機械振動固有頻率與振型.ppt

《機械振動固有頻率與振型.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《機械振動固有頻率與振型.ppt（50頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 固有頻率主振型主坐標和正則坐標固有頻率相等的情形 多自由度系統(tǒng)固有頻率與振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 設n自由度系統(tǒng)運動微分方程的特解為 即設系統(tǒng)的各坐標作同步諧振動 上式又可表示為 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 將解式代入系統(tǒng)運動微分方程 并消去 得到 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 特征矩陣 要使A有不全為零的解 必須使其系數(shù)行列式等于零 于是得到該系統(tǒng)的頻率方程 或特征方程 式是關于 2的n次多項式 由它可以求出n個固有頻率 或稱特征值 因此 n個自由度振動系統(tǒng)具有n個固有頻率 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 可得到 前乘以 下面對其取值情況進行討論 由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M是正定的 剛度矩陣K是正定的或半正定的 因此有 于是 得到 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 頻率方程中所有的固有頻率值都是實數(shù) 并且是正數(shù)或為零 通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng) 剛度矩陣為半正定的稱之為半正定系統(tǒng) 對應于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的 對應于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或為零 一般的振動系統(tǒng)的n個固有頻率的值互不相等 也有特殊情況 將各個固有頻率按照由小到大的順序排列為 其中最低階固有頻率 1稱為第一階固有頻率或稱基頻 然后依次稱為二階 三階固有頻率等 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 對應于 i可以求得A i 它滿足 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications A i 為對應于 i的特征矢量 它表示系統(tǒng)在以 i的頻率作自由振動時 各物塊振幅的相對大小 稱之為第i階主振型 也稱固有振型或主模態(tài) 對于任何一個n自由度振動系統(tǒng) 總可以找到n個固有頻率和與之對應的n階主振型 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 對于任何一個n自由度振動系統(tǒng) 總可以找到n個固有頻率和與之對應的n階主振型 在主振型矢量中 規(guī)定某個元素的值為1 并進而確定其它元素的過程稱為歸一化 令 于是可得第i階主振型矢量為 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得 特征矩陣 逆矩陣 比較 所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子 任何非零列成比例 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 用矩陣A的第i行第j列的代數(shù)余子式把第j行第i列的元素替換掉得到就是A的伴隨矩陣 記作adjA 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 當運動微分方程是位移方程時 仍可設其解具有 頻率方程 求出n個固有頻率 其相應的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩陣adjL將 i值代入而求出 代入位移方程 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 例1圖是三自由度振動系統(tǒng) 設k1 k2 k3 k m1 m2 m m3 2m 試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型 解 選擇x1 x2 x3坐標如圖所示 則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為 將M和K代入頻率方程 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 解方程得到 求出系統(tǒng)的三個固有頻率為 再求特征矩陣的伴隨矩陣 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 設取其第三列 計算時可只求出這一列 將 1值代入 得到第一階主振型為 得到第二 三階主振型為 三個主振型由圖所示 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 歸一化后 即令 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 0 主振型也可由式求得 可得主振型 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 例2在例1中 若k1 0 求系統(tǒng)的固有頻率和主振型 相當于圖所示系統(tǒng)中去掉這個彈簧 這時剛度矩陣為 解 特征矩陣為 可得到頻率方程 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 解出 得到三個固有頻率 分別代入的第三列 歸一化后 得到三個主振型 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 這種振型是與零固有頻率對應的稱之為零振型 剛度矩陣是半正定系統(tǒng) 而且 在其運動方向上系統(tǒng)的外力的合力為零 是動量守恒系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 例4有三個具有質(zhì)量的小球 置于一根張緊的鋼絲上如圖所示 假設鋼絲中的拉力T很大 因而各點的橫向位移不會使拉力有明顯的變化 設m1 m2 m3 m 尺寸如圖所示 試用位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型 解 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是 其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 首先僅在m1質(zhì)量處施加水平單位力F 1 m1位移是 m2位移是 m3位移是 畫出m1的受力圖 根據(jù)平衡條件 得 m1 由圖中三角形的幾何關系可解出 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 寫出柔度矩陣 系統(tǒng)的特征矩陣為 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 得頻率方程 即得 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 求出各根 按遞降次序排列 于是得到系統(tǒng)的固有頻率 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 為求系統(tǒng)的主振型 先求出adjL的第一列 代入 各階主振型 歸一化 多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 主振型的正交性主振型矩陣與正則振型矩陣主坐標和正則坐標 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications n自由度的振動系統(tǒng) 具有n個固有頻率和與之對應的n階主振型 且這些主振型之間存在著關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性 對應于 相減 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 表明 對應于不同固有頻率的主振型之間 即關于質(zhì)量矩陣相互正交 又關于剛度矩陣相互正交 這就是主振型的正交性 還可以證明 零固有頻率對應的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交 Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度 Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量 令j i 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 可見 由于主振型的正交性 不同階的主振動之間不存在動能的轉換 或者說不存在慣性耦合 同樣可以證明第i階固有振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零 因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉換 或者說不存在彈性耦合 對于每一個主振動來說 它的動能和勢能之和是個常數(shù) 在運動過程中 每個主振動內(nèi)部的動能和勢能可以互相轉化 但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞 因此 從能量的觀點看 各階主振動是互相獨立的 這就是主振動正交性的物理意義 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 以各階主振型矢量為列 按順序排列成一個n n階方陣 稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣 即 根據(jù)主振型的正交性 可以導出主振型矩陣的兩個性質(zhì) 主質(zhì)量矩陣 主剛度矩陣 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 使MP由對角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對應主質(zhì)量的平方根 即 這樣得到的振型稱為正則振型 正則振型的正交關系是 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 以各階正則振型為列 依次排列成一個n n階方陣 稱此方陣為正則振型矩陣 即 由正交性可導出正則矩陣兩個性質(zhì) 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 在一般情況下 具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣 因此 系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力偶合又有靜力偶合 對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng) 有可能選擇這樣一組特殊坐標 使方程中不出現(xiàn)偶合項亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對角陣 這樣每個方程可以視為單自由度問題 稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標 由前面的討論可知 主振型矩陣AP與正則振型矩陣AN 均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉換成為對角陣 因此 可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換 以尋求主坐標或正則坐標 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 1 主坐標首先用主振型矩陣進行坐標變換 即 這組坐標變換的物理意義 可由展開式看出 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 即原物理坐標的各位移值 都可以看成是由n個主振型按一定的比例組合而成 新坐標 系統(tǒng)各坐標值正好與第一階主振型相等 即每個主坐標的值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標中占有成分的大小 如果令 則可得 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 將式 由主振型矩陣的兩個性質(zhì) 由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都是對角陣 所以方程式中無偶合 且為相互獨立的n個自由度運動微分方程 即 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 由物理坐標到模態(tài)坐標的轉換 是方程解耦的數(shù)學過程 從物理意義上講 是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程 在物理坐標系統(tǒng)中 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對角陣 使運動方程不能解耦 而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中 第i個模態(tài)坐標代表在位移向量中第i階主振型 模態(tài)振型 所作的貢獻 任何一階主振型的存在 并不依賴于其他主振型是否同時存在 這就是模態(tài)坐標得以解耦的原因 因此 位移響應向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結果 而不是模態(tài)耦合的結果 各階模態(tài)之間是不耦合的 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 2 正則坐標用正則振型矩陣AN進行坐標變換 設 由正則振型矩陣的兩個性質(zhì) 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 3 位移方程的坐標變換 設系統(tǒng)的位移方程 單位矩陣的轉置矩陣 譜矩陣的逆矩陣 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 例5試求例1中系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣 由質(zhì)量矩陣 可求出主質(zhì)量矩陣 解 將在例1中求得的各階主振型依次排列成方陣 得到主振型矩陣 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 于是 可得各階正則振型 以各階正則振型為列 寫出正則振型矩陣 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 由剛度矩陣 可求出譜矩陣 可寫出以正則坐標表示的運動方程 展開式為 多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 在前面的討論中 曾假設系統(tǒng)的固有頻率均不相等 而每個固有頻率對應一個主振型 但復雜系統(tǒng)中也會出現(xiàn)兩個或兩個以上頻率相等或相近的情形 這時相對應的主振型就不能唯一地確定 為了說明這一點 假設頻率方程有二重根 可寫出 線性組合 說明對應于 0的主振型不能唯一地確定 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 因此 當系統(tǒng)具有重根時 其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來確定 不僅所選定的A 1 和A 2 之間應滿足對M K的正交關系 而且還必須滿足與其它振型間關于M K的正交關系 例6圖示系統(tǒng)是由兩個質(zhì)量均為m的質(zhì)點與一無重剛桿組成 且兩質(zhì)點又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連 試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 解 以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點 建立坐標x1 x2 寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為 得到特征矩陣 得到頻率方程 解出系統(tǒng)的兩個固有頻率 是重根 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 求出特征矩陣的伴隨矩陣 并將兩個固有頻率代入該矩陣的任一列 結果是兩個元素全為零 因此 在重根的情況下無法用伴隨矩陣adjB確定主振型 需由正交化求得 由觀察系統(tǒng)的振動現(xiàn)象可知 剛桿具有兩種運動即平動和轉動 因此可假設 然后用兩振型關于M K的正交性來校核 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 是該系統(tǒng)的一組正交主振型 需要指出的是 這種相互獨立正交的主振型組可以有無窮多組 就好象在平面幾何中 一個圓有無窮多組相互垂直的二個直徑一樣 圖所示 為另一組相互正交的主振型 即 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 例圖所示的系統(tǒng)中 各個質(zhì)量只沿鉛垂方向運動 設k1 k2 k3 k m1 M m2 m3 m4 m 試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型 解 其中 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 由特征矩陣 建立頻率方程為 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 由特征矩陣 求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 求與重根對應的主振型 按第一行展開 同時應滿足 正交化 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 同理 可得到滿足第三階主振型的關系式 多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況 返回首頁 TheoryofVibrationwithApplications 多自由度系統(tǒng)習題 習題4 3 4 4