高中數(shù)學 第2章 推理與證明章末復習課課件 蘇教版選修12

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1、章末復習課第2章推理與證明學習目標1.了解合情推理的含義,能利用歸納、類比進行簡單的推理.2.了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法,并會利用分析法和綜合法證明簡單的問題.3.了解反證法的思想,并能靈活應用.題型探究知識梳理內(nèi)容索引當堂訓練知識梳理知識梳理1.合情推理(1)歸納推理定義:從個別事實中推演出 的結(jié)論的推理稱為歸納推理.歸納推理的思維過程大致是: .特點:由 到整體、由 到一般的推理.(2)類比推理定義:根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們在其他方面也相似或相同,像這樣的推理通常稱為類比推理.類比推理的思維過程為: .特點:類比推理是由 到 的推理.一般

2、性實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論部分個別觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新的結(jié)論特殊特殊(3)合情推理合情推理是根據(jù) 、 、 ,以及個人的 和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程. 和 都是數(shù)學活動中常用的合情推理.2.演繹推理(1)演繹推理由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法叫演繹推理.簡言之,演繹推理是由 到 的推理.已有的事實正確的結(jié)論實驗和實踐的結(jié)果經(jīng)驗歸納推理類比推理一般特殊(2)“三段論”是演繹推理的一般模式大前提已知的 ;小前提所研究的 ;結(jié)論根據(jù)一般原理,對 作出的判斷.3.直接證明(1)綜合法定義:從已知條件出發(fā),以已知的定義、公理、定理為依據(jù),逐步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止,這

3、種證明方法常稱為綜合法.思維過程:由因?qū)Ч?一般原理特殊情況特殊情況(2)分析法定義:從問題的結(jié)論出發(fā),追溯導致結(jié)論成立的條件,逐步上溯,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止,這種證明方法常稱為分析法.思維過程:執(zhí)果索因.4.間接證明用反證法來證明時,要從否定結(jié)論開始,經(jīng)過正確的推理,導致邏輯矛盾,從而達到新的否定(即肯定原命題).題型探究題型探究例例1(1)有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9,現(xiàn)在進行如下分組:第一組含一個數(shù)1;第二組含兩個數(shù)3,5;第三組含三個數(shù)7,9,11;第四組含四個數(shù)13,15,17,19;,試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和f(n)(nN*)與組的編號數(shù)n的關系式為_.類型一合情推

4、理的應用解析解析由于113 ,35823,79112733,131517196443,猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關系式為f(n)n3.f(n)n3答案解析解答(2)在平面幾何中,對于RtABC,ACBC,設ABc,ACb,BCa,則a2b2c2;cos2Acos2B1;把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論;試對其中一個猜想進行證明.解解選取3個側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象.設3個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1,S2,S3,底面面積為S,設3個兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為,則cos2cos2cos21.設3個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a,b,c,則

5、這個四面體下面對的猜想進行證明.如圖在四面體ABCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,面ABC,面ABD,面ACD為三個兩兩垂直的側(cè)面.設ABa,ACb,ADc,即所證猜想為真命題.(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容,通過觀察給定的規(guī)律,得到一些簡單數(shù)列的通項公式是數(shù)列中的常見方法.(2)類比推理重在考查觀察和比較的能力,題目一般情況下較為新穎,也有一定的探索性.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1(1)觀察下列圖形中小正方形的個數(shù),則第n個圖形中有_個小正方形.答案解析解析解析第1個圖有3個正方形記作a1,第2個圖有33個正方形記作a2,第3個圖有64個正方形記作a3,第4個圖有105個正方形記

6、作a4,正方形的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列an,則a2a13,(1)a3a24, (2)a4a35, (3) anan1n1,(n1)(1)(2)(n1),得ana1345(n1),(2)若數(shù)列an為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,則有性質(zhì)“若SmSn(m,nN*且mn),則Smn0.”類比上述性質(zhì),相應地,當數(shù)列bn為等比數(shù)列時,寫出一個正確的性質(zhì):_.答案 數(shù)列bn為等比數(shù)列,Tm表示其前m項的積,若TmTn(m,nN*,mn),則Tmn1類型二綜合法與分析法證明證明證明方法一(綜合法)因為a0,b0,ab1,方法二(分析法)因為a0,b0,ab1,所以原不等式成立.反思與感悟分析法和綜合法是兩種思路相反的

7、推理方法:分析法是倒溯,綜合法是順推,二者各有優(yōu)缺點.分析法容易探路,且探路與表述合一,缺點是表述易錯;綜合法條件清晰,易于表述,因此對于難題常把二者交互運用,互補優(yōu)缺,形成分析綜合法,其邏輯基礎是充分條件與必要條件.跟蹤訓練跟蹤訓練2已知x0,y0,求證:(x2y2) (x3y3) . 證明1312證明證明要證明(x2y2) (x3y3) ,只需證(x2y2)3(x3y3)2.只需證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6,只需證3x4y23x2y42x3y3.又x0,y0,x2y20,只需證3x23y22xy.3x23y2x2y22xy,3x23y22xy成立,故(x2y2) (x3

8、y3) .12121313類型三反證法證明因為x0且y0,所以1x2y且1y2x,兩式相加,得2xy2x2y,所以xy2.這與已知xy2矛盾.反思與感悟反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題;涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時,也常用反證法.跟蹤訓練跟蹤訓練3已知:ac2(bd).求證:方程x2axb0與方程x2cxd0中至少有一個方程有實數(shù)根.證明證明證明假設兩方程都沒有實數(shù)根,則1a24b0與2c24d0,有a2c22ac,即acbc,ab0,bc0,ac0,且acabbc.故k的最大正整數(shù)為4.3.已知在ABC中,ADBC于D,三邊是a,b,c,則有accos

9、Bbcos C.類比上述推理結(jié)論,寫出下列條件下的結(jié)論:在四面體PABC中,ABC,PAB,PBC,PCA的面積分別是S,S1,S2,S3,二面角PABC,PBCA,PACB的度數(shù)分別是,則S_.23451答案S1cos S2cos S3cos 4.如圖,這是一個正六邊形的序列:23451則第n個圖形的邊數(shù)為_.答案5n1解析解析解析圖(1)共6條邊,圖(2)共11條邊,圖(3)共16條邊,其邊數(shù)構(gòu)成以6為首項,5為公差的等差數(shù)列,則圖(n)的邊數(shù)為an6(n1)55n1.23451證明證明證明因為ab,所以ab0,平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|2),只需證|a|2|b|22|a|b|0成立.即只需證(|a|b|)20,它顯然成立.故原不等式得證.規(guī)律與方法直接證明和間接證明是數(shù)學證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法:綜合法是從已知條件推導出結(jié)論的證明方法;分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法,在解決數(shù)學問題時,常把它們結(jié)合起來使用.間接證明的一種方法是反證法,反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā),推出矛盾的證明方法.本課結(jié)束

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