小學(xué)奧數(shù) 濃度問題

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1、. 奧數(shù)專題：溶液濃度問題 一、引題 熊喝豆?jié){： 黑熊領(lǐng)著三個(gè)弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了狐貍開的豆?jié){店。 只見店門口張貼著廣告：“既甜又濃的豆?jié){每杯0.3元?！焙谛鼙阏泻舻艿軅冃_，一起來喝豆?jié){。黑熊從狐貍手中接過一杯豆?jié){，給最小的弟弟喝掉，加滿水后給老三喝掉了，再加滿水后，又給老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。狐貍開始收錢了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.3×＝0.05(元)；老三0.3×＝0.1(元)； 老二與黑熊付的一樣多，0.3×＝0.15(元)。兄弟一共付了0.45元。 兄弟們很驚訝，不是說，一杯豆?jié){0.3元，為什么多付0.45－0.3＝0.1

2、5元.肯定是黑熊再敲詐我們。 不服氣的黑熊嚷起來：“多收我們堅(jiān)決不干?！薄安唤o，休想離開?！爆F(xiàn)在，大家說說為什么會(huì)這樣呢. 二、知識(shí)體系及常規(guī)解法 我們把被溶解的物質(zhì)稱為“溶質(zhì)”，把被溶解物質(zhì)成為“溶劑”。如在，酒中，酒精是溶質(zhì)，水是溶劑。 我們現(xiàn)在所說的濃度為質(zhì)量濃度； 溶液質(zhì)量＝溶質(zhì)質(zhì)量＋溶劑質(zhì)量； 溶液濃度＝＝＝。 當(dāng)我們用百分?jǐn)?shù)來表示濃度時(shí)，我們將溶液濃度的數(shù)字乘以100％。 當(dāng)多種不同濃度的溶液混合，混合后溶液濃度等于混合后總?cè)軇┵|(zhì)量除以混合后總?cè)芤嘿|(zhì)量。 混合后溶液濃度＝ ＝ 即為各濃度的加權(quán)平均。 兩種重要方法 1、“濃度三角”法（改“十字交叉

3、”法。） 【解法范例】用濃度為45％和5％的兩種鹽水配制成濃度為30％的鹽水4千克，需要這兩種鹽水各多少千克. 解：我們畫出三角，在頂上標(biāo)出混合后的濃度數(shù)，在兩個(gè)下角標(biāo)出兩種被混合溶液的濃度數(shù)，求 出上角與兩個(gè)下角的濃度差，標(biāo)在對(duì)應(yīng)邊上，然后將乙邊的差寫到道甲旁邊，把寫在甲邊的差寫 到乙旁邊。 求出它們的比，即甲、乙兩種溶液所需的重量(嚴(yán)格說是質(zhì)量)比。 我們，知道，“濃度三角”實(shí)際是十字交叉法 的變形；而十字交叉法原理即為加權(quán)平均。 2、權(quán)重法 我們把，每份溶液所占全部溶液的份數(shù)稱為權(quán)重，記為q1，q2，q3，……，qn，我們知道qk=＝。 則混合后，溶液的濃度

4、等于，各自溶液的濃度乘以它的權(quán)重的和，即： 混合后濃度＝＝ 我們可以將純?nèi)苜|(zhì)看成濃度為100％，將純?nèi)軇┛闯?％。 【解法范例】我們把50％的鹽水1千克與20％的鹽水4千克混合，求混合后溶液濃度. 我們嘗試用權(quán)重法來解決： 方法一、普通方法 求出第一份溶液中溶質(zhì)(即食鹽)質(zhì)量，50％×1＝0.5千克； 第二份溶液中溶質(zhì)質(zhì)量，20％×4＝0.8千克； 則總?cè)苜|(zhì)質(zhì)量為0.5＋0.8＝1.3千克； 總?cè)軇┵|(zhì)量為1＋4＝5千克。 于是，混合后溶液的濃度為：＝26%。 方法二、加權(quán)平均

5、法 我們算出，兩種溶液的權(quán)重， 第一種溶液權(quán)重＝；第二種溶液權(quán)重＝。 于是，混合后溶液的濃度為×50％＋×20％＝26%。 我們看出，加權(quán)平均法還是很簡(jiǎn)單的。 此講的特點(diǎn)是要理清溶液、溶質(zhì)、溶劑質(zhì)量的關(guān)系。 對(duì)于方法，我們可以采用方程法更好的解決問題。 例1 配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克. 例2 有酒精含量為36％的酒精溶液若干，加入一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為30％的溶液，如果再稀釋到24％，那么還需要加水的數(shù)量是上次加的水的幾倍. 例3 現(xiàn)在有溶液兩種，甲為50％的溶液，乙為30％的溶液，各90

6、0克，現(xiàn)在從甲、乙兩溶液中各取300克，分別放到乙、甲溶液中，混合后，再?gòu)募?、乙兩溶液中各?00克，分別放到乙、甲溶液中，……， 問1)、第一次混合后，甲、乙溶液的濃度. 2)、第四次混合后，甲、乙溶液的濃度" 3)、猜想，如果這樣無窮反復(fù)下去，甲、乙溶液的濃度。 濃度問題 專題簡(jiǎn)析： 在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題，即濃度問題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液＝糖+水）二者質(zhì)量的比值決定的。這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶

7、于水中，純酒精與酒精溶液二者質(zhì)量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示，即， 濃度＝×100％＝×100％ 解答濃度問題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問題時(shí)，根據(jù)題意列方程解答比較容易，在列方程時(shí)，要注意尋找題目中數(shù)量問題的相等關(guān)系。 濃度問題變化多，有些題目難度較大，計(jì)算也較復(fù)雜。要根據(jù)題目的條件和問題逐一分析，也可以分步解答。 例題1。 有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖. 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，在7％的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水的質(zhì)量并沒有改變。因此，

8、可以先根據(jù)原來糖水中的濃度求出水的質(zhì)量，再根據(jù)后來糖水中的濃度求出現(xiàn)在糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水的質(zhì)量減去原來糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)量。 原來糖水中水的質(zhì)量：600×（1－7％）＝558（克） 現(xiàn)在糖水的質(zhì)量 ：558÷（1－10％）＝620（克） 加入糖的質(zhì)量 ：620－600＝20（克） 答：需要加入20克糖。 練習(xí)1 1、 現(xiàn)在有濃度為20％的糖水300克，要把它變成濃度為40％的糖水，需要加糖多少克. 2、

9、有含鹽15％的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20％，需加鹽多少千克. 3、 有甲、乙兩個(gè)瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多. 例題2。 一種35％的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75％時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為35％的農(nóng)藥加多少千克水，才能配成1.75％的農(nóng)藥800千克. 【思路導(dǎo)航】把濃度高的溶液經(jīng)添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^程稱為稀釋。在這種稀釋過程中，溶質(zhì)的質(zhì)量是不變的。這是解這類問題的關(guān)鍵。 800千克1.75％的農(nóng)藥含

10、純農(nóng)藥的質(zhì)量為 800×1.75％＝14（千克） 含14千克純農(nóng)藥的35％的農(nóng)藥質(zhì)量為 14÷35％＝40（千克） 由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為 800－40＝760（千克） 答：用40千克的濃度為35％的農(nóng)藥中添加760千克水，才能配成濃度為1.75％的農(nóng)藥800千克。 練習(xí)2 1、 用含氨0.15％的氨水進(jìn)行油菜追肥?，F(xiàn)有含氨16％的氨水30千克，配置時(shí)需加水多少千克. 2、 倉庫運(yùn)來含水量為90％的

11、一種水果100千克。一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％。現(xiàn)在這批水果的質(zhì)量是多少千克. 3、 一容器內(nèi)裝有10升純酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，再用水加滿。這時(shí)容器內(nèi)溶液的濃度是多少. 例題3。 現(xiàn)有濃度為10％的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30％的鹽水，可以得到濃度為22％的鹽水. 【思路導(dǎo)航】這是一個(gè)溶液混合問題?；旌锨?、后溶液的濃度改變了，但總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒有改變。所以，混合前兩種溶液中溶質(zhì)的和等于混合后溶液中的溶質(zhì)的量。 20千克10％的鹽水中含鹽的質(zhì)量 20×10％＝2（千克）

12、 混合成22％時(shí)，20千克溶液中含鹽的質(zhì)量 20×22％＝404（千克） 需加30％鹽水溶液的質(zhì)量 （4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克） 答：需加入30千克濃度為30％的鹽水，可以得到濃度為22％的鹽水。 練習(xí)3 1、 在100千克濃度為50％的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為5％的硫酸溶液就可以配制成25％的硫酸溶液. 2、 濃度為70％的酒精溶液500克與濃度為50％的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少. 3、 在20％的鹽水

13、中加入10千克水，濃度為15％。再加入多少千克鹽，濃度為25％. 例題4。 將20％的鹽水與5％的鹽水混合，配成15％的鹽水600克，需要20％的鹽水和5％的鹽水各多少克. 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，將20％的鹽水與5％的鹽水混合配成15％的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的?？筛鶕?jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。 解：設(shè)20％的鹽水需x克，則5％的鹽水為600－x克，那么 20％x+（600－x）×5％＝600×15％

14、 X ＝400 600－400＝200（克） 答：需要20％的鹽水400克，5％的鹽水200克。 練習(xí)4 1、 兩種鋼分別含鎳5％和40％，要得到140噸含鎳30％的鋼，需要含鎳5％的鋼和含鎳40％的鋼各多少噸. 2、 甲、乙兩種酒各含酒精75％和55％，要配制含酒精65％的酒3000克，應(yīng)當(dāng)從這兩種酒中各取多少克. 3、 甲、乙兩只裝糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率為40％；乙桶有糖水40千克，含糖率為20％。要使兩桶糖水的含糖率相等，需把兩桶的糖水相

15、互交換多少千克. 例題5。 甲、乙、丙3個(gè)試管中各盛有10克、20克、30克水。把某種質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中?，F(xiàn)在丙管中的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.5％。最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少. 【思路導(dǎo)航】混合后甲、乙、丙3個(gè)試管中應(yīng)有的鹽水分別是20克、30克、40克。根據(jù)題意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽的質(zhì)量。又因?yàn)楸苤性瓉碇挥?0克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克鹽水中鹽的質(zhì)量。而乙管里的鹽又是從10克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽水中鹽的質(zhì)量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中

16、的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。 丙管中鹽的質(zhì)量：（30+10）×0.5％＝02（克） 倒入乙管后，乙管中鹽的質(zhì)量：0.2×【（20+10）÷10】＝0.6（克） 倒入甲管，甲管中鹽的質(zhì)量：0.6×【（10+10）÷10】＝1.2（克） 1.2÷10＝12％ 答：最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是12％。 練習(xí)5 1、 從裝滿100克80％的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然

17、后再用清水將杯加滿。如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少. 2、 甲容器中又8％的鹽水300克，乙容器中有12.5％的鹽水120克。往甲、乙兩個(gè)容器分別倒入等量的水，使兩個(gè)容器中鹽水的濃度一樣。每個(gè)容器應(yīng)倒入多少克水. 3、 甲種酒含純酒精40％，乙種酒含純酒精36％，丙種酒含純酒精35％。將三種酒混在一起得到含酒精38.5％的酒11千克。已知乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克. 答案： 練1 1、 300×（1－20％）÷（1－40％）－300＝100克 2、 20×（1－15％）÷（1－20％）－20＝1.25千克 3、 第一次把20毫升的純酒精倒入甲瓶，則甲瓶的濃

18、度為：20÷（200+20）＝，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶中含酒精200×＝毫升，乙瓶中含水20×（1－）＝毫升，即兩者相等。 練2 1、 30×（16％－0.15％）÷0.15％＝3170千克 2、 100×（1－90％）÷（1－80％）＝50千克 3、 10×（1－）×（1－）÷10＝37.5％ 練3 1、 100×（50％－25％）÷（25％－5％）＝125千克 2、 （500×70％+300×50％）÷（500+300）×100％＝62.5％ 3、 原有濃度為20％的鹽水的質(zhì)量為：10×15％÷（20％－15％）＝30千克 第二次加入鹽后，溶液濃度為

19、25％的質(zhì)量為： 【30×（1－20％）+10】÷（1－25％）＝千克 加入鹽的質(zhì)量：－（30+10）＝千克 練4 1、 解：設(shè)需含鎳5％的鋼x噸，則含鎳40％的鋼140－x噸， 5％x+（140－x）×40％＝140×30％ X ＝40 140－40＝100噸 2、 （3000×75％－3000×65％）÷【1×（75％－55％）】＝1500克 3000－1500＝1500克 3、 解法一：設(shè)互相交換x千克

20、糖水。 【（60－x）×40％+x×20％】÷60＝【（40－x）×20％+x×40％】÷40 X＝24 解法二：60－60×＝24千克 練5 1、 解法一：100×80％＝80克 40×80％＝32克 （80－32）÷100＝48％ 40×48％＝19.2克 （80－32－19.2）÷100＝28.8％ 40×28.8＝11.52克

21、 （80－32－19.2－11.52）÷100＝17.28％ 解法二：80×（1－）×（1－）×（1－）÷100＝17.28％ 2、 300×8％＝24克 120×12.5％＝15克 解：設(shè)每個(gè)容器應(yīng)倒入x克水。 ＝ X ＝180 3、 解：設(shè)丙種酒有x千克，則乙種酒有（x+3）千克，甲種酒有（11－2x－3）千克。 （11－2x－3）×40％+（x+3）×36％+35％x＝11×38.5％ X＝0.5 11－2×0.5－3＝7千克 . v