《切線的判定及三角形的內切圓》教案北師版九下

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1、 3.6 直線和圓的位置關系 第 2 課時 切線的判定及三角形的內切圓 1．掌握切線的判定定理，并會運用它進行切線的證明； (重點 ) 2．能靈活選用切線的三種判定方法判定一條直線是圓的切線； (難點 ) 3．掌握畫三角形內切圓的方法和三角形內心的概念 . (重點 ) 一、情境導入  證明： 連接 OC，如圖，∵ AC＝ CD ，∠D＝30°，∴∠ A＝∠ D ＝30°.∵OA＝ OC ，∴∠ ACO ＝∠ A＝ 30°，∴∠ COD ＝ 60°，∴∠ OCD ＝ 90°

2、，即 OC⊥CD .∴ CD 是⊙ O 的切線． 方法總結： 一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論， 特別要注意 “ 經過半徑的外端 ” 和 “ 垂直于這條半徑 ” 這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓練”第 6 題 【類型二】 直線與圓的公共點沒有確定時，證明圓的切線 下雨天，當你轉動雨傘， 你會發(fā)現雨傘上的水珠順著傘面的邊緣飛出． 仔細觀察一下，水珠是順著什么樣的方向飛出的？這就是我們所要研究的直線與圓相切的情況． 二、合作探究

3、 探究點一：切線的判定 【類型一】 已知直線過圓上的某一個點，證明圓的切線 如圖，點 D 在⊙ O 的直徑 AB 的延長線上，點 C 在⊙ O 上， AC＝CD ，∠ D ＝ 30°，求證： CD 是⊙ O 的切線．  如圖， O 為正方形 ABCD 對角線 AC 上一點，以 O 為圓心， OA 長為半徑的 ⊙ O 與 BC 相切于點 M.求證： CD 與⊙ O 相切． 解析： 連接 OM，過點 O 作 ON⊥CD 于點 N，用正方形的性質得出 AC 平分角 ∠ BCD ，再利用角平分線的性質

4、得出 OM ＝ ON 即可． 證明： 連接 OM，過點 O 作 ON⊥CD 于點 N，∵⊙ O 與 BC 相切于點 M，∴ OM ⊥ BC.又∵ ON⊥ CD ， O 為正方形 ABCD 對 角線 AC 上一點， ∴OM＝ON，∴ CD 與⊙ O 相切． 方法總結： 如果直線與圓的公共點沒有確定， 則應過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑． 解析： 要證明 CD 是⊙ O 的切線，即證 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課 明 OC⊥ CD.連接 OC，由 AC＝ CD，∠ D＝ 堂達標訓練”第 5 題 30°，則

5、∠ A＝ ∠ D＝ 30°，得到 ∠ COD ＝ 【類型三】 切線的性質和判定的綜合 60°，所以 ∠ OCD ＝ 90° . 應用 第 1頁共3頁 如圖，在 Rt△ ABC 中，∠C＝ 90°， 那么∠ EDF 等于 ( ) BE 平分∠ ABC 交 AC 于點 E，點 D 在 AB 上， DE ⊥ EB. (1)求證：AC 是△ BDE 的外接圓的切線； (2)若 AD ＝ 2 3， AE＝ 6，求 EC 的長． A．40° B． 55°

6、 C． 65° D． 70° 解析： (1) 取 BD 的中點 O，連接 OE， 解析： ∵∠ A＋ ∠ B＋ ∠ C＝ 180°，∠ B 如圖，由 ∠BED ＝ 90°，可得 BD 為 △ BDE ＝ 50°，∠ C＝ 60°，∴∠ A＝ 70° .∵⊙ O 的外接圓的直徑，點 O 為 △ BDE 的外接圓 內切于 △ ABC，切點分別為 D、E、F，∴∠ 的圓心，再證明 OE∥ BC，得到 ∠ AEO＝ ∠ C OEA＝ ∠ OFA＝ 90°，∴∠ EOF ＝ 360°－ ＝ 90°，可得結論； (2) 設⊙ O 的半徑為

7、r ， ∠ A－ ∠ OEA －∠ OFA＝110°，∴∠ EDF ＝ 根據勾股定理和平行線分線段成比例定理， 1∠ EOF＝ 55° .故選 B. 可求答案． 2 (1)證明： 取 BD 的中點 O，連接 OE， 方法總結： 解決本題的關鍵是理解三角 如圖所示，∵ DE ⊥ EB，∴∠ BED＝ 90°， 形內心的概念，求出 ∠ EOF 的度數． ∴ BD 為△ BDE 的外接圓的直徑，點 O 為 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課 △ BDE 的外接圓的圓心． ∵ BE 平分∠ ABC， 堂達標訓練”第 10 題 ∴∠ C

8、BE＝∠ OBE.∵ OB＝ OE，∴∠ OBE＝ ∠ OEB ，∴∠ OEB ＝∠ CBE ，∴ OE ∥ BC， ∴∠ AEO＝∠ C＝ 90°，∴ OE⊥ AE，∴ AC 是△ BDE 的外接圓的切線； (2)解： 設⊙ O 的半徑為 r，則 OA＝OD ＋ DA ＝ r ＋ 2 3，OE＝ r .在 Rt△ AEO 中，有 【類型二】 求三角形內切圓半徑 AE 2＋ OE2＝ AO2，即 62＋ r2＝ (r ＋2 3)2，解 如圖， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， 得 r＝ 2 3.∵ OE∥ BC

9、，∴ AE＝ AO，即 6 ＝ AC＝ 6， CB＝ 8，則△ ABC 的內切圓半徑 r CE OB CE 為 ( ) 4 3，∴ CE＝ 3. A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 解析： ∵∠ C＝ 90°， AC＝ 6，CB＝8， 2 3 方法總結： 經過半徑的外端且垂直于這 ∴ AB＝ AC2＋ BC2 ＝ 10，∴△ ABC 的內切 條半徑的直線是圓的切線． 要證某線是圓的 圓半徑 r＝ 6＋ 8－10＝ 2.故選 B. 切線， 已知此線過圓上某點，連接圓心與這 2 點 ( 即為半徑 ) ，

10、再證垂直即可． 方法總結： 記住直角邊為 a、b，斜邊為 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課 c 的三角形的內切圓半徑為 a＋ b－ c，可以大 后鞏固提升”第 6 題 2 探究點二：三角形的內切圓 大簡化計算． 【類型一】 利用三角形的內心求角的 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課 度數 后鞏固提升”第 2 題 如圖，⊙O 內切于△ ABC，切點 D、 【類型三】 三角形內心的綜合應用 E、 F 分別在 BC、 AB、 AC 上．已知∠ B＝ 如圖①， I 是△ ABC 的內心，

11、 AI 50°， ∠C＝ 60°，連接 OE，OF，DE ，DF ， 的延長線交邊 BC 于點 D，交△ ABC 的外接 第 2頁共3頁 圓于點 E. (1)BE 與 IE 相等嗎？請說明理由． (2)如圖②， 連接 BI ，CI ，CE，若∠ BED ＝∠ CED ＝60°，猜想四邊形 BECI 是何種特殊四邊形，并證明你的猜想． 解析： (1) 連接 BI ，根據 I 是△ ABC 的內心，得出 ∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝ ∠ 4，再根據∠ BIE ＝∠1＋∠3

12、，∠ IBE＝∠5＋∠4，而 ∠5 ＝ ∠ 1＝ ∠2，得出 ∠BIE ＝ ∠ IBE，即可證出 IE ＝ BE； (2) 由三角形的內心，得到角平分 線，根據等腰三角形的性質得到邊相等， 由等量代換得到四條邊都相等， 推出四邊形是菱形． 解： (1)BE ＝ IE .理由如下：如圖①，連 接 BI ，∵ I 是△ ABC 的內心，∴∠ 1＝∠ 2， ∠ 3＝∠ 4.∵∠ BIE ＝∠ 1＋∠ 3，∠ IBE ＝∠ 5 ＋∠ 4，而∠ 5＝∠ 1＝∠ 2，∴∠ BIE ＝∠ IBE ， ∴ BE＝ IE； (2) 四邊形 BECI 是菱形．證明如下：∵∠BE

13、D＝∠CED＝60°， ∴∠ABC＝ ∠ ACB ＝ 60°，∴ BE＝ CE.∵I 是△ ABC 的 內心， ∴∠ 4＝ 1∠ ABC＝ 30°，∠ ICD ＝ 1∠ 2 2 ACB＝ 30°，∴∠ 4＝∠ ICD ，∴ BI ＝IC .由 (1) 證得 IE ＝BE ，∴ BE＝ CE＝ BI ＝IC ，∴四邊 形 BECI 是菱形． 方法總結： 解決本題要掌握三角形的內心的性質，以及圓周角定理． 三、板書設計 切線的判定及三角形的內切圓 1．切線的判定方法 2．三角形的內切圓和內心的概念 本節(jié)課多處設計了觀察探究、 分組討論等學生活動內容， 如動手操作“切線的判定定理的發(fā)現過程”，以及講解例題時學生的參  與，課堂練習的設計都體現了以教師為主導、學生為主體的教學原則 . 第 3頁共3頁