《利用二次函數(shù)求方程的近似根》教案北師版九下

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1、 2.5 二次函數(shù)與一元二次方程 第 2 課時(shí) 利用二次函數(shù)求方程的近似根 1．會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根； (重點(diǎn) ) 2．進(jìn)一步體會二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系． (難點(diǎn) ) 一、情境導(dǎo)入 你能根據(jù)函數(shù) y＝ x2＋ 2x－ 5 的圖象 (如圖 )，求出方程 x2 ＋ 2x－5＝ 0 的近似根嗎 ( 精確到 0.1)? 由圖象知，拋物線與 x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們分別位于 x 軸上 1 和 2、－

2、4 和－ 3 之間，所以一元二次方程 x2 ＋ 2x－5＝ 0 有兩個(gè)根，它們分別介于 1 和 2、－ 4 和－ 3 之間．這兩個(gè)根分別是 1.5 和－ 3.5 嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)：利用二次函數(shù)求方程的近似根【類型一】 利用二次函數(shù)估算一元二 次方程的近似根 利用二次函數(shù)的圖象估計(jì)一元二 次方程 x2－ 2x－ 1＝0 的近似根 (精確到 0.1)． 解析：根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系， 可得函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的方程的解．  解： 方程 x2－ 2x－ 1＝ 0

3、 根是函數(shù) y＝ x2 － 2x－1 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 作出二次函數(shù) y＝ x2－ 2x－1 的圖象，如 圖所示，由圖象可知方程有兩個(gè)根， 一個(gè)在 － 1 和 0 之間，另一個(gè)在 2 和 3 之間．先求 － 1 和 0 之間的根，當(dāng) x＝－ 0.4 時(shí)， y＝－ 0.04；當(dāng) x＝－ 0.5 時(shí)， y＝ 0.25.因此， x＝－ 0.4(或 x＝－ 0.5)是方程的一個(gè)近似根． 同理，x＝ 2.4(或 x＝2.5)是方程的另一個(gè)近似根． 方法總結(jié)： 解答此題的關(guān)鍵是求出對稱軸，然后由圖象解答，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法． 【類型二

4、】 列表求一元二次方程的近 似根 下面表格列出了函數(shù) y＝ ax2＋ bx ＋ c(a，b， c 是常數(shù)，且 a≠ 0)部分 x 與 y 的對應(yīng)值，那么方程 ax2＋ bx＋c＝0 的一個(gè)根 x 的取值范圍是 () x 6.17 6.18 6.19 6． 20 y － 0.03 － 0.01 0.02 0.04 A.6 ＜ x＜6.17 B． 6.17＜ x＜ 6.18 C． 6.18＜x＜ 6.19 D ．6.19＜ x＜ 6.20 解析： 由表格中的數(shù)據(jù)得，在 6.17＜ x ＜ 6.20 范圍內(nèi)， y 隨 x

5、的增大而增大，當(dāng) x ＝ 6.18 時(shí)， y＝－ 0.01，當(dāng) x＝ 6.19 時(shí)， y＝ 0.02，方程 ax 2＋ bx＋ c＝ 0 的一個(gè)根 x 的取 值范圍是 6.18 ＜x＜ 6.19，故選 C. 方法總結(jié)： 利用拋物線的增減來確定拋物線與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的可能位置． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課 第 1頁共3頁 后鞏固提升”第 1 題 【類型三】 利用圖象求一元二次方程的近似根 已知二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋ c 的圖象如圖所示， 則一元二次方程 ax2＋ bx＋

6、c ＝0 的近似根為 () A．x1≈－ 2.1，x2≈ 0.1 B ．x1≈－ 2.5， x2≈0.5 C． x1≈－ 2.9， x2≈ 0.9 D ． x1≈－ 3， x2≈1 解析：由圖象可得二次函數(shù) y＝ax2 ＋bx＋ c 圖象的對稱軸為 x＝－ 1，而對稱軸右側(cè) 圖象與 x 軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離約為 0.5 ，∴ x2≈0.5；又 ∵對稱軸為 x＝－ 1，則 x1＋ x2 ＝ 2 － 1，∴ x1＝ 2× (－ 1)－ 0.5＝－ 2.5.故 x1

7、≈－2.5， x2≈ 0.5.故選 B. 方法總結(jié)： 解答本題首先需要根據(jù)圖象估計(jì)出一個(gè)根， 再根據(jù)對稱性計(jì)算出另一個(gè)根，估計(jì)值的精確程度， 直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，故估計(jì)盡量要準(zhǔn)確． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 6 題 【類型四】 利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象求方程的根 已知二次函數(shù) y＝ 2x2－ 2 和函數(shù) y ＝ 5x＋ 1. (1) 你能用圖象法求出方程2x2 － 2＝ 5x ＋ 1 的解嗎？ (2) 請通過解方程的方法驗(yàn)證(1) 問的 解． 解析：(1)根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是相應(yīng)方程的解，可得答案

8、； (2)根據(jù)因式分解，可得方程的解． 解： (1)如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出 y ＝ 2x2－ 2 和函數(shù) y＝ 5x＋ 1 的圖象，如圖所示：  圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－ 1，3，故 2x2－ 2 2 1 ＝ 5x＋1 的解是 x1＝－ 2， x2＝ 3； (2) 由 (1)可知交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程 2x2－ 2 1 式分解，得 (2x＋ 1)(x－ 3)＝ 0.解得 x1＝－ ， x2＝ 3，可知 (1) 中求得的解正確．

9、 方法總結(jié)： 利用圖象法求一元二次方程 的近似根，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課 后鞏固提升”第 4 題 【類型五】 二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜 合 利用圖象解一元二次方程 x2＋ x － 3＝0 時(shí)，我們采用的一種方法是： 在平面 直角坐標(biāo)系中畫出拋物線 y＝ x2 和直線 y＝ － x＋ 3，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解． (1) 填空：利用圖象解一元二次方程 x2 ＋ x－ 3 ＝ 0，也可以這樣求解：在平面直角 坐標(biāo)系中畫出拋物線 y＝ ________和直線 y

10、 ＝－ x，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解； 6 (2) 已知函數(shù) y＝－ x的圖象 (如圖所示 )， 利用圖象求方程 6x－ x＋ 3＝0 的近似根 (結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字 )． 第 2頁共3頁 3．利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象求 方程的根 在教學(xué)過程中， 教師作為引導(dǎo)者，為學(xué)生創(chuàng) 設(shè)問題情境、提供問題， 給學(xué)生提供廣闊的 思考空間、 活動空間，為學(xué)生搭建自主學(xué)習(xí) 的平臺；學(xué)生則在老師的指導(dǎo)下經(jīng)歷操作、 解析： (1)一元二次方程 x2＋ x－ 3＝ 0 可

11、 實(shí)踐、思考、交流、合作的過程，其知識的 以轉(zhuǎn)化為 x2－3＝－ x，所以一元二次方程 x2 形成和能力的培養(yǎng)相伴而行，創(chuàng)造“海闊憑 ＋ x－ 3＝ 0 的解可以看成拋物線 y＝x2 －3 與 魚躍，天高任鳥飛”的課堂境界. 直線 y＝－ x 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (2)函數(shù) y＝－ 6 x 的圖象與直線 y＝－ x＋ 3 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就 6 是方程 －x＋ 3＝ 0 的近似根． 解： (1)x2－ 3 (2)圖象如圖所示： 6 由圖象可得， 方程 － x＋ 3＝0 的近似根 為 x1＝－ 1.4，x2＝ 4.4. 方法總結(jié)： 利用二次函數(shù)圖象求一元二 次方程的近似根的步驟是： (1) 作出函數(shù)的圖 象，由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)； (2)由圖象 與 y＝ h 的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍； (3) 觀察圖象求得方程的近似根． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課 后鞏固提升”第 8 題 三、板書設(shè)計(jì) 利用二次函數(shù)求方程的近似根 1．利用二次函數(shù)估算一元二次方程的 近似根 2．列表或利用圖象求一元二次方程的 近似根 第 3頁共3頁