 去 )． 所以，截止到 10 月末公司累積利潤可達(dá) 30 萬元； (3)把 t ＝7 代入關(guān)系式，得 w ＝ 12× 72－ 1 2× 7＝ 10.5，把 t＝ 8 代入關(guān)系式， 得 w ＝ 2× 82－ 2× 8＝ 16.16－ 10.5＝ 5.5(萬元 )． 所以，第 8 個月公司所獲利潤是 5.5 萬 元． 方法總結(jié)： 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，尤其是對本題圖象中所給信息的理解是解決

9、問題的關(guān)  鍵． 【類型二】 綜合運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)求最大利潤 宿松超市以每件 20 元的價格進(jìn)購一批商品， 試銷一階段后發(fā)現(xiàn)， 該商品每天的銷售量 y( 件)與售價 x(元 /件 )之間的函數(shù)關(guān)系如圖 (20≤ x≤ 60)． (1) 求每天銷售量 y(件 ) 與售價 x(元 /件 ) 之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 若該商品每天的利潤為 w (元 )，試確定 w(元 )與售價 x(元 /件 )之間的函數(shù)關(guān)系式， 并求售價 x 為多少時，每天的利潤

10、w 最大， 最大利潤是多少？ 解析：(1) 當(dāng) 20≤ x≤ 40 時，設(shè) y＝ ax＋ b， 當(dāng) 40＜ x≤ 60 時，設(shè) y＝ mx＋n，利用待定 系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可； (2)利用 (1) 中所求進(jìn)而得出 w (元 )與售價 x(元 /件 )的函 數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出函數(shù)最值． 解： (1) 分兩種情況：當(dāng) 20≤ x≤ 40 時， 20a＋ b＝ 40， 設(shè) y＝ ax＋ b，根據(jù)題意，得 解 40a＋ b＝ 60， 得 a＝ 1， 時， 故 y＝ x＋ 20；當(dāng) 40＜ x≤ 60 b＝20，

11、 40m＋ n＝ 60， 設(shè) y＝ mx＋ n，根據(jù)題意， 得 60m＋ n＝ 20， m＝－ 2， 解得 故 y＝－ 2x＋ 140. n＝ 140， 故每天銷售量 y(件)與售價 x(元 /件 )之間 的 函 數(shù) 表 達(dá) 式 是 y ＝ 第 2頁共3頁 x＋ 20（20≤ x≤ 40）， － 2x＋140（ 40＜x≤ 60）； (2)w ＝ 錯誤 ! ①當(dāng) 20≤ x≤ 40 時， w＝ x2－ 400，由于 1＞ 0，因而拋物線開口向上，且 x＞ 0 時 w 隨

12、x 的增大而增大，又 20≤ x≤ 40，因此當(dāng) x＝ 40 時， w 有最大值， w 最大值 ＝ 402－ 400 ＝ 1200 ；②當(dāng) 40＜ x≤60 時，w＝－ 2x2＋ 180x － 2800 ＝－ 2(x－ 45)2＋ 1250，由于－ 2＜ 0， 拋物線開口向下，又 40＜ x≤60，所以當(dāng) x ＝ 45 時， w 有最大值， w 最大值 ＝1250. 綜上所述，當(dāng) x＝ 45 時， w 最大值 ＝ 1250. 所以，售價為 45 元 /件時，每天的利潤 最大，最大利潤是 1250 元． 方法總結(jié)： 一次函數(shù)與二次函

13、數(shù)的綜合 應(yīng)用問題主要解決的是圖象與性質(zhì)的問題或生活中的實(shí)際應(yīng)用問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課 后鞏固提升” 第 2 題 【類型三】 利用表格信息求最大利潤 某商店經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第 x(1 ≤x≤ 90)天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表： 時間 x(天 ) 1≤ x＜ 50 50≤ x≤90 售價 (元/件 ) x＋ 40 90 每天銷量 (件 ) 200－ 2x 已知該商品的進(jìn)價為每件 30 元，設(shè)銷售該商品每天的利潤為 y 元． (1)求出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； (2)問銷售該商品第幾

14、天時， 當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？ 解析： (1) 分 1≤ x＜ 50 和 50≤ x≤ 90 兩 種情況進(jìn)行討論， 利用利潤＝每件的利潤 × 銷售的件數(shù)，即可求得函數(shù)的解析式； (2) 利用 (1)得到的兩個解析式， 結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值， 然后兩種情況下取最大的即可． 解： (1)當(dāng) 1≤ x＜ 50 時， y＝ (200－ 2x)(x ＋ 40 － 30) ＝ － 2x2 ＋ 180x ＋ 2000 ； 當(dāng) 50≤ x≤ 90 時， y＝ (200 － 2x)(90 － 30)＝－ 120x＋ 12000. 

15、 綜 上 所 述 ， y ＝ － 2x2＋ 180x＋ 2000（ 1≤ x＜ 50）， － 120x＋ 12000（ 50≤ x≤90）； (2) 當(dāng) 1≤x＜ 50 時， y＝－ 2x2＋ 180x＋ 2000，二次函數(shù)開口向下， 對稱軸為 x＝45， 當(dāng) x＝ 45 時， y 最大 ＝－ 2× 452＋ 180×45＋ 2000＝ 6050；當(dāng) 50≤x≤ 90 時， y＝－ 120x ＋ 12000，y 隨 x 的增大而減小， 當(dāng) x＝ 50 時， y 最大 ＝6000. 綜上所述，銷售該商品第 45 天時，當(dāng)天銷售利潤最大

16、，最大利潤是 6050 元． 方法總結(jié)： 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng) 用，讀懂表格信息、理解利潤的計算方法， 即利潤＝每件的利潤 × 銷售的件數(shù)， 是解決 問題的關(guān)鍵． 三、板書設(shè)計 商品利潤最大問題 1．利用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大 利潤 2．綜合運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)求最大利潤 3.利用表格信息求最大利潤 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖 象及性質(zhì)后， 應(yīng)用二次函數(shù)的最大值解決銷 售問題的最大利潤問題． 本節(jié)課的設(shè)計力求 通過創(chuàng)設(shè)問題情境， 有計劃、有步驟地安排 好思維序列，使學(xué)生的思維活動在“探索 —— 發(fā)現(xiàn)”的過程中充分展開， 力求使學(xué)生 經(jīng)歷運(yùn)用邏輯思維和非邏輯思維再創(chuàng)造的 過程，整個教學(xué)過程突出知識的形成與發(fā)展的過程，讓學(xué)生既獲得了知識又發(fā)展了智力，同時提升了能力 . 第 3頁共3頁