《函數(shù)的表示方法》教案

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1、 第 2 課時(shí) 函數(shù)的表示方法 1．了解函數(shù)的三種不同的表示方法并在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要，選擇函數(shù)恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ?(重點(diǎn) ) 2．通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用． ( 難點(diǎn) ) 一、情境導(dǎo)入 問題：(1)某人上班由于擔(dān)心遲到所以一開始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距單位的距離看成是關(guān)于出發(fā)時(shí)間的函數(shù)，想一想我們用怎樣的方法才能更好的表示這一函數(shù)呢？ (2)生活中我們經(jīng)常遇到銀行利率、 列車時(shí)刻、國民生產(chǎn)總值等問題，想一想，這 些問 題

2、在 實(shí)際生 活中 又是 如何 表示的？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：函數(shù)的表示方法 【類型一】 用列表法表示函數(shù)關(guān)系有一根彈簧原長 10 厘米，掛重 物后 (不超過 50 克 )，它的長度會(huì)改變，請(qǐng)根據(jù)下面表格中的一些數(shù)據(jù)回答下列問 題： 質(zhì)量 (克) 1 2 3 4 伸長量 (厘米 )0.5 1 1.5 2 總長度 (厘米 ) 10.5 11 11.5 12 (1)要想使彈簧伸長 5 厘米，應(yīng)掛重物 多少克？ (2)當(dāng)所掛重物為 x 克時(shí)，用 h 厘米表示總長度，請(qǐng)寫出此時(shí)彈簧的總長度的函數(shù)表達(dá)

3、式． (3)當(dāng)彈簧的總長度為 25 厘米時(shí)，求 此時(shí)所掛重物的質(zhì)量為多少克． 解析： (1)根據(jù)掛重物每克伸長 0.5 厘  米，要伸長 5 厘米，可得答案； (2)根據(jù)掛重物與彈簧伸長的關(guān)系，可得函數(shù)解析式； (3)根據(jù)函數(shù)值，可得所掛重物質(zhì)量． 解： (1)5 ÷0.5× 1＝ 10(克)， 答：要想使彈簧伸長 5 厘米，應(yīng)掛重 物 10克； (2) 函 數(shù) 的 表 達(dá) 式 ： h ＝ 10 ＋ 0.5x(0≤x≤50)； (3)當(dāng) h＝ 25 時(shí)，25＝10＋0.5x，x＝30， 答：當(dāng)彈簧的總長度為 25 厘米

4、時(shí)，此時(shí)所掛重物的質(zhì)量為 30 克． 方法總結(jié)： 列表法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，簡潔明了．列表法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛應(yīng)用．如成績表、銀行的利率表等． 【類型二】 用圖象法表示函數(shù)關(guān)系如圖描述了一輛汽車在某一直 路上的行駛過程，汽車離出發(fā)地的距離 s(千米 ) 和行駛時(shí)間 t(小時(shí) ) 之間的關(guān)系，請(qǐng) 根據(jù)圖象回答下列問題： (1)汽車共行駛的路程是多少？ (2)汽車在行駛途中停留了多長時(shí)間？ (3)汽車在每個(gè)行駛過程中的速度分別是多少？

5、(4)汽車到達(dá)離出發(fā)地最遠(yuǎn)的地方后返回，則返回用了多長時(shí)間？ 解析： 根據(jù)圖象解答即可． 解：(1)由縱坐標(biāo)看出汽車最遠(yuǎn)行駛路 程是 120 千米，往返共行駛的路程是 120×2＝240(千米 )； (2)由橫坐標(biāo)看出 2－1.5＝0.5(小時(shí) )，故汽車在行駛途中停留了 0.5 小時(shí)； 第 1頁共3頁 (3)由縱坐標(biāo)看出汽車到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)的 路程是 80 千米，由橫坐標(biāo)看出到達(dá) B 點(diǎn) 所用的時(shí)間是 1.5 小時(shí)，由此算出平均速 160 度 80÷1.5＝ 3 ( 千米 /時(shí) )；由縱坐標(biāo)看出汽車從 B

6、 到 C 沒動(dòng)，此時(shí)速度為 0 千米 / 時(shí)；由橫坐標(biāo)看出汽車從 C到D用時(shí) 3－ 2＝1(小時(shí) )，從縱坐標(biāo)看出行駛了 120－ 80 ＝ 40(千米 ) ，故此時(shí)的平均速度為 40÷1＝ 40(千米 /時(shí))；由縱坐標(biāo)看出汽車返回的路程是 120 千米，由橫坐標(biāo)看出用時(shí) 4.5－ 3 ＝ 1.5(小時(shí) )，由此算出平均速度 120÷1.5 ＝ 80(千米 /時(shí))； (4)由橫坐標(biāo)看出 4.5－3＝ 1.5 小時(shí)，返回用了 1.5 小時(shí)． 方法總結(jié)： 圖象法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象地表示自變量與相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì)，有利于我們通過圖象來研究函數(shù)的

7、性質(zhì)．圖象法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用，如企業(yè)生產(chǎn)圖，股票指數(shù)走勢(shì)圖等． 【類型三】 用解析式法表示函數(shù)關(guān) 系 一輛汽車油箱內(nèi)有油 48 升，從某地出發(fā)，每行 1 千米，耗油 0.6 升，如果設(shè)剩余油量為 y(升 ) ，行駛路程為 x( 千 米 )． (1)寫出 y 與 x 的關(guān)系式； (2)這輛汽車行駛 35 千米時(shí)，剩油多少升？汽車剩油 12 升時(shí)，行駛了多千米？ (3)這輛車在中途不加油的情況下最遠(yuǎn)能行駛多少千米？ 解析：(1)根據(jù)總油量減去用油量等于 剩余油量， 可得函數(shù)解析式； (2)根據(jù)自變 量，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)

8、值，可 得相應(yīng)自變量的值； (3) 令 y＝ 0，求出 x 即可． 解： (1) y＝－ 0.6x＋ 48； (2)當(dāng) x＝35 時(shí)，y＝48－0.6× 35＝27，∴這輛車行駛 35 千米時(shí)，剩油 27 升；當(dāng)y＝12 時(shí)， 48－0.6x＝ 12，解得 x＝ 60，∴汽車剩油 12 升時(shí)，行駛了 60 千米； (3)令 y＝ 0，－ 0.6x＋ 48＝ 0，解得 x ＝ 80，即這輛車在中途不加油的情況下最  遠(yuǎn)能行駛 80km. 方法總結(jié)： 解析式法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一 是簡明、精確地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意

9、一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值． 探究點(diǎn)二：函數(shù)表示方法的綜合運(yùn)用 【類型一】 分段函數(shù)及其表示 為了節(jié)能減排，鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，某市將出臺(tái)新的居民用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)： (1)若每戶居民每月用電量不超過 100 度， 則按 0.50 元 /度計(jì)算； (2)若每戶居民每月用電量超過 100 度，則超過部分按 0.80 元/度計(jì)算 ( 未超過部分仍按每度電 0.50 元計(jì) 算 ) ．現(xiàn)假設(shè)某戶居民某月用電量是 x(單位：度 )，電費(fèi)為 y(單位：元 )，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系用圖象表示正確的是 ( ) 解析： 根據(jù)題意，當(dāng)

10、0≤x≤100 時(shí)， y＝ 0.5x；當(dāng) x＞ 100 時(shí)，y＝ 100× 0.5＋ 0.8(x － 100)＝50＋ 0.8x－ 80＝ 0.8x－30，所以， y 與 x 的 函 數(shù) 關(guān) 系 為 y ＝ 0.5x（0≤x≤ 100）， 縱觀各選項(xiàng)，只有 0.8x－30（x>100） . C 選項(xiàng)圖形符合．故選 C. 方法總結(jié)： 根據(jù)圖象讀取信息時(shí)，要把握住以下三個(gè)方面： ① 橫、縱軸的意義，以及橫、縱軸分別表示的量； ② 要求關(guān)于某個(gè)具體點(diǎn)，向橫、縱軸作垂線來求得該點(diǎn)的坐標(biāo)； ③在實(shí)際問題中，要注意圖象 與 x 軸、 y

11、 軸交點(diǎn)坐標(biāo)代表的具體意義．【類型二】 函數(shù)與圖形面積的綜合 運(yùn)用 如圖①所示，矩形 ABCD 中，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BC、CD、 DA 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) A 停止，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的路程為 x， △ ABP 的面積為 y，y 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象如圖②所示． (1)求矩形 ABCD 的面積； (2)求點(diǎn) M 、點(diǎn) N 的坐標(biāo)； (3)如果△ ABP 的面積為矩形 ABCD 第 2頁共3頁 面積的 15，求滿足條件的 x 的值．

12、 解析： (1)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 的過程中，運(yùn)動(dòng)路程為 4 時(shí)，面積發(fā)生了變 化且面積達(dá)到最大，說明 BC 的長為 4；當(dāng)點(diǎn) P 在 CD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， △ ABP 的面積保持不變，就是矩形 ABCD 面積的一半，并且運(yùn)動(dòng)路程由 4 到 9，說明 CD 的長為 5. 然后求出矩形的面積； (2)利用 (1)中所求可得當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)，△ ABP 的面積為10，進(jìn)而得出 M 點(diǎn)坐標(biāo)，利用 AD，BC， CD 的長得出 N 點(diǎn)坐標(biāo)； (3)分點(diǎn) P 在 BC、 CD 、 AD 上時(shí)，分別求出點(diǎn) P 到 AB 的距離，然后根據(jù)三角形的面積公式列式即可

13、 求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出 x 即可． 解：(1)結(jié)合圖形可知， P 點(diǎn)在 BC 上， △ ABP 的面積為 y 增大，當(dāng) x 在 4～ 9 之間，△ ABP 的面積不變， 得出 BC＝ 4，CD＝ 5，∴矩形 ABCD 的面積為 4× 5＝20； (2)由 (1) 得當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)， △ ABP 的面積為 10，則點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為10，故點(diǎn) M 坐標(biāo)為 (4，10)．∵ BC＝ AD ＝4，CD＝5，∴ NO＝13，故點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 (13，0)； (3)當(dāng)△ ABP 的面積為矩形 ABCD 面 積的 15，則△ ABP 的面

14、積為 20× 15＝4. ①點(diǎn) P 在 BC 上時(shí)， 0≤x≤ 4，點(diǎn) P 1 到 AB 的距離為 PB 的長度 x，y＝2AB ·PB 1 5x 5x ＝ 2× 5x＝ 2 ，令 2 ＝ 4，解得 x＝1.6； ②點(diǎn) P 在 CD 上時(shí)， 4≤ x≤ 9，點(diǎn) P  到 AB 的距離為 BC 的長度 4，y＝ 12AB·PB 1 ＝2×5×4＝10(不合題意，舍去 )； ③點(diǎn) P 在 AD 上時(shí)， 9≤ x≤ 13 時(shí)，點(diǎn) P 到 AB 的距離為 PA 的長度 13－ x， y＝ 1

15、2 1 5 5 AB·PA＝ 2× 5× (13－x)＝ 2(13－ x)，令 2(13 － x)＝4，解得 x＝ 11.4， 綜上所述，滿足條件的 x 的值為 1.6 或 11.4. 方法總結(jié)： 函數(shù)圖象與圖形面積是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的典型問題，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力． 用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義． 三、板書設(shè)計(jì) 1．函數(shù)的三種表示方法 (1)列表法； (2)圖象法； (3)解析式法． 2．函數(shù)表示方法的綜合運(yùn)用 函數(shù)表示法這節(jié)課的難點(diǎn)在于針對(duì)不同的問題如何選擇這三種方法進(jìn)行表示．針對(duì)這個(gè)問題，可通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例子比較來解決．這樣學(xué)生通過對(duì)不同例子的比較就能很好的區(qū)分這三種方法的特點(diǎn)，并能選擇合適的方法．這節(jié)課的另一個(gè)目標(biāo)是讓學(xué)生了解分段函數(shù)，通過兩個(gè)例子的介紹，能理解分段函數(shù)并按要求進(jìn)行求值． 第 3頁共3頁